Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 53.9% → 99.5%

Time: 7.1s

Alternatives: 11

Speedup: 18.7×

• 49.2% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{elif}\;t_0 \leq 0.002:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{x} \cdot 0.5 - 0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (<= t_0 (- INFINITY))
     (/ t_0 2.0)
     (if (<= t_0 0.002)
       (/
        (+
         (* x 2.0)
         (+
          (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0))
          (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))))
        2.0)
       (- (* (exp x) 0.5) 0.5)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else if (t_0 <= 0.002) {
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)))) / 2.0;
	} else {
		tmp = (exp(x) * 0.5) - 0.5;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if (t_0 <= -Double.POSITIVE_INFINITY) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else if (t_0 <= 0.002) {
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + (0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)))) / 2.0;
	} else {
		tmp = (Math.exp(x) * 0.5) - 0.5;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if t_0 <= -math.inf:
		tmp = t_0 / 2.0
	elif t_0 <= 0.002:
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + (0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0)))) / 2.0
	else:
		tmp = (math.exp(x) * 0.5) - 0.5
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	elseif (t_0 <= 0.002)
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)))) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(exp(x) * 0.5) - 0.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -Inf)
		tmp = t_0 / 2.0;
	elseif (t_0 <= 0.002)
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + (0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)))) / 2.0;
	else
		tmp = (exp(x) * 0.5) - 0.5;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 0.002], N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -inf.0 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 2e-3

   1. Initial program 9.7%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}}{2} \]

   if 2e-3 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. div-sub 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{-x}}{2}} \]

      2. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      3. associate-*r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      4. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{e^{x}}}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      5. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      6. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right)} \]

      7. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.5}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right) \]

      8. exp-neg 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\frac{\color{blue}{\frac{1}{e^{x}}}}{2}\right) \]

      9. associate-/l/ 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{1}{2 \cdot e^{x}}}\right) \]

      10. associate-/r* 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      11. distribute-neg-frac 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{\frac{-\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-\color{blue}{0.5}}{e^{x}}\right) \]

      13. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{\color{blue}{-0.5}}{e^{x}}\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-0.5}{e^{x}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{-0.5}\right) \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot e^{x} - 0.5} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{elif}\;e^{x} - e^{-x} \leq 0.002:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{x} \cdot 0.5 - 0.5\\ \end{array} \]

Alternative 2: 99.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{elif}\;t_0 \leq 0.002:\\ \;\;\;\;{x}^{3} \cdot 0.16666666666666666 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{x} \cdot 0.5 - 0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (<= t_0 (- INFINITY))
     (/ t_0 2.0)
     (if (<= t_0 0.002)
       (+
        (* (pow x 3.0) 0.16666666666666666)
        (+ x (* (pow x 5.0) 0.008333333333333333)))
       (- (* (exp x) 0.5) 0.5)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if (t_0 <= -((double) INFINITY)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else if (t_0 <= 0.002) {
		tmp = (pow(x, 3.0) * 0.16666666666666666) + (x + (pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333));
	} else {
		tmp = (exp(x) * 0.5) - 0.5;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if (t_0 <= -Double.POSITIVE_INFINITY) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else if (t_0 <= 0.002) {
		tmp = (Math.pow(x, 3.0) * 0.16666666666666666) + (x + (Math.pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333));
	} else {
		tmp = (Math.exp(x) * 0.5) - 0.5;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if t_0 <= -math.inf:
		tmp = t_0 / 2.0
	elif t_0 <= 0.002:
		tmp = (math.pow(x, 3.0) * 0.16666666666666666) + (x + (math.pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333))
	else:
		tmp = (math.exp(x) * 0.5) - 0.5
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= Float64(-Inf))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	elseif (t_0 <= 0.002)
		tmp = Float64(Float64((x ^ 3.0) * 0.16666666666666666) + Float64(x + Float64((x ^ 5.0) * 0.008333333333333333)));
	else
		tmp = Float64(Float64(exp(x) * 0.5) - 0.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -Inf)
		tmp = t_0 / 2.0;
	elseif (t_0 <= 0.002)
		tmp = ((x ^ 3.0) * 0.16666666666666666) + (x + ((x ^ 5.0) * 0.008333333333333333));
	else
		tmp = (exp(x) * 0.5) - 0.5;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 0.002], N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(x + N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -inf.0

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -inf.0 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 2e-3

   1. Initial program 9.7%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. div-sub 9.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{-x}}{2}} \]

      2. *-lft-identity 9.7%

         \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      3. associate-*r/ 9.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      4. associate-/l* 9.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{e^{x}}}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      5. associate-/r/ 9.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      6. fma-neg 9.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right)} \]

      7. metadata-eval 9.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.5}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right) \]

      8. exp-neg 9.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\frac{\color{blue}{\frac{1}{e^{x}}}}{2}\right) \]

      9. associate-/l/ 9.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{1}{2 \cdot e^{x}}}\right) \]

      10. associate-/r* 9.6%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      11. distribute-neg-frac 9.6%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{\frac{-\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      12. metadata-eval 9.6%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-\color{blue}{0.5}}{e^{x}}\right) \]

      13. metadata-eval 9.6%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{\color{blue}{-0.5}}{e^{x}}\right) \]

   3. Simplified 9.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-0.5}{e^{x}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + x\right)} \]

   if 2e-3 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. div-sub 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{-x}}{2}} \]

      2. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      3. associate-*r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      4. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{e^{x}}}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      5. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      6. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right)} \]

      7. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.5}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right) \]

      8. exp-neg 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\frac{\color{blue}{\frac{1}{e^{x}}}}{2}\right) \]

      9. associate-/l/ 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{1}{2 \cdot e^{x}}}\right) \]

      10. associate-/r* 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      11. distribute-neg-frac 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{\frac{-\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-\color{blue}{0.5}}{e^{x}}\right) \]

      13. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{\color{blue}{-0.5}}{e^{x}}\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-0.5}{e^{x}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{-0.5}\right) \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot e^{x} - 0.5} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -\infty:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{elif}\;e^{x} - e^{-x} \leq 0.002:\\ \;\;\;\;{x}^{3} \cdot 0.16666666666666666 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.008333333333333333\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{x} \cdot 0.5 - 0.5\\ \end{array} \]

Alternative 3: 99.7% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -0.002:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{elif}\;t_0 \leq 0.002:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{x} \cdot 0.5 - 0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (<= t_0 -0.002)
     (/ t_0 2.0)
     (if (<= t_0 0.002)
       (/ (+ (* x 2.0) (* x (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0)
       (- (* (exp x) 0.5) 0.5)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.002) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else if (t_0 <= 0.002) {
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	} else {
		tmp = (exp(x) * 0.5) - 0.5;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(x) - exp(-x)
    if (t_0 <= (-0.002d0)) then
        tmp = t_0 / 2.0d0
    else if (t_0 <= 0.002d0) then
        tmp = ((x * 2.0d0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
    else
        tmp = (exp(x) * 0.5d0) - 0.5d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if (t_0 <= -0.002) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else if (t_0 <= 0.002) {
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	} else {
		tmp = (Math.exp(x) * 0.5) - 0.5;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if t_0 <= -0.002:
		tmp = t_0 / 2.0
	elif t_0 <= 0.002:
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0
	else:
		tmp = (math.exp(x) * 0.5) - 0.5
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= -0.002)
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	elseif (t_0 <= 0.002)
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(exp(x) * 0.5) - 0.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= -0.002)
		tmp = t_0 / 2.0;
	elseif (t_0 <= 0.002)
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	else
		tmp = (exp(x) * 0.5) - 0.5;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, -0.002], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 0.002], N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -2e-3

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -2e-3 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 2e-3

   1. Initial program 9.1%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right)}{2} \]

      3. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}}{2} \]

      4. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      6. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      7. unpow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2} \]

      8. associate-*l* 99.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      9. *-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      10. fma-def 99.9%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}{2} \]

      11. *-commutative 99.9%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right)}{2} \]

   4. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 99.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. distribute-rgt-in 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

      3. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

   if 2e-3 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. div-sub 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{-x}}{2}} \]

      2. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      3. associate-*r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      4. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{e^{x}}}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      5. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      6. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right)} \]

      7. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.5}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right) \]

      8. exp-neg 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\frac{\color{blue}{\frac{1}{e^{x}}}}{2}\right) \]

      9. associate-/l/ 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{1}{2 \cdot e^{x}}}\right) \]

      10. associate-/r* 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      11. distribute-neg-frac 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{\frac{-\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-\color{blue}{0.5}}{e^{x}}\right) \]

      13. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{\color{blue}{-0.5}}{e^{x}}\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-0.5}{e^{x}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{-0.5}\right) \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot e^{x} - 0.5} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -0.002:\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{elif}\;e^{x} - e^{-x} \leq 0.002:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{x} \cdot 0.5 - 0.5\\ \end{array} \]

Alternative 4: 96.1% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.25:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{4}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{x} \cdot 0.5 - 0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.25)
   (/ (* x (/ (+ (pow (* x (* x 0.3333333333333333)) 3.0) 8.0) 4.0)) 2.0)
   (- (* (exp x) 0.5) 0.5)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.25) {
		tmp = (x * ((pow((x * (x * 0.3333333333333333)), 3.0) + 8.0) / 4.0)) / 2.0;
	} else {
		tmp = (exp(x) * 0.5) - 0.5;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.25d0) then
        tmp = (x * ((((x * (x * 0.3333333333333333d0)) ** 3.0d0) + 8.0d0) / 4.0d0)) / 2.0d0
    else
        tmp = (exp(x) * 0.5d0) - 0.5d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.25) {
		tmp = (x * ((Math.pow((x * (x * 0.3333333333333333)), 3.0) + 8.0) / 4.0)) / 2.0;
	} else {
		tmp = (Math.exp(x) * 0.5) - 0.5;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.25:
		tmp = (x * ((math.pow((x * (x * 0.3333333333333333)), 3.0) + 8.0) / 4.0)) / 2.0
	else:
		tmp = (math.exp(x) * 0.5) - 0.5
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.25)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64((Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)) ^ 3.0) + 8.0) / 4.0)) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(exp(x) * 0.5) - 0.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.25)
		tmp = (x * ((((x * (x * 0.3333333333333333)) ^ 3.0) + 8.0) / 4.0)) / 2.0;
	else
		tmp = (exp(x) * 0.5) - 0.5;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.25], N[(N[(x * N[(N[(N[Power[N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] + 8.0), $MachinePrecision] / 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.25

   1. Initial program 41.8%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 90.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 90.1%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. unpow2 90.1%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right)}{2} \]

      3. associate-*r* 90.1%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}}{2} \]

      4. distribute-rgt-out 90.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 90.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      6. +-commutative 90.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      7. unpow2 90.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2} \]

      8. associate-*l* 90.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      9. *-commutative 90.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      10. fma-def 90.1%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}{2} \]

      11. *-commutative 90.1%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right)}{2} \]

   4. Simplified 90.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 90.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. flip3-+ 66.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + {2}^{3}}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}}{2} \]

      3. *-commutative 66.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right)}^{3} + {2}^{3}}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

      4. metadata-eval 66.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}^{3} + \color{blue}{8}}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 66.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

      6. *-commutative 66.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

      7. metadata-eval 66.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) + \left(\color{blue}{4} - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

      8. *-commutative 66.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) + \left(4 - \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 66.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) + \left(4 - \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot 2\right)}}}{2} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 92.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{\color{blue}{4}}}{2} \]

   if 1.25 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. div-sub 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{-x}}{2}} \]

      2. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      3. associate-*r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      4. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{e^{x}}}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      5. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      6. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right)} \]

      7. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.5}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right) \]

      8. exp-neg 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\frac{\color{blue}{\frac{1}{e^{x}}}}{2}\right) \]

      9. associate-/l/ 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{1}{2 \cdot e^{x}}}\right) \]

      10. associate-/r* 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      11. distribute-neg-frac 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{\frac{-\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-\color{blue}{0.5}}{e^{x}}\right) \]

      13. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{\color{blue}{-0.5}}{e^{x}}\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-0.5}{e^{x}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{-0.5}\right) \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot e^{x} - 0.5} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 94.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.25:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{4}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{x} \cdot 0.5 - 0.5\\ \end{array} \]

Alternative 5: 95.1% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5:\\ \;\;\;\;{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2.2:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{x} \cdot 0.5 - 0.5\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -5.0)
   (* (pow x 5.0) 0.008333333333333333)
   (if (<= x 2.2)
     (/ (+ (* x 2.0) (* x (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0)
     (- (* (exp x) 0.5) 0.5))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -5.0) {
		tmp = pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333;
	} else if (x <= 2.2) {
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	} else {
		tmp = (exp(x) * 0.5) - 0.5;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-5.0d0)) then
        tmp = (x ** 5.0d0) * 0.008333333333333333d0
    else if (x <= 2.2d0) then
        tmp = ((x * 2.0d0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
    else
        tmp = (exp(x) * 0.5d0) - 0.5d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -5.0) {
		tmp = Math.pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333;
	} else if (x <= 2.2) {
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	} else {
		tmp = (Math.exp(x) * 0.5) - 0.5;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -5.0:
		tmp = math.pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333
	elif x <= 2.2:
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0
	else:
		tmp = (math.exp(x) * 0.5) - 0.5
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -5.0)
		tmp = Float64((x ^ 5.0) * 0.008333333333333333);
	elseif (x <= 2.2)
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(exp(x) * 0.5) - 0.5);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -5.0)
		tmp = (x ^ 5.0) * 0.008333333333333333;
	elseif (x <= 2.2)
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	else
		tmp = (exp(x) * 0.5) - 0.5;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -5.0], N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 2.2], N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision] - 0.5), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -5

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. div-sub 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{-x}}{2}} \]

      2. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      3. associate-*r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      4. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{e^{x}}}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      5. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      6. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right)} \]

      7. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.5}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right) \]

      8. exp-neg 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\frac{\color{blue}{\frac{1}{e^{x}}}}{2}\right) \]

      9. associate-/l/ 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{1}{2 \cdot e^{x}}}\right) \]

      10. associate-/r* 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      11. distribute-neg-frac 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{\frac{-\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-\color{blue}{0.5}}{e^{x}}\right) \]

      13. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{\color{blue}{-0.5}}{e^{x}}\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-0.5}{e^{x}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 79.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + x\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 79.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot {x}^{5}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 79.3%

         \[\leadsto \color{blue}{{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333} \]

   7. Simplified 79.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333} \]

   if -5 < x < 2.2000000000000002

   1. Initial program 9.7%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 99.9%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. unpow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right)}{2} \]

      3. associate-*r* 99.9%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}}{2} \]

      4. distribute-rgt-out 99.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      6. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      7. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2} \]

      8. associate-*l* 99.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      9. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      10. fma-def 99.8%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}{2} \]

      11. *-commutative 99.8%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right)}{2} \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 99.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. distribute-rgt-in 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

      3. *-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

   if 2.2000000000000002 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. div-sub 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{-x}}{2}} \]

      2. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      3. associate-*r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      4. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{e^{x}}}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      5. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      6. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right)} \]

      7. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.5}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right) \]

      8. exp-neg 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\frac{\color{blue}{\frac{1}{e^{x}}}}{2}\right) \]

      9. associate-/l/ 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{1}{2 \cdot e^{x}}}\right) \]

      10. associate-/r* 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      11. distribute-neg-frac 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{\frac{-\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-\color{blue}{0.5}}{e^{x}}\right) \]

      13. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{\color{blue}{-0.5}}{e^{x}}\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-0.5}{e^{x}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{-0.5}\right) \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot e^{x} - 0.5} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 94.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5:\\ \;\;\;\;{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2.2:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;e^{x} \cdot 0.5 - 0.5\\ \end{array} \]

Alternative 6: 90.9% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \lor \neg \left(x \leq 5\right):\\ \;\;\;\;{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -5.0) (not (<= x 5.0)))
   (* (pow x 5.0) 0.008333333333333333)
   (/ (+ (* x 2.0) (* x (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -5.0) || !(x <= 5.0)) {
		tmp = pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333;
	} else {
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-5.0d0)) .or. (.not. (x <= 5.0d0))) then
        tmp = (x ** 5.0d0) * 0.008333333333333333d0
    else
        tmp = ((x * 2.0d0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -5.0) || !(x <= 5.0)) {
		tmp = Math.pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333;
	} else {
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -5.0) or not (x <= 5.0):
		tmp = math.pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333
	else:
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -5.0) || !(x <= 5.0))
		tmp = Float64((x ^ 5.0) * 0.008333333333333333);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -5.0) || ~((x <= 5.0)))
		tmp = (x ^ 5.0) * 0.008333333333333333;
	else
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -5.0], N[Not[LessEqual[x, 5.0]], $MachinePrecision]], N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -5 or 5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. div-sub 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{-x}}{2}} \]

      2. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      3. associate-*r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      4. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{e^{x}}}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      5. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      6. fma-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right)} \]

      7. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.5}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right) \]

      8. exp-neg 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\frac{\color{blue}{\frac{1}{e^{x}}}}{2}\right) \]

      9. associate-/l/ 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{1}{2 \cdot e^{x}}}\right) \]

      10. associate-/r* 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      11. distribute-neg-frac 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{\frac{-\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-\color{blue}{0.5}}{e^{x}}\right) \]

      13. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{\color{blue}{-0.5}}{e^{x}}\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-0.5}{e^{x}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 79.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{5} + x\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 79.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.008333333333333333 \cdot {x}^{5}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 79.6%

         \[\leadsto \color{blue}{{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333} \]

   7. Simplified 79.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333} \]

   if -5 < x < 5

   1. Initial program 9.7%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 99.9%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. unpow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right)}{2} \]

      3. associate-*r* 99.9%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}}{2} \]

      4. distribute-rgt-out 99.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      6. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      7. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2} \]

      8. associate-*l* 99.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      9. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      10. fma-def 99.8%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}{2} \]

      11. *-commutative 99.8%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right)}{2} \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 99.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. distribute-rgt-in 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

      3. *-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

   6. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \lor \neg \left(x \leq 5\right):\\ \;\;\;\;{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 7: 88.2% accurate, 7.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{+154} \lor \neg \left(x \leq 2 \cdot 10^{+102}\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{t_0 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 4}{t_0 - 2}}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x 0.3333333333333333))))
   (if (or (<= x -2e+154) (not (<= x 2e+102)))
     (* x (* 0.16666666666666666 (* x x)))
     (/
      (* x (/ (- (* t_0 (* 0.3333333333333333 (* x x))) 4.0) (- t_0 2.0)))
      2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double tmp;
	if ((x <= -2e+154) || !(x <= 2e+102)) {
		tmp = x * (0.16666666666666666 * (x * x));
	} else {
		tmp = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333 * (x * x))) - 4.0) / (t_0 - 2.0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (x * 0.3333333333333333d0)
    if ((x <= (-2d+154)) .or. (.not. (x <= 2d+102))) then
        tmp = x * (0.16666666666666666d0 * (x * x))
    else
        tmp = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333d0 * (x * x))) - 4.0d0) / (t_0 - 2.0d0))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double tmp;
	if ((x <= -2e+154) || !(x <= 2e+102)) {
		tmp = x * (0.16666666666666666 * (x * x));
	} else {
		tmp = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333 * (x * x))) - 4.0) / (t_0 - 2.0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333)
	tmp = 0
	if (x <= -2e+154) or not (x <= 2e+102):
		tmp = x * (0.16666666666666666 * (x * x))
	else:
		tmp = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333 * (x * x))) - 4.0) / (t_0 - 2.0))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333))
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2e+154) || !(x <= 2e+102))
		tmp = Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(Float64(t_0 * Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))) - 4.0) / Float64(t_0 - 2.0))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2e+154) || ~((x <= 2e+102)))
		tmp = x * (0.16666666666666666 * (x * x));
	else
		tmp = (x * (((t_0 * (0.3333333333333333 * (x * x))) - 4.0) / (t_0 - 2.0))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[x, -2e+154], N[Not[LessEqual[x, 2e+102]], $MachinePrecision]], N[(x * N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(N[(N[(t$95$0 * N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.00000000000000007e154 or 1.99999999999999995e102 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right)}{2} \]

      3. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}}{2} \]

      4. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      6. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      7. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2} \]

      8. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      9. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      10. fma-def 100.0%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}{2} \]

      11. *-commutative 100.0%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right)}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      2. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      3. associate-/r* 100.0%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{2}{0.3333333333333333}}{x \cdot x}}} \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\frac{\color{blue}{6}}{x \cdot x}} \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0 100.0%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow2 100.0%

          \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

   12. Simplified 100.0%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   if -2.00000000000000007e154 < x < 1.99999999999999995e102

   1. Initial program 35.9%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 78.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 78.3%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. unpow2 78.3%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right)}{2} \]

      3. associate-*r* 78.3%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}}{2} \]

      4. distribute-rgt-out 78.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 78.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      6. +-commutative 78.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      7. unpow2 78.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2} \]

      8. associate-*l* 78.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      9. *-commutative 78.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      10. fma-def 78.3%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}{2} \]

      11. *-commutative 78.3%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right)}{2} \]

   4. Simplified 78.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 78.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. flip-+ 81.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

      3. *-commutative 81.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

      4. *-commutative 81.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

      5. metadata-eval 81.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - \color{blue}{4}}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

      6. *-commutative 81.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - 4}{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} - 2}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 81.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - 4}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - 2}}}{2} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 81.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} - 4}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - 2}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 81.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) - 4}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - 2}}{2} \]

   9. Simplified 81.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} - 4}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - 2}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{+154} \lor \neg \left(x \leq 2 \cdot 10^{+102}\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 8: 84.0% accurate, 15.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* x 2.0) (* x (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * 2.0d0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 85.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 85.1%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. unpow2 85.1%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right)}{2} \]

   3. associate-*r* 85.1%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}}{2} \]

   4. distribute-rgt-out 85.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]

   5. *-commutative 85.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   6. +-commutative 85.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   7. unpow2 85.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2} \]

   8. associate-*l* 85.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   9. *-commutative 85.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   10. fma-def 85.1%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   11. *-commutative 85.1%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right)}{2} \]

4. Simplified 85.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 85.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   2. distribute-rgt-in 85.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

   3. *-commutative 85.1%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

6. Applied egg-rr 85.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

7. Final simplification 85.1%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \]

Alternative 9: 83.6% accurate, 18.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.5\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -2.5) (not (<= x 2.5)))
   (* x (* 0.16666666666666666 (* x x)))
   x))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.5)) {
		tmp = x * (0.16666666666666666 * (x * x));
	} else {
		tmp = x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-2.5d0)) .or. (.not. (x <= 2.5d0))) then
        tmp = x * (0.16666666666666666d0 * (x * x))
    else
        tmp = x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.5)) {
		tmp = x * (0.16666666666666666 * (x * x));
	} else {
		tmp = x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -2.5) or not (x <= 2.5):
		tmp = x * (0.16666666666666666 * (x * x))
	else:
		tmp = x
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.5))
		tmp = Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)));
	else
		tmp = x;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2.5) || ~((x <= 2.5)))
		tmp = x * (0.16666666666666666 * (x * x));
	else
		tmp = x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -2.5], N[Not[LessEqual[x, 2.5]], $MachinePrecision]], N[(x * N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], x]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.5 or 2.5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 71.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 71.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. unpow2 71.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right)}{2} \]

      3. associate-*r* 71.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}}{2} \]

      4. distribute-rgt-out 71.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 71.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      6. +-commutative 71.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      7. unpow2 71.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2} \]

      8. associate-*l* 71.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      9. *-commutative 71.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

      10. fma-def 71.0%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}{2} \]

      11. *-commutative 71.0%

          \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right)}{2} \]

   4. Simplified 71.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 71.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 71.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 71.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 71.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      2. div-inv 71.0%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      3. associate-/r* 71.0%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{2}{0.3333333333333333}}{x \cdot x}}} \]

      4. metadata-eval 71.0%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\frac{\color{blue}{6}}{x \cdot x}} \]

   9. Applied egg-rr 71.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]

   10. Taylor expanded in x around 0 71.0%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow2 71.0%

          \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \]

   12. Simplified 71.0%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   if -2.5 < x < 2.5

   1. Initial program 9.7%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. div-sub 9.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{-x}}{2}} \]

      2. *-lft-identity 9.7%

         \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      3. associate-*r/ 9.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      4. associate-/l* 9.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{e^{x}}}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      5. associate-/r/ 9.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

      6. fma-neg 9.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right)} \]

      7. metadata-eval 9.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.5}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right) \]

      8. exp-neg 9.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\frac{\color{blue}{\frac{1}{e^{x}}}}{2}\right) \]

      9. associate-/l/ 9.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{1}{2 \cdot e^{x}}}\right) \]

      10. associate-/r* 9.6%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      11. distribute-neg-frac 9.6%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{\frac{-\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

      12. metadata-eval 9.6%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-\color{blue}{0.5}}{e^{x}}\right) \]

      13. metadata-eval 9.6%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{\color{blue}{-0.5}}{e^{x}}\right) \]

   3. Simplified 9.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-0.5}{e^{x}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 98.7%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.5\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \]

Alternative 10: 84.0% accurate, 18.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (2.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 85.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 85.1%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. unpow2 85.1%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot x\right)}{2} \]

   3. associate-*r* 85.1%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right) \cdot x}}{2} \]

   4. distribute-rgt-out 85.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]

   5. *-commutative 85.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   6. +-commutative 85.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   7. unpow2 85.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}{2} \]

   8. associate-*l* 85.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   9. *-commutative 85.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   10. fma-def 85.1%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}{2} \]

   11. *-commutative 85.1%

       \[\leadsto \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right)}{2} \]

4. Simplified 85.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 85.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   2. *-commutative 85.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

6. Applied egg-rr 85.1%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

7. Final simplification 85.1%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \]

Alternative 11: 52.7% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 55.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]
2. Step-by-step derivation

   1. div-sub 55.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{e^{x}}{2} - \frac{e^{-x}}{2}} \]

   2. *-lft-identity 55.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

   3. associate-*r/ 55.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 \cdot e^{x}}{2}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

   4. associate-/l* 55.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{e^{x}}}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

   5. associate-/r/ 55.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{2} \cdot e^{x}} - \frac{e^{-x}}{2} \]

   6. fma-neg 55.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{1}{2}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right)} \]

   7. metadata-eval 55.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{0.5}, e^{x}, -\frac{e^{-x}}{2}\right) \]

   8. exp-neg 55.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\frac{\color{blue}{\frac{1}{e^{x}}}}{2}\right) \]

   9. associate-/l/ 55.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{1}{2 \cdot e^{x}}}\right) \]

   10. associate-/r* 55.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, -\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

   11. distribute-neg-frac 55.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \color{blue}{\frac{-\frac{1}{2}}{e^{x}}}\right) \]

   12. metadata-eval 55.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-\color{blue}{0.5}}{e^{x}}\right) \]

   13. metadata-eval 55.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{\color{blue}{-0.5}}{e^{x}}\right) \]

3. Simplified 55.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, e^{x}, \frac{-0.5}{e^{x}}\right)} \]

4. Taylor expanded in x around 0 51.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

5. Final simplification 51.0%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023258 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))