ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 52.4% → 99.4%

Time: 18.2s

Alternatives: 5

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 52.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma (* 0.16666666666666666 x) x (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return fma((0.16666666666666666 * x), x, (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)));
}

Julia

function code(x)
	return fma(Float64(0.16666666666666666 * x), x, Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision] * x + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   2. unpow2 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   2. associate-*r* 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

6. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

8. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

9. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

Alternative 2: 99.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)) (* x (* 0.16666666666666666 x))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (0.16666666666666666d0 * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   2. unpow2 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   2. associate-*r* 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

6. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

7. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

Alternative 3: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.4%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 4: 98.8% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* 0.16666666666666666 x)))

C

double code(double x) {
	return x * (0.16666666666666666 * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (0.16666666666666666d0 * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (0.16666666666666666 * x);
}

Python

def code(x):
	return x * (0.16666666666666666 * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (0.16666666666666666 * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.4%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

   2. pow2 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}^{2}} \]

   3. *-commutative 98.3%

      \[\leadsto {\left(\sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666}}\right)}^{2} \]

   4. sqrt-prod 98.4%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}}^{2} \]

   5. sqrt-prod 50.2%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{\left(\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}\right)} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

   6. add-sqr-sqrt 98.4%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2} \]

6. Applied egg-rr 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)}^{2}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right)} \]

   2. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \cdot \left(x \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \]

   3. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto \left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot x\right)} \]

   4. swap-sqr 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666} \cdot \sqrt{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   5. add-sqr-sqrt 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

   6. associate-*l* 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

8. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} \]

9. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

Alternative 5: 4.3% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.5)

C

double code(double x) {
	return 0.5;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.5d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.5;
}

Python

def code(x):
	return 0.5

Julia

function code(x)
	return 0.5
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.5;
end

Wolfram

code[x_] := 0.5

Derivation

1. Initial program 56.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 80.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
3. Step-by-step derivation

   1. clear-num 80.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\tan x}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}} \]

   2. inv-pow 80.8%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\tan x}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}\right)}^{-1}} \]

4. Applied egg-rr 80.8%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(\frac{\tan x}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}\right)}^{-1}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow-1 80.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\tan x}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}} \]

6. Simplified 80.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{\tan x}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}} \]

7. Taylor expanded in x around 0 97.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{2 + 6 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}}} \]

8. Taylor expanded in x around inf 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5} \]

9. Final simplification 4.1%

   \[\leadsto 0.5 \]

Developer target: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023257 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))