2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.5% → 97.9%

Time: 5.5s

Alternatives: 5

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.9% accurate, 0.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\\ 2 \cdot \left(t_0 + 2 \cdot t_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (log
          (cbrt
           (exp
            (cos
             (fma
              0.3333333333333333
              (acos (/ g h))
              (* 0.6666666666666666 PI))))))))
   (* 2.0 (+ t_0 (* 2.0 t_0)))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = log(cbrt(exp(cos(fma(0.3333333333333333, acos((g / h)), (0.6666666666666666 * ((double) M_PI)))))));
	return 2.0 * (t_0 + (2.0 * t_0));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = log(cbrt(exp(cos(fma(0.3333333333333333, acos(Float64(g / h)), Float64(0.6666666666666666 * pi))))))
	return Float64(2.0 * Float64(t_0 + Float64(2.0 * t_0)))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[Log[N[Power[N[Exp[N[Cos[N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(t$95$0 + N[(2.0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\log \left(e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}\right)} \]

   2. add-cube-cbrt 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)} \]

   3. log-prod 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. log-prod 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. count-2 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   3. fma-def 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   4. +-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   5. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   6. fma-udef 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

7. Simplified 99.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} \]

8. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + 2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right) \]

Alternative 2: 97.9% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\\ 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{t_0}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot t_0\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (cos
          (+
           (* 0.6666666666666666 PI)
           (* 0.3333333333333333 (acos (/ g h)))))))
   (* 2.0 (+ (* 2.0 (log (cbrt (exp t_0)))) (* 0.3333333333333333 t_0)))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (0.3333333333333333 * acos((g / h)))));
	return 2.0 * ((2.0 * log(cbrt(exp(t_0)))) + (0.3333333333333333 * t_0));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	double t_0 = Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (0.3333333333333333 * Math.acos((g / h)))));
	return 2.0 * ((2.0 * Math.log(Math.cbrt(Math.exp(t_0)))) + (0.3333333333333333 * t_0));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(g / h)))))
	return Float64(2.0 * Float64(Float64(2.0 * log(cbrt(exp(t_0)))) + Float64(0.3333333333333333 * t_0)))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(N[(2.0 * N[Log[N[Power[N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\log \left(e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}\right)} \]

   2. add-cube-cbrt 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)} \]

   3. log-prod 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. log-prod 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. count-2 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   3. fma-def 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   4. +-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   5. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   6. fma-udef 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

7. Simplified 99.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 97.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + \log \color{blue}{\left({\left(e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}\right) \]

   2. log-pow 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \log \left(e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)}\right) \]

   3. add-log-exp 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

   4. fma-udef 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \cos \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}\right) \]

   5. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) \]

   6. fma-def 99.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

9. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right) \]

10. Taylor expanded in g around 0 99.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}\right) \]

11. Taylor expanded in g around 0 99.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\color{blue}{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) \]

12. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right)\right) \]

Alternative 3: 98.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (fma PI 0.6666666666666666 (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(fma(((double) M_PI), 0.6666666666666666, (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(fma(pi, 0.6666666666666666, Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(Pi * 0.6666666666666666 + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. fma-def 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   5. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

4. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

Alternative 4: 98.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (* 0.6666666666666666 PI) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((0.6666666666666666 * math.pi) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * pi) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

4. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

Alternative 5: 96.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos (+ (* 0.6666666666666666 PI) (* 0.3333333333333333 (acos (/ g h)))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (0.3333333333333333 * acos((g / h)))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (0.3333333333333333 * Math.acos((g / h)))));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((0.6666666666666666 * math.pi) + (0.3333333333333333 * math.acos((g / h)))))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(g / h))))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * pi) + (0.3333333333333333 * acos((g / h)))));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.5%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\pi \cdot \frac{2}{3}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   4. fma-def 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\pi, \frac{2}{3}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]

   5. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, \color{blue}{0.6666666666666666}, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right) \]

3. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\pi, 0.6666666666666666, \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\pi \cdot 0.6666666666666666 + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

   2. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]

   4. div-inv 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   5. add-sqr-sqrt 56.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{-g} \cdot \sqrt{-g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   6. sqrt-unprod 92.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-g\right) \cdot \left(-g\right)}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   7. sqr-neg 92.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{\color{blue}{g \cdot g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   8. sqrt-unprod 42.1%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{g} \cdot \sqrt{g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   9. add-sqr-sqrt 97.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

   10. metadata-eval 97.8%

       \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) \]

5. Applied egg-rr 97.8%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} \]

6. Final simplification 97.8%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023252 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))