bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.1% → 97.9%

Time: 19.3s

Alternatives: 9

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = 1.3604430574824904e+67

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.001:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{elif}\;t_0 \leq 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(0.0006944444444444445, {x}^{4}, 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.001)
     (fma 0.16666666666666666 (* x x) (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)))
     (if (<= t_0 1e+245)
       (log t_0)
       (*
        2.0
        (log
         (fma
          0.0006944444444444445
          (pow x 4.0)
          (+ 1.0 (* (* x x) 0.08333333333333333)))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.001) {
		tmp = fma(0.16666666666666666, (x * x), (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)));
	} else if (t_0 <= 1e+245) {
		tmp = log(t_0);
	} else {
		tmp = 2.0 * log(fma(0.0006944444444444445, pow(x, 4.0), (1.0 + ((x * x) * 0.08333333333333333))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.001)
		tmp = fma(0.16666666666666666, Float64(x * x), Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)));
	elseif (t_0 <= 1e+245)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = Float64(2.0 * log(fma(0.0006944444444444445, (x ^ 4.0), Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * 0.08333333333333333)))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.001], N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1e+245], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision], N[(2.0 * N[Log[N[(0.0006944444444444445 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0009999999999999

   1. Initial program 58.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. fma-def 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   if 1.0009999999999999 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000000000000004e245

   1. Initial program 95.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   if 1.00000000000000004e245 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}} \]

      2. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      3. pow3 3.2%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   3. Applied egg-rr 3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{3}}} \]

      2. rem-cbrt-cube 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)} \]

      3. add-sqr-sqrt 3.2%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}} \cdot \sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

      4. log-prod 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right) + \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   5. Applied egg-rr 3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right) + \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. count-2 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   7. Simplified 3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 13.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(0.0006944444444444445 \cdot {x}^{4} + \left(1 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fma-def 13.5%

         \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.0006944444444444445, {x}^{4}, 1 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)\right)} \]

      2. *-commutative 13.5%

         \[\leadsto 2 \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(0.0006944444444444445, {x}^{4}, 1 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.08333333333333333}\right)\right) \]

      3. unpow2 13.5%

         \[\leadsto 2 \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(0.0006944444444444445, {x}^{4}, 1 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.08333333333333333\right)\right) \]

   10. Simplified 13.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.0006944444444444445, {x}^{4}, 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.001:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \log \left(\mathsf{fma}\left(0.0006944444444444445, {x}^{4}, 1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2: 97.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.001:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{elif}\;t_0 \leq 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \frac{42}{x \cdot x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.001)
     (fma 0.16666666666666666 (* x x) (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)))
     (if (<= t_0 1e+245)
       (log t_0)
       (+ (log (* (pow x 6.0) 0.0001984126984126984)) (/ 42.0 (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.001) {
		tmp = fma(0.16666666666666666, (x * x), (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)));
	} else if (t_0 <= 1e+245) {
		tmp = log(t_0);
	} else {
		tmp = log((pow(x, 6.0) * 0.0001984126984126984)) + (42.0 / (x * x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.001)
		tmp = fma(0.16666666666666666, Float64(x * x), Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)));
	elseif (t_0 <= 1e+245)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = Float64(log(Float64((x ^ 6.0) * 0.0001984126984126984)) + Float64(42.0 / Float64(x * x)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.001], N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1e+245], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision], N[(N[Log[N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(42.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0009999999999999

   1. Initial program 58.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. fma-def 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   if 1.0009999999999999 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000000000000004e245

   1. Initial program 95.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   if 1.00000000000000004e245 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 13.4%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-6 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right) + \left(\log 0.0001984126984126984 + 42 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 6.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-6 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right) + \log 0.0001984126984126984\right) + 42 \cdot \frac{1}{{x}^{2}}} \]

      2. log-rec 6.8%

         \[\leadsto \left(-6 \cdot \color{blue}{\left(-\log x\right)} + \log 0.0001984126984126984\right) + 42 \cdot \frac{1}{{x}^{2}} \]

      3. distribute-rgt-neg-out 6.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(--6 \cdot \log x\right)} + \log 0.0001984126984126984\right) + 42 \cdot \frac{1}{{x}^{2}} \]

      4. distribute-lft-neg-in 6.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(--6\right) \cdot \log x} + \log 0.0001984126984126984\right) + 42 \cdot \frac{1}{{x}^{2}} \]

      5. metadata-eval 6.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{6} \cdot \log x + \log 0.0001984126984126984\right) + 42 \cdot \frac{1}{{x}^{2}} \]

      6. log-pow 13.4%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\log \left({x}^{6}\right)} + \log 0.0001984126984126984\right) + 42 \cdot \frac{1}{{x}^{2}} \]

      7. log-prod 13.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)} + 42 \cdot \frac{1}{{x}^{2}} \]

      8. associate-*r/ 13.4%

         \[\leadsto \log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \color{blue}{\frac{42 \cdot 1}{{x}^{2}}} \]

      9. metadata-eval 13.4%

         \[\leadsto \log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \frac{\color{blue}{42}}{{x}^{2}} \]

      10. unpow2 13.4%

          \[\leadsto \log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \frac{42}{\color{blue}{x \cdot x}} \]

   5. Simplified 13.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \frac{42}{x \cdot x}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.001:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \frac{42}{x \cdot x}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 98.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.001:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)\\ \mathbf{elif}\;t_0 \leq 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.001)
     (+ (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)) (* x (* 0.16666666666666666 x)))
     (if (<= t_0 1e+245)
       (log t_0)
       (log (* (pow x 4.0) 0.008333333333333333))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.001) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x));
	} else if (t_0 <= 1e+245) {
		tmp = log(t_0);
	} else {
		tmp = log((pow(x, 4.0) * 0.008333333333333333));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.001d0) then
        tmp = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (0.16666666666666666d0 * x))
    else if (t_0 <= 1d+245) then
        tmp = log(t_0)
    else
        tmp = log(((x ** 4.0d0) * 0.008333333333333333d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.001) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x));
	} else if (t_0 <= 1e+245) {
		tmp = Math.log(t_0);
	} else {
		tmp = Math.log((Math.pow(x, 4.0) * 0.008333333333333333));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.001:
		tmp = (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x))
	elif t_0 <= 1e+245:
		tmp = math.log(t_0)
	else:
		tmp = math.log((math.pow(x, 4.0) * 0.008333333333333333))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.001)
		tmp = Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * x)));
	elseif (t_0 <= 1e+245)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = log(Float64((x ^ 4.0) * 0.008333333333333333));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.001)
		tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x));
	elseif (t_0 <= 1e+245)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = log(((x ^ 4.0) * 0.008333333333333333));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.001], N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1e+245], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0009999999999999

   1. Initial program 58.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 58.2%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 58.2%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right) + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. fma-def 58.2%

         \[\leadsto \log \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, 1\right)} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]

      3. unpow2 58.2%

         \[\leadsto \log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, 1\right) + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]

      4. *-commutative 58.2%

         \[\leadsto \log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333}\right) \]

   4. Simplified 58.2%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-def 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

      3. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

   7. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556} \]

      2. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

      3. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

      4. associate-*l* 99.7%

         \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   9. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   if 1.0009999999999999 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000000000000004e245

   1. Initial program 95.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   if 1.00000000000000004e245 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 13.3%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 13.3%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right) + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. fma-def 13.3%

         \[\leadsto \log \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, 1\right)} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]

      3. unpow2 13.3%

         \[\leadsto \log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, 1\right) + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]

      4. *-commutative 13.3%

         \[\leadsto \log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333}\right) \]

   4. Simplified 13.3%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-4 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right) + \log 0.008333333333333333} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. log-rec 6.7%

         \[\leadsto -4 \cdot \color{blue}{\left(-\log x\right)} + \log 0.008333333333333333 \]

      2. neg-mul-1 6.7%

         \[\leadsto -4 \cdot \color{blue}{\left(-1 \cdot \log x\right)} + \log 0.008333333333333333 \]

      3. associate-*r* 6.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-4 \cdot -1\right) \cdot \log x} + \log 0.008333333333333333 \]

      4. metadata-eval 6.7%

         \[\leadsto \color{blue}{4} \cdot \log x + \log 0.008333333333333333 \]

      5. log-pow 13.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \left({x}^{4}\right)} + \log 0.008333333333333333 \]

      6. log-prod 13.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)} \]

   7. Simplified 13.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.001:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4: 98.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.001:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)\\ \mathbf{elif}\;t_0 \leq 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.001)
     (+ (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)) (* x (* 0.16666666666666666 x)))
     (if (<= t_0 1e+245)
       (log t_0)
       (log (* (pow x 6.0) 0.0001984126984126984))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.001) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x));
	} else if (t_0 <= 1e+245) {
		tmp = log(t_0);
	} else {
		tmp = log((pow(x, 6.0) * 0.0001984126984126984));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.001d0) then
        tmp = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (0.16666666666666666d0 * x))
    else if (t_0 <= 1d+245) then
        tmp = log(t_0)
    else
        tmp = log(((x ** 6.0d0) * 0.0001984126984126984d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.001) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x));
	} else if (t_0 <= 1e+245) {
		tmp = Math.log(t_0);
	} else {
		tmp = Math.log((Math.pow(x, 6.0) * 0.0001984126984126984));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.001:
		tmp = (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x))
	elif t_0 <= 1e+245:
		tmp = math.log(t_0)
	else:
		tmp = math.log((math.pow(x, 6.0) * 0.0001984126984126984))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.001)
		tmp = Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * x)));
	elseif (t_0 <= 1e+245)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = log(Float64((x ^ 6.0) * 0.0001984126984126984));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.001)
		tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x));
	elseif (t_0 <= 1e+245)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = log(((x ^ 6.0) * 0.0001984126984126984));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.001], N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1e+245], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0009999999999999

   1. Initial program 58.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 58.2%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 58.2%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right) + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. fma-def 58.2%

         \[\leadsto \log \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, 1\right)} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]

      3. unpow2 58.2%

         \[\leadsto \log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, 1\right) + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]

      4. *-commutative 58.2%

         \[\leadsto \log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333}\right) \]

   4. Simplified 58.2%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-def 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

      3. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

   7. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556} \]

      2. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

      3. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

      4. associate-*l* 99.7%

         \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   9. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   if 1.0009999999999999 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000000000000004e245

   1. Initial program 95.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   if 1.00000000000000004e245 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 13.4%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-6 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right) + \log 0.0001984126984126984} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. log-rec 6.8%

         \[\leadsto -6 \cdot \color{blue}{\left(-\log x\right)} + \log 0.0001984126984126984 \]

      2. distribute-rgt-neg-out 6.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(--6 \cdot \log x\right)} + \log 0.0001984126984126984 \]

      3. distribute-lft-neg-in 6.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(--6\right) \cdot \log x} + \log 0.0001984126984126984 \]

      4. metadata-eval 6.8%

         \[\leadsto \color{blue}{6} \cdot \log x + \log 0.0001984126984126984 \]

      5. log-pow 13.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \left({x}^{6}\right)} + \log 0.0001984126984126984 \]

      6. log-prod 13.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)} \]

   5. Simplified 13.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.001:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5: 97.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.001:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{elif}\;t_0 \leq 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.001)
     (fma 0.16666666666666666 (* x x) (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)))
     (if (<= t_0 1e+245)
       (log t_0)
       (log (* (pow x 6.0) 0.0001984126984126984))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.001) {
		tmp = fma(0.16666666666666666, (x * x), (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)));
	} else if (t_0 <= 1e+245) {
		tmp = log(t_0);
	} else {
		tmp = log((pow(x, 6.0) * 0.0001984126984126984));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.001)
		tmp = fma(0.16666666666666666, Float64(x * x), Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)));
	elseif (t_0 <= 1e+245)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = log(Float64((x ^ 6.0) * 0.0001984126984126984));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.001], N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1e+245], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0009999999999999

   1. Initial program 58.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. fma-def 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   if 1.0009999999999999 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000000000000004e245

   1. Initial program 95.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   if 1.00000000000000004e245 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 13.4%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 6.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-6 \cdot \log \left(\frac{1}{x}\right) + \log 0.0001984126984126984} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. log-rec 6.8%

         \[\leadsto -6 \cdot \color{blue}{\left(-\log x\right)} + \log 0.0001984126984126984 \]

      2. distribute-rgt-neg-out 6.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(--6 \cdot \log x\right)} + \log 0.0001984126984126984 \]

      3. distribute-lft-neg-in 6.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(--6\right) \cdot \log x} + \log 0.0001984126984126984 \]

      4. metadata-eval 6.8%

         \[\leadsto \color{blue}{6} \cdot \log x + \log 0.0001984126984126984 \]

      5. log-pow 13.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \left({x}^{6}\right)} + \log 0.0001984126984126984 \]

      6. log-prod 13.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)} \]

   5. Simplified 13.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.001:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left({x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6: 98.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.001:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)\\ \mathbf{elif}\;t_0 \leq 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.001)
     (+ (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)) (* x (* 0.16666666666666666 x)))
     (if (<= t_0 1e+245)
       (log t_0)
       (* 2.0 (log1p (* x (* x 0.08333333333333333))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.001) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x));
	} else if (t_0 <= 1e+245) {
		tmp = log(t_0);
	} else {
		tmp = 2.0 * log1p((x * (x * 0.08333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.001) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x));
	} else if (t_0 <= 1e+245) {
		tmp = Math.log(t_0);
	} else {
		tmp = 2.0 * Math.log1p((x * (x * 0.08333333333333333)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.001:
		tmp = (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (0.16666666666666666 * x))
	elif t_0 <= 1e+245:
		tmp = math.log(t_0)
	else:
		tmp = 2.0 * math.log1p((x * (x * 0.08333333333333333)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.001)
		tmp = Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * x)));
	elseif (t_0 <= 1e+245)
		tmp = log(t_0);
	else
		tmp = Float64(2.0 * log1p(Float64(x * Float64(x * 0.08333333333333333))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.001], N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[t$95$0, 1e+245], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision], N[(2.0 * N[Log[1 + N[(x * N[(x * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.0009999999999999

   1. Initial program 58.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 58.2%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 58.2%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right) + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. fma-def 58.2%

         \[\leadsto \log \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, 1\right)} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]

      3. unpow2 58.2%

         \[\leadsto \log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, 1\right) + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]

      4. *-commutative 58.2%

         \[\leadsto \log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333}\right) \]

   4. Simplified 58.2%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + {x}^{4} \cdot 0.008333333333333333\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-def 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. unpow2 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

      3. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556}\right) \]

   7. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556} \]

      2. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

      3. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

      4. associate-*l* 99.7%

         \[\leadsto {x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   9. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   if 1.0009999999999999 < (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000000000000004e245

   1. Initial program 95.9%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   if 1.00000000000000004e245 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 3.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-cbrt-cube 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}} \]

      2. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      3. pow3 3.2%

         \[\leadsto {\color{blue}{\left({\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

   3. Applied egg-rr 3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left({\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{3}}} \]

      2. rem-cbrt-cube 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)} \]

      3. add-sqr-sqrt 3.2%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}} \cdot \sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

      4. log-prod 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right) + \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   5. Applied egg-rr 3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right) + \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. count-2 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   7. Simplified 3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 13.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 13.3%

         \[\leadsto 2 \cdot \log \left(1 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.08333333333333333}\right) \]

      2. unpow2 13.3%

         \[\leadsto 2 \cdot \log \left(1 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.08333333333333333\right) \]

   10. Simplified 13.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. log1p-def 13.3%

          \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

       2. associate-*r* 13.3%

          \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) \]

   12. Applied egg-rr 13.3%

       \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.001:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)\\ \mathbf{elif}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 10^{+245}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7: 96.9% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* 0.16666666666666666 (* x x))
  (+
   (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))
   (+
    (* -2.6455026455026456e-5 (pow x 8.0))
    (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0))))))

C

double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + ((-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + ((-2.6455026455026456e-5 * pow(x, 8.0)) + (0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.16666666666666666d0 * (x * x)) + (((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + (((-2.6455026455026456d-5) * (x ** 8.0d0)) + (0.0003527336860670194d0 * (x ** 6.0d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + ((-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + ((-2.6455026455026456e-5 * Math.pow(x, 8.0)) + (0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 6.0))));
}

Python

def code(x):
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + ((-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + ((-2.6455026455026456e-5 * math.pow(x, 8.0)) + (0.0003527336860670194 * math.pow(x, 6.0))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)) + Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(-2.6455026455026456e-5 * (x ^ 8.0)) + Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.16666666666666666 * (x * x)) + ((-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + ((-2.6455026455026456e-5 * (x ^ 8.0)) + (0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

   2. pow2 94.4%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)\right) + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

   3. log1p-udef 55.2%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\log \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

   4. +-commutative 55.2%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)}\right) + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

   5. fma-udef 55.2%

      \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\log \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)}\right) + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

   6. expm1-udef 55.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{\log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)} - 1\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

   7. add-exp-log 55.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)} - 1\right) + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 55.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) - 1\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. unpow2 55.2%

      \[\leadsto \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{{x}^{2}}, 1\right) - 1\right) + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

   2. fma-def 55.2%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} - 1\right) + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

   3. associate--l+ 94.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 - 1\right)\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

   4. unpow2 94.4%

      \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(1 - 1\right)\right) + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

   5. metadata-eval 94.4%

      \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{0}\right) + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

6. Simplified 94.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

7. Final simplification 94.4%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

Alternative 8: 96.5% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 2.0 (log1p (* x (* x 0.08333333333333333)))))

C

double code(double x) {
	return 2.0 * log1p((x * (x * 0.08333333333333333)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return 2.0 * Math.log1p((x * (x * 0.08333333333333333)));
}

Python

def code(x):
	return 2.0 * math.log1p((x * (x * 0.08333333333333333)))

Julia

function code(x)
	return Float64(2.0 * log1p(Float64(x * Float64(x * 0.08333333333333333))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(2.0 * N[Log[1 + N[(x * N[(x * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}} \]

   2. pow1/3 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\left(\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right) \cdot \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]

   3. pow3 56.9%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left({\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} \]

3. Applied egg-rr 56.9%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left({\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{{\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)}^{3}}} \]

   2. rem-cbrt-cube 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)} \]

   3. add-sqr-sqrt 56.9%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}} \cdot \sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

   4. log-prod 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right) + \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

5. Applied egg-rr 56.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right) + \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. count-2 56.9%

      \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

7. Simplified 56.9%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt{\frac{\sinh x}{x}}\right)} \]

8. Taylor expanded in x around 0 55.6%

   \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 55.6%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \left(1 + \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.08333333333333333}\right) \]

   2. unpow2 55.6%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \left(1 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.08333333333333333\right) \]

10. Simplified 55.6%

    \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]
11. Step-by-step derivation

    1. log1p-def 94.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

    2. associate-*r* 94.4%

       \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)}\right) \]

12. Applied egg-rr 94.4%

    \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right)} \]

13. Final simplification 94.4%

    \[\leadsto 2 \cdot \mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(x \cdot 0.08333333333333333\right)\right) \]

Alternative 9: 96.5% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 94.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 94.3%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 94.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 94.3%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Developer target: 98.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023249 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))