Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.1% → 97.5%

Time: 5.6s

Alternatives: 6

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 97.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* 2.0 x)
   (+
    (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0))
    (+
     (* 0.0003968253968253968 (pow x 7.0))
     (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0)))))
  (+ (exp x) (exp (- x)))))

C

double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * pow(x, 7.0)) + (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0))))) / (exp(x) + exp(-x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((2.0d0 * x) + ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + ((0.0003968253968253968d0 * (x ** 7.0d0)) + (0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0))))) / (exp(x) + exp(-x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * Math.pow(x, 7.0)) + (0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0))))) / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
}

Python

def code(x):
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * math.pow(x, 7.0)) + (0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0))))) / (math.exp(x) + math.exp(-x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(2.0 * x) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(Float64(0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + (0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))))) / (exp(x) + exp(-x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(2.0 * x), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

Alternative 2: 97.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.125\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333) (+ x (* (pow x 5.0) 0.125))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (pow(x, 5.0) * 0.125));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)) + (x + ((x ** 5.0d0) * 0.125d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (Math.pow(x, 5.0) * 0.125));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (math.pow(x, 5.0) * 0.125))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + Float64(x + Float64((x ^ 5.0) * 0.125)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + ((x ^ 5.0) * 0.125));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x + N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.125), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{e^{x} + e^{-x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 98.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. associate-*r* 98.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. distribute-rgt-out 98.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. +-commutative 98.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. associate-*l* 98.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   7. fma-def 98.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

4. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.125 \cdot {x}^{5} + x\right)} \]

6. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.125\right) \]

Alternative 3: 97.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333)
  (+ x (* (pow x 5.0) 0.13333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)) + (x + ((x ** 5.0d0) * 0.13333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (Math.pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (math.pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + Float64(x + Float64((x ^ 5.0) * 0.13333333333333333)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + ((x ^ 5.0) * 0.13333333333333333));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x + N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} + x\right)} \]

3. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right) \]

Alternative 4: 97.2% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{\cosh x} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + 1\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (/ x (cosh x)) (+ (* (* x x) 0.16666666666666666) 1.0)))

C

double code(double x) {
	return (x / cosh(x)) * (((x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x / cosh(x)) * (((x * x) * 0.16666666666666666d0) + 1.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x / Math.cosh(x)) * (((x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0);
}

Python

def code(x):
	return (x / math.cosh(x)) * (((x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x / cosh(x)) * Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x / cosh(x)) * (((x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x / N[Cosh[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{e^{x} + e^{-x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 98.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. associate-*r* 98.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. distribute-rgt-out 98.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. +-commutative 98.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. associate-*l* 98.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   7. fma-def 98.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

4. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{e^{x} + e^{-x}}\right)\right)} \]

   2. expm1-udef 9.2%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{e^{x} + e^{-x}}\right)} - 1} \]

   3. associate-/l* 9.2%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\frac{e^{x} + e^{-x}}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}}\right)} - 1 \]

   4. cosh-undef 9.2%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{\color{blue}{2 \cdot \cosh x}}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}\right)} - 1 \]

   5. *-commutative 9.2%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x}, 2\right)}}\right)} - 1 \]

6. Applied egg-rr 9.2%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}\right)} - 1} \]
7. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}\right)\right)} \]

   2. expm1-log1p 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}} \]

   3. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{2 \cdot \cosh x} \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)} \]

   4. *-commutative 98.4%

      \[\leadsto \frac{x}{2 \cdot \cosh x} \cdot \mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right) \]

8. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{2 \cdot \cosh x} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 98.4%

      \[\leadsto \frac{x}{2 \cdot \cosh x} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)} \]

   2. distribute-lft-in 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{2 \cdot \cosh x} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \frac{x}{2 \cdot \cosh x} \cdot 2} \]

   3. *-un-lft-identity 98.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 \cdot x}}{2 \cdot \cosh x} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \frac{x}{2 \cdot \cosh x} \cdot 2 \]

   4. times-frac 98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\cosh x}\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \frac{x}{2 \cdot \cosh x} \cdot 2 \]

   5. metadata-eval 98.3%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{0.5} \cdot \frac{x}{\cosh x}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \frac{x}{2 \cdot \cosh x} \cdot 2 \]

   6. *-un-lft-identity 98.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \frac{x}{\cosh x}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \frac{\color{blue}{1 \cdot x}}{2 \cdot \cosh x} \cdot 2 \]

   7. times-frac 98.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \frac{x}{\cosh x}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{\cosh x}\right)} \cdot 2 \]

   8. metadata-eval 98.3%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \frac{x}{\cosh x}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(\color{blue}{0.5} \cdot \frac{x}{\cosh x}\right) \cdot 2 \]

10. Applied egg-rr 98.3%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{x}{\cosh x}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(0.5 \cdot \frac{x}{\cosh x}\right) \cdot 2} \]
11. Step-by-step derivation

    1. distribute-lft-out 98.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{x}{\cosh x}\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)} \]

    2. fma-udef 98.4%

       \[\leadsto \left(0.5 \cdot \frac{x}{\cosh x}\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)} \]

    3. *-commutative 98.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{x}{\cosh x} \cdot 0.5\right)} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right) \]

    4. associate-*l* 98.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\cosh x} \cdot \left(0.5 \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)\right)} \]

    5. fma-udef 98.4%

       \[\leadsto \frac{x}{\cosh x} \cdot \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}\right) \]

    6. distribute-rgt-in 98.4%

       \[\leadsto \frac{x}{\cosh x} \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 0.5 + 2 \cdot 0.5\right)} \]

    7. associate-*r* 98.4%

       \[\leadsto \frac{x}{\cosh x} \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot 0.5 + 2 \cdot 0.5\right) \]

    8. associate-*l* 98.4%

       \[\leadsto \frac{x}{\cosh x} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.5\right)} + 2 \cdot 0.5\right) \]

    9. metadata-eval 98.4%

       \[\leadsto \frac{x}{\cosh x} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666} + 2 \cdot 0.5\right) \]

    10. metadata-eval 98.4%

        \[\leadsto \frac{x}{\cosh x} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{1}\right) \]

12. Simplified 98.4%

    \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\cosh x} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + 1\right)} \]

13. Final simplification 98.4%

    \[\leadsto \frac{x}{\cosh x} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + 1\right) \]

Alternative 5: 97.1% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ x (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333)))

C

double code(double x) {
	return x + (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
}

Python

def code(x):
	return x + (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333)

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x} \]

3. Final simplification 98.2%

   \[\leadsto x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 \]

Alternative 6: 96.8% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.7%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

3. Final simplification 97.7%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023242 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))