Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 54.0% → 100.0%

Time: 4.7s

Alternatives: 10

Speedup: 18.7×

• 49.2% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -5 \lor \neg \left(t_0 \leq 0.05\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (or (<= t_0 -5.0) (not (<= t_0 0.05)))
     (/ t_0 2.0)
     (/
      (+
       (* x 2.0)
       (+
        (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0))
        (+
         (* 0.0003968253968253968 (pow x 7.0))
         (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0)))))
      2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -5.0) || !(t_0 <= 0.05)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * pow(x, 7.0)) + (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0))))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(x) - exp(-x)
    if ((t_0 <= (-5.0d0)) .or. (.not. (t_0 <= 0.05d0))) then
        tmp = t_0 / 2.0d0
    else
        tmp = ((x * 2.0d0) + ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + ((0.0003968253968253968d0 * (x ** 7.0d0)) + (0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0))))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -5.0) || !(t_0 <= 0.05)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * Math.pow(x, 7.0)) + (0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0))))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -5.0) or not (t_0 <= 0.05):
		tmp = t_0 / 2.0
	else:
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * math.pow(x, 7.0)) + (0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0))))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= -5.0) || !(t_0 <= 0.05))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(Float64(0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -5.0) || ~((t_0 <= 0.05)))
		tmp = t_0 / 2.0;
	else
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + (0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, -5.0], N[Not[LessEqual[t$95$0, 0.05]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -5 or 0.050000000000000003 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -5 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 0.050000000000000003

   1. Initial program 9.7%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -5 \lor \neg \left(e^{x} - e^{-x} \leq 0.05\right):\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 99.8% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -5 \lor \neg \left(t_0 \leq 4 \cdot 10^{-5}\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (or (<= t_0 -5.0) (not (<= t_0 4e-5)))
     (/ t_0 2.0)
     (/ (+ (* x 2.0) (* x (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -5.0) || !(t_0 <= 4e-5)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(x) - exp(-x)
    if ((t_0 <= (-5.0d0)) .or. (.not. (t_0 <= 4d-5))) then
        tmp = t_0 / 2.0d0
    else
        tmp = ((x * 2.0d0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -5.0) || !(t_0 <= 4e-5)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -5.0) or not (t_0 <= 4e-5):
		tmp = t_0 / 2.0
	else:
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= -5.0) || !(t_0 <= 4e-5))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -5.0) || ~((t_0 <= 4e-5)))
		tmp = t_0 / 2.0;
	else
		tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, -5.0], N[Not[LessEqual[t$95$0, 4e-5]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -5 or 4.00000000000000033e-5 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -5 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 4.00000000000000033e-5

   1. Initial program 9.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. distribute-rgt-in 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

      3. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -5 \lor \neg \left(e^{x} - e^{-x} \leq 4 \cdot 10^{-5}\right):\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 89.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+156}:\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 500000:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - {t_0}^{2}}{2 - t_0}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{{x}^{6} \cdot 0.027777777777777776}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.3333333333333333 (* x x))))
   (if (<= x -5e+156)
     (* x (/ 1.0 (/ 6.0 (* x x))))
     (if (<= x 500000.0)
       (/ (* x (/ (- 4.0 (pow t_0 2.0)) (- 2.0 t_0))) 2.0)
       (sqrt (* (pow x 6.0) 0.027777777777777776))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= -5e+156) {
		tmp = x * (1.0 / (6.0 / (x * x)));
	} else if (x <= 500000.0) {
		tmp = (x * ((4.0 - pow(t_0, 2.0)) / (2.0 - t_0))) / 2.0;
	} else {
		tmp = sqrt((pow(x, 6.0) * 0.027777777777777776));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.3333333333333333d0 * (x * x)
    if (x <= (-5d+156)) then
        tmp = x * (1.0d0 / (6.0d0 / (x * x)))
    else if (x <= 500000.0d0) then
        tmp = (x * ((4.0d0 - (t_0 ** 2.0d0)) / (2.0d0 - t_0))) / 2.0d0
    else
        tmp = sqrt(((x ** 6.0d0) * 0.027777777777777776d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= -5e+156) {
		tmp = x * (1.0 / (6.0 / (x * x)));
	} else if (x <= 500000.0) {
		tmp = (x * ((4.0 - Math.pow(t_0, 2.0)) / (2.0 - t_0))) / 2.0;
	} else {
		tmp = Math.sqrt((Math.pow(x, 6.0) * 0.027777777777777776));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.3333333333333333 * (x * x)
	tmp = 0
	if x <= -5e+156:
		tmp = x * (1.0 / (6.0 / (x * x)))
	elif x <= 500000.0:
		tmp = (x * ((4.0 - math.pow(t_0, 2.0)) / (2.0 - t_0))) / 2.0
	else:
		tmp = math.sqrt((math.pow(x, 6.0) * 0.027777777777777776))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (x <= -5e+156)
		tmp = Float64(x * Float64(1.0 / Float64(6.0 / Float64(x * x))));
	elseif (x <= 500000.0)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(4.0 - (t_0 ^ 2.0)) / Float64(2.0 - t_0))) / 2.0);
	else
		tmp = sqrt(Float64((x ^ 6.0) * 0.027777777777777776));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if (x <= -5e+156)
		tmp = x * (1.0 / (6.0 / (x * x)));
	elseif (x <= 500000.0)
		tmp = (x * ((4.0 - (t_0 ^ 2.0)) / (2.0 - t_0))) / 2.0;
	else
		tmp = sqrt(((x ^ 6.0) * 0.027777777777777776));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -5e+156], N[(x * N[(1.0 / N[(6.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 500000.0], N[(N[(x * N[(N[(4.0 - N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[Sqrt[N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -4.99999999999999992e156

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      2. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      3. associate-/r* 100.0%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{2}{0.3333333333333333}}{x \cdot x}}} \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\frac{\color{blue}{6}}{x \cdot x}} \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]

   if -4.99999999999999992e156 < x < 5e5

   1. Initial program 24.7%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 89.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 89.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 89.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 88.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 88.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 88.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 88.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 88.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 88.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 88.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. *-commutative 88.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   6. Applied egg-rr 88.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 88.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(2 + x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      2. flip-+ 91.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}{2 - x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}}{2} \]

      3. metadata-eval 91.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\color{blue}{4} - \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}{2 - x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}{2} \]

      4. pow2 91.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{4 - \color{blue}{{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}^{2}}}{2 - x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 91.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{4 - {\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}}^{2}}{2 - x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 91.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{4 - {\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}^{2}}{2 - x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}{2} \]

      7. *-commutative 91.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{2 - \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x}}}{2} \]

      8. associate-*l* 91.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{2 - \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}}{2} \]

   8. Applied egg-rr 91.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}}{2} \]

   if 5e5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 68.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 68.7%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 68.7%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 68.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 68.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 68.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 68.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 68.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 68.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 68.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 68.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 68.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 68.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      2. associate-*r* 68.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      3. unpow3 68.7%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{{x}^{3}}}{2} \]

      4. add-sqr-sqrt 68.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2}}} \]

      5. sqrt-unprod 90.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2} \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2}}} \]

      6. div-inv 90.6%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2}} \]

      7. metadata-eval 90.6%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \color{blue}{0.5}\right) \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2}} \]

      8. div-inv 90.6%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot 0.5\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}} \]

      9. metadata-eval 90.6%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \color{blue}{0.5}\right)} \]

      10. swap-sqr 90.6%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot 0.5\right)}} \]

      11. swap-sqr 90.6%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)\right)} \cdot \left(0.5 \cdot 0.5\right)} \]

      12. metadata-eval 90.6%

          \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \left(0.5 \cdot 0.5\right)} \]

      13. pow-prod-up 90.6%

          \[\leadsto \sqrt{\left(0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}}\right) \cdot \left(0.5 \cdot 0.5\right)} \]

      14. metadata-eval 90.6%

          \[\leadsto \sqrt{\left(0.1111111111111111 \cdot {x}^{\color{blue}{6}}\right) \cdot \left(0.5 \cdot 0.5\right)} \]

      15. metadata-eval 90.6%

          \[\leadsto \sqrt{\left(0.1111111111111111 \cdot {x}^{6}\right) \cdot \color{blue}{0.25}} \]

   9. Applied egg-rr 90.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(0.1111111111111111 \cdot {x}^{6}\right) \cdot 0.25}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 90.6%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{6} \cdot 0.1111111111111111\right)} \cdot 0.25} \]

       2. associate-*l* 90.6%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{6} \cdot \left(0.1111111111111111 \cdot 0.25\right)}} \]

       3. metadata-eval 90.6%

          \[\leadsto \sqrt{{x}^{6} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

   11. Simplified 90.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{6} \cdot 0.027777777777777776}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 92.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+156}:\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 500000:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{{x}^{6} \cdot 0.027777777777777776}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 87.6% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+156} \lor \neg \left(x \leq 10^{+101}\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - {t_0}^{2}}{2 - t_0}}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.3333333333333333 (* x x))))
   (if (or (<= x -5e+156) (not (<= x 1e+101)))
     (* x (/ 1.0 (/ 6.0 (* x x))))
     (/ (* x (/ (- 4.0 (pow t_0 2.0)) (- 2.0 t_0))) 2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double tmp;
	if ((x <= -5e+156) || !(x <= 1e+101)) {
		tmp = x * (1.0 / (6.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = (x * ((4.0 - pow(t_0, 2.0)) / (2.0 - t_0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.3333333333333333d0 * (x * x)
    if ((x <= (-5d+156)) .or. (.not. (x <= 1d+101))) then
        tmp = x * (1.0d0 / (6.0d0 / (x * x)))
    else
        tmp = (x * ((4.0d0 - (t_0 ** 2.0d0)) / (2.0d0 - t_0))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double tmp;
	if ((x <= -5e+156) || !(x <= 1e+101)) {
		tmp = x * (1.0 / (6.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = (x * ((4.0 - Math.pow(t_0, 2.0)) / (2.0 - t_0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = 0.3333333333333333 * (x * x)
	tmp = 0
	if (x <= -5e+156) or not (x <= 1e+101):
		tmp = x * (1.0 / (6.0 / (x * x)))
	else:
		tmp = (x * ((4.0 - math.pow(t_0, 2.0)) / (2.0 - t_0))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if ((x <= -5e+156) || !(x <= 1e+101))
		tmp = Float64(x * Float64(1.0 / Float64(6.0 / Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(4.0 - (t_0 ^ 2.0)) / Float64(2.0 - t_0))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -5e+156) || ~((x <= 1e+101)))
		tmp = x * (1.0 / (6.0 / (x * x)));
	else
		tmp = (x * ((4.0 - (t_0 ^ 2.0)) / (2.0 - t_0))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[x, -5e+156], N[Not[LessEqual[x, 1e+101]], $MachinePrecision]], N[(x * N[(1.0 / N[(6.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(N[(4.0 - N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.99999999999999992e156 or 9.9999999999999998e100 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      2. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      3. associate-/r* 100.0%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{2}{0.3333333333333333}}{x \cdot x}}} \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\frac{\color{blue}{6}}{x \cdot x}} \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]

   if -4.99999999999999992e156 < x < 9.9999999999999998e100

   1. Initial program 34.4%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 78.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 78.3%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 78.3%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 78.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 78.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 78.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 78.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 78.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 78.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 78.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. *-commutative 78.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   6. Applied egg-rr 78.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 78.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(2 + x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      2. flip-+ 85.6%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}{2 - x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}}{2} \]

      3. metadata-eval 85.6%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\color{blue}{4} - \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}{2 - x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}{2} \]

      4. pow2 85.6%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{4 - \color{blue}{{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}^{2}}}{2 - x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 85.6%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{4 - {\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}}^{2}}{2 - x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 85.6%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{4 - {\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}^{2}}{2 - x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}}{2} \]

      7. *-commutative 85.6%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{2 - \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x}}}{2} \]

      8. associate-*l* 85.6%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{2 - \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}}{2} \]

   8. Applied egg-rr 85.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 89.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+156} \lor \neg \left(x \leq 10^{+101}\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 83.9% accurate, 15.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.4 \lor \neg \left(x \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -2.4) (not (<= x 2.4)))
   (* x (/ 1.0 (/ 6.0 (* x x))))
   (/ (* x 2.0) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.4) || !(x <= 2.4)) {
		tmp = x * (1.0 / (6.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-2.4d0)) .or. (.not. (x <= 2.4d0))) then
        tmp = x * (1.0d0 / (6.0d0 / (x * x)))
    else
        tmp = (x * 2.0d0) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.4) || !(x <= 2.4)) {
		tmp = x * (1.0 / (6.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -2.4) or not (x <= 2.4):
		tmp = x * (1.0 / (6.0 / (x * x)))
	else:
		tmp = (x * 2.0) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2.4) || !(x <= 2.4))
		tmp = Float64(x * Float64(1.0 / Float64(6.0 / Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2.4) || ~((x <= 2.4)))
		tmp = x * (1.0 / (6.0 / (x * x)));
	else
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -2.4], N[Not[LessEqual[x, 2.4]], $MachinePrecision]], N[(x * N[(1.0 / N[(6.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.39999999999999991 or 2.39999999999999991 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 67.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 67.5%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 67.5%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 67.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 67.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 67.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 67.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 67.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 67.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 67.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 67.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 67.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 67.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      2. div-inv 67.5%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      3. associate-/r* 67.5%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\frac{\frac{2}{0.3333333333333333}}{x \cdot x}}} \]

      4. metadata-eval 67.5%

         \[\leadsto x \cdot \frac{1}{\frac{\color{blue}{6}}{x \cdot x}} \]

   9. Applied egg-rr 67.5%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]

   if -2.39999999999999991 < x < 2.39999999999999991

   1. Initial program 11.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 97.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 83.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.4 \lor \neg \left(x \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 84.2% accurate, 15.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* x 2.0) (* x (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * 2.0d0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * 2.0) + (x * (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 84.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 84.2%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 84.2%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 84.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 84.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   2. distribute-rgt-in 84.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

   3. *-commutative 84.2%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

6. Applied egg-rr 84.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

7. Final simplification 84.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \]

Alternative 7: 84.2% accurate, 18.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (2.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 84.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 84.2%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 84.2%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 84.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 84.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   2. *-commutative 84.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

6. Applied egg-rr 84.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

7. Final simplification 84.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \]

Alternative 8: 52.5% accurate, 41.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x 2.0) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 2.0d0) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * 2.0) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 2.0) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 54.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]

3. Final simplification 54.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2}{2} \]

Alternative 9: 2.9% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 -1.0)

C

double code(double x) {
	return -1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0;
}

Python

def code(x):
	return -1.0

Julia

function code(x)
	return -1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0;
end

Wolfram

code[x_] := -1.0

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 2.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2}}{2} \]

4. Final simplification 2.7%

   \[\leadsto -1 \]

Alternative 10: 3.5% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 52.4%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 3.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0}}{2} \]

4. Final simplification 3.5%

   \[\leadsto 0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023240 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))