Linear.Quaternion:$csin from linear-1.19.1.3

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 7.8s

Alternatives: 13

Speedup: 1.0×

• 49.2% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (cos x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return cos(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = cos(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.cos(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.cos(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(cos(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = cos(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (cos x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return cos(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = cos(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.cos(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.cos(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(cos(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = cos(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos x \cdot {\left(\frac{y}{\sinh y}\right)}^{-1} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (cos x) (pow (/ y (sinh y)) -1.0)))

C

double code(double x, double y) {
	return cos(x) * pow((y / sinh(y)), -1.0);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = cos(x) * ((y / sinh(y)) ** (-1.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.cos(x) * Math.pow((y / Math.sinh(y)), -1.0);
}

Python

def code(x, y):
	return math.cos(x) * math.pow((y / math.sinh(y)), -1.0)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(cos(x) * (Float64(y / sinh(y)) ^ -1.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = cos(x) * ((y / sinh(y)) ^ -1.0);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[Power[N[(y / N[Sinh[y], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
2. Step-by-step derivation

   1. clear-num 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{y}{\sinh y}}} \]

   2. inv-pow 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{{\left(\frac{y}{\sinh y}\right)}^{-1}} \]

3. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{{\left(\frac{y}{\sinh y}\right)}^{-1}} \]

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \cos x \cdot {\left(\frac{y}{\sinh y}\right)}^{-1} \]

Alternative 2: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (cos x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return cos(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = cos(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.cos(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.cos(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(cos(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = cos(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

2. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

Alternative 3: 82.8% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\\ t_1 := \frac{-1 + t_0}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, -1\right)}\\ t_2 := 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ t_3 := -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + t_2\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 5.1 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + {t_2}^{3}}{\left(1 - t_2\right) + t_0} \cdot \left(1 + t_3\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 2 \cdot 10^{+108}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;y \leq 2 \cdot 10^{+146}:\\ \;\;\;\;\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{1 + \left(y \cdot y\right) \cdot -0.16666666666666666} \cdot \left(-1 - t_3\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* y y) (* y (* y 0.027777777777777776))))
        (t_1 (/ (+ -1.0 t_0) (fma y (* y 0.16666666666666666) -1.0)))
        (t_2 (* 0.16666666666666666 (* y y)))
        (t_3 (* -0.5 (* x x))))
   (if (<= y 840.0)
     (* (cos x) (+ 1.0 t_2))
     (if (<= y 5.1e+76)
       (* (/ (+ 1.0 (pow t_2 3.0)) (+ (- 1.0 t_2) t_0)) (+ 1.0 t_3))
       (if (<= y 2e+108)
         t_1
         (if (<= y 2e+146)
           (*
            (/
             (+ -1.0 (* 0.027777777777777776 (pow y 4.0)))
             (+ 1.0 (* (* y y) -0.16666666666666666)))
            (- -1.0 t_3))
           (if (<= y 1.35e+154)
             t_1
             (* 0.16666666666666666 (* (cos x) (* y y))))))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = (y * y) * (y * (y * 0.027777777777777776));
	double t_1 = (-1.0 + t_0) / fma(y, (y * 0.16666666666666666), -1.0);
	double t_2 = 0.16666666666666666 * (y * y);
	double t_3 = -0.5 * (x * x);
	double tmp;
	if (y <= 840.0) {
		tmp = cos(x) * (1.0 + t_2);
	} else if (y <= 5.1e+76) {
		tmp = ((1.0 + pow(t_2, 3.0)) / ((1.0 - t_2) + t_0)) * (1.0 + t_3);
	} else if (y <= 2e+108) {
		tmp = t_1;
	} else if (y <= 2e+146) {
		tmp = ((-1.0 + (0.027777777777777776 * pow(y, 4.0))) / (1.0 + ((y * y) * -0.16666666666666666))) * (-1.0 - t_3);
	} else if (y <= 1.35e+154) {
		tmp = t_1;
	} else {
		tmp = 0.16666666666666666 * (cos(x) * (y * y));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(Float64(y * y) * Float64(y * Float64(y * 0.027777777777777776)))
	t_1 = Float64(Float64(-1.0 + t_0) / fma(y, Float64(y * 0.16666666666666666), -1.0))
	t_2 = Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y))
	t_3 = Float64(-0.5 * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (y <= 840.0)
		tmp = Float64(cos(x) * Float64(1.0 + t_2));
	elseif (y <= 5.1e+76)
		tmp = Float64(Float64(Float64(1.0 + (t_2 ^ 3.0)) / Float64(Float64(1.0 - t_2) + t_0)) * Float64(1.0 + t_3));
	elseif (y <= 2e+108)
		tmp = t_1;
	elseif (y <= 2e+146)
		tmp = Float64(Float64(Float64(-1.0 + Float64(0.027777777777777776 * (y ^ 4.0))) / Float64(1.0 + Float64(Float64(y * y) * -0.16666666666666666))) * Float64(-1.0 - t_3));
	elseif (y <= 1.35e+154)
		tmp = t_1;
	else
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * Float64(cos(x) * Float64(y * y)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(-1.0 + t$95$0), $MachinePrecision] / N[(y * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(-0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 840.0], N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$2), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 5.1e+76], N[(N[(N[(1.0 + N[Power[t$95$2, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[(1.0 - t$95$2), $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 2e+108], t$95$1, If[LessEqual[y, 2e+146], N[(N[(N[(-1.0 + N[(0.027777777777777776 * N[Power[y, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - t$95$3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.35e+154], t$95$1, N[(0.16666666666666666 * N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if y < 840

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 84.9%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   if 840 < y < 5.1000000000000002e76

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 3.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 3.7%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 3.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 22.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) + 1} \]

      2. associate-+l+ 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. *-commutative 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      4. associate-*l* 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right)} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      5. +-commutative 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      6. unpow2 22.3%

         \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      7. associate-*r* 22.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      8. *-commutative 22.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      9. fma-udef 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      10. unpow2 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      11. associate-*r* 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \]

      12. *-commutative 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \]

      13. fma-udef 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

      14. *-rgt-identity 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot 1} \]

      15. distribute-lft-out 22.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5 + 1\right)} \]

      16. *-commutative 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2}} + 1\right) \]

      17. unpow2 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) \]

   7. Simplified 22.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) + 1\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

      2. flip3-+ 47.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}^{3} + {1}^{3}}{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) + \left(1 \cdot 1 - \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot 1\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

      3. metadata-eval 47.9%

         \[\leadsto \frac{{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}^{3} + \color{blue}{1}}{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) + \left(1 \cdot 1 - \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot 1\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

      4. fma-def 47.9%

         \[\leadsto \frac{{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}^{3} + 1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), 1 \cdot 1 - \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot 1\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

      5. metadata-eval 47.9%

         \[\leadsto \frac{{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}^{3} + 1}{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), \color{blue}{1} - \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot 1\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

   9. Applied egg-rr 47.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}^{3} + 1}{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), 1 - \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot 1\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. +-commutative 47.9%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + {\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}^{3}}}{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), 1 - \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot 1\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       2. *-commutative 47.9%

          \[\leadsto \frac{1 + {\color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y\right)}}^{3}}{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), 1 - \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot 1\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       3. associate-*r* 47.9%

          \[\leadsto \frac{1 + {\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}}^{3}}{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), 1 - \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot 1\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       4. fma-udef 47.9%

          \[\leadsto \frac{1 + {\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) + \left(1 - \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot 1\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       5. +-commutative 47.9%

          \[\leadsto \frac{1 + {\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}^{3}}{\color{blue}{\left(1 - \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot 1\right) + \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       6. *-rgt-identity 47.9%

          \[\leadsto \frac{1 + {\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}^{3}}{\left(1 - \color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)}\right) + \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       7. *-commutative 47.9%

          \[\leadsto \frac{1 + {\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}^{3}}{\left(1 - \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y}\right) + \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       8. associate-*r* 47.9%

          \[\leadsto \frac{1 + {\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}^{3}}{\left(1 - \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)}\right) + \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       9. swap-sqr 47.9%

          \[\leadsto \frac{1 + {\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}^{3}}{\left(1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       10. swap-sqr 47.9%

           \[\leadsto \frac{1 + {\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}^{3}}{\left(1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       11. metadata-eval 47.9%

           \[\leadsto \frac{1 + {\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}^{3}}{\left(1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       12. associate-*r* 47.9%

           \[\leadsto \frac{1 + {\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}^{3}}{\left(1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.027777777777777776 \cdot y\right) \cdot y\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       13. *-commutative 47.9%

           \[\leadsto \frac{1 + {\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}^{3}}{\left(1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot 0.027777777777777776\right)} \cdot y\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       14. *-commutative 47.9%

           \[\leadsto \frac{1 + {\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}^{3}}{\left(1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

   11. Simplified 47.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{1 + {\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}^{3}}{\left(1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

   if 5.1000000000000002e76 < y < 2.0000000000000001e108 or 1.99999999999999987e146 < y < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 6.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 6.9%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 6.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 6.9%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 6.9%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. associate-*r* 6.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1 \]

      4. *-commutative 6.9%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 6.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

   7. Simplified 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 6.9%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) + 1} \]

      2. flip-+ 90.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) - 1 \cdot 1}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1}} \]

      3. metadata-eval 90.5%

         \[\leadsto \frac{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) - \color{blue}{1}}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      4. fma-neg 90.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      5. metadata-eval 90.5%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), \color{blue}{-1}\right)}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      6. fma-neg 90.5%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \]

      7. metadata-eval 90.5%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, \color{blue}{-1}\right)} \]

   9. Applied egg-rr 90.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. fma-udef 90.5%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) + -1}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       2. +-commutative 90.5%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{-1 + \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       3. swap-sqr 90.5%

          \[\leadsto \frac{-1 + \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       4. swap-sqr 90.5%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       5. metadata-eval 90.5%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       6. associate-*r* 90.5%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.027777777777777776 \cdot y\right) \cdot y\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       7. *-commutative 90.5%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot 0.027777777777777776\right)} \cdot y\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       8. *-commutative 90.5%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

   11. Simplified 90.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \]

   if 2.0000000000000001e108 < y < 1.99999999999999987e146

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 6.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 6.7%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 6.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 32.5%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 32.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) + 1} \]

      2. associate-+l+ 32.5%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. *-commutative 32.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      4. associate-*l* 32.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right)} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      5. +-commutative 32.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      6. unpow2 32.5%

         \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      7. associate-*r* 32.5%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      8. *-commutative 32.5%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      9. fma-udef 32.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      10. unpow2 32.5%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      11. associate-*r* 32.5%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \]

      12. *-commutative 32.5%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \]

      13. fma-udef 32.5%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

      14. *-rgt-identity 32.5%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot 1} \]

      15. distribute-lft-out 32.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5 + 1\right)} \]

      16. *-commutative 32.5%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2}} + 1\right) \]

      17. unpow2 32.5%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) \]

   7. Simplified 32.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 4.8%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) + 1} \]

      2. flip-+ 71.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) - 1 \cdot 1}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1}} \]

      3. metadata-eval 71.4%

         \[\leadsto \frac{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) - \color{blue}{1}}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      4. fma-neg 71.4%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      5. metadata-eval 71.4%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), \color{blue}{-1}\right)}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      6. fma-neg 71.4%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \]

      7. metadata-eval 71.4%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, \color{blue}{-1}\right)} \]

   9. Applied egg-rr 85.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. fma-udef 71.4%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) + -1}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       2. +-commutative 71.4%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{-1 + \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       3. swap-sqr 71.4%

          \[\leadsto \frac{-1 + \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       4. swap-sqr 71.4%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       5. metadata-eval 71.4%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       6. associate-*r* 71.4%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.027777777777777776 \cdot y\right) \cdot y\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       7. *-commutative 71.4%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot 0.027777777777777776\right)} \cdot y\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       8. *-commutative 71.4%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

   11. Simplified 85.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg 85.7%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\left(-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       2. distribute-frac-neg 85.7%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       3. associate-*r* 85.7%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.027777777777777776\right)}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       4. associate-*r* 85.7%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot 0.027777777777777776}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       5. metadata-eval 85.7%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       6. swap-sqr 85.7%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right)}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       7. *-commutative 85.7%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right)}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       8. *-commutative 85.7%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       9. swap-sqr 85.7%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       10. metadata-eval 85.7%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       11. pow2 85.7%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2}} \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       12. pow2 85.7%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot \left({y}^{2} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right)}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       13. pow-prod-up 85.7%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot \color{blue}{{y}^{\left(2 + 2\right)}}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       14. metadata-eval 85.7%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{\color{blue}{4}}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       15. fma-udef 85.7%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{-\color{blue}{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) + -1\right)}}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       16. *-commutative 85.7%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{-\left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       17. associate-*r* 85.7%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{-\left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)} + -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       18. distribute-neg-in 85.7%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(--1\right)}}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

   13. Applied egg-rr 85.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{\left(y \cdot y\right) \cdot -0.16666666666666666 + 1}\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

   if 1.35000000000000003e154 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 85.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 5.1 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + {\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}^{3}}{\left(1 - 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)} \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 2 \cdot 10^{+108}:\\ \;\;\;\;\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, -1\right)}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 2 \cdot 10^{+146}:\\ \;\;\;\;\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{1 + \left(y \cdot y\right) \cdot -0.16666666666666666} \cdot \left(-1 - -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4: 81.8% accurate, 1.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + t_1\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 5.1 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;t_1 \cdot \left(1 + t_0\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.05 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, -1\right)}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{1 + \left(y \cdot y\right) \cdot -0.16666666666666666} \cdot \left(-1 - t_0\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* -0.5 (* x x))) (t_1 (* 0.16666666666666666 (* y y))))
   (if (<= y 840.0)
     (* (cos x) (+ 1.0 t_1))
     (if (<= y 5.1e+76)
       (* t_1 (+ 1.0 t_0))
       (if (<= y 1.05e+110)
         (/
          (+ -1.0 (* (* y y) (* y (* y 0.027777777777777776))))
          (fma y (* y 0.16666666666666666) -1.0))
         (if (<= y 1.35e+154)
           (*
            (/
             (+ -1.0 (* 0.027777777777777776 (pow y 4.0)))
             (+ 1.0 (* (* y y) -0.16666666666666666)))
            (- -1.0 t_0))
           (* 0.16666666666666666 (* (cos x) (* y y)))))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = -0.5 * (x * x);
	double t_1 = 0.16666666666666666 * (y * y);
	double tmp;
	if (y <= 840.0) {
		tmp = cos(x) * (1.0 + t_1);
	} else if (y <= 5.1e+76) {
		tmp = t_1 * (1.0 + t_0);
	} else if (y <= 1.05e+110) {
		tmp = (-1.0 + ((y * y) * (y * (y * 0.027777777777777776)))) / fma(y, (y * 0.16666666666666666), -1.0);
	} else if (y <= 1.35e+154) {
		tmp = ((-1.0 + (0.027777777777777776 * pow(y, 4.0))) / (1.0 + ((y * y) * -0.16666666666666666))) * (-1.0 - t_0);
	} else {
		tmp = 0.16666666666666666 * (cos(x) * (y * y));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(-0.5 * Float64(x * x))
	t_1 = Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y))
	tmp = 0.0
	if (y <= 840.0)
		tmp = Float64(cos(x) * Float64(1.0 + t_1));
	elseif (y <= 5.1e+76)
		tmp = Float64(t_1 * Float64(1.0 + t_0));
	elseif (y <= 1.05e+110)
		tmp = Float64(Float64(-1.0 + Float64(Float64(y * y) * Float64(y * Float64(y * 0.027777777777777776)))) / fma(y, Float64(y * 0.16666666666666666), -1.0));
	elseif (y <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(Float64(-1.0 + Float64(0.027777777777777776 * (y ^ 4.0))) / Float64(1.0 + Float64(Float64(y * y) * -0.16666666666666666))) * Float64(-1.0 - t_0));
	else
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * Float64(cos(x) * Float64(y * y)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(-0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 840.0], N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 5.1e+76], N[(t$95$1 * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.05e+110], N[(N[(-1.0 + N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(y * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.35e+154], N[(N[(N[(-1.0 + N[(0.027777777777777776 * N[Power[y, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * -0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(-1.0 - t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.16666666666666666 * N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 5 regimes

2. if y < 840

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 84.9%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   if 840 < y < 5.1000000000000002e76

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 3.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 3.7%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 3.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 22.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) + 1} \]

      2. associate-+l+ 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. *-commutative 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      4. associate-*l* 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right)} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      5. +-commutative 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      6. unpow2 22.3%

         \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      7. associate-*r* 22.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      8. *-commutative 22.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      9. fma-udef 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      10. unpow2 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      11. associate-*r* 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \]

      12. *-commutative 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \]

      13. fma-udef 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

      14. *-rgt-identity 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot 1} \]

      15. distribute-lft-out 22.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5 + 1\right)} \]

      16. *-commutative 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2}} + 1\right) \]

      17. unpow2 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) \]

   7. Simplified 22.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around inf 22.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 3.0%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

   10. Simplified 22.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

   if 5.1000000000000002e76 < y < 1.05000000000000007e110

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 5.3%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 5.3%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 5.3%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 5.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 5.3%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. associate-*r* 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1 \]

      4. *-commutative 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

   7. Simplified 5.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 5.3%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) + 1} \]

      2. flip-+ 88.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) - 1 \cdot 1}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1}} \]

      3. metadata-eval 88.1%

         \[\leadsto \frac{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) - \color{blue}{1}}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      4. fma-neg 88.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      5. metadata-eval 88.1%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), \color{blue}{-1}\right)}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      6. fma-neg 88.1%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \]

      7. metadata-eval 88.1%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, \color{blue}{-1}\right)} \]

   9. Applied egg-rr 88.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. fma-udef 88.1%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) + -1}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       2. +-commutative 88.1%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{-1 + \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       3. swap-sqr 88.1%

          \[\leadsto \frac{-1 + \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       4. swap-sqr 88.1%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       5. metadata-eval 88.1%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       6. associate-*r* 88.1%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.027777777777777776 \cdot y\right) \cdot y\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       7. *-commutative 88.1%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot 0.027777777777777776\right)} \cdot y\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       8. *-commutative 88.1%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

   11. Simplified 88.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \]

   if 1.05000000000000007e110 < y < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 8.2%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 8.2%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 8.2%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 28.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 28.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) + 1} \]

      2. associate-+l+ 28.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. *-commutative 28.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      4. associate-*l* 28.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right)} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      5. +-commutative 28.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      6. unpow2 28.3%

         \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      7. associate-*r* 28.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      8. *-commutative 28.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      9. fma-udef 28.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      10. unpow2 28.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      11. associate-*r* 28.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \]

      12. *-commutative 28.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \]

      13. fma-udef 28.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

      14. *-rgt-identity 28.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot 1} \]

      15. distribute-lft-out 28.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5 + 1\right)} \]

      16. *-commutative 28.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2}} + 1\right) \]

      17. unpow2 28.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) \]

   7. Simplified 28.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 6.8%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) + 1} \]

      2. flip-+ 77.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) - 1 \cdot 1}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1}} \]

      3. metadata-eval 77.8%

         \[\leadsto \frac{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) - \color{blue}{1}}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      4. fma-neg 77.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      5. metadata-eval 77.8%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), \color{blue}{-1}\right)}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      6. fma-neg 77.8%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \]

      7. metadata-eval 77.8%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, \color{blue}{-1}\right)} \]

   9. Applied egg-rr 88.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
   10. Step-by-step derivation

       1. fma-udef 77.8%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) + -1}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       2. +-commutative 77.8%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{-1 + \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       3. swap-sqr 77.8%

          \[\leadsto \frac{-1 + \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       4. swap-sqr 77.8%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       5. metadata-eval 77.8%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       6. associate-*r* 77.8%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.027777777777777776 \cdot y\right) \cdot y\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       7. *-commutative 77.8%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot 0.027777777777777776\right)} \cdot y\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       8. *-commutative 77.8%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

   11. Simplified 88.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
   12. Step-by-step derivation

       1. frac-2neg 88.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\frac{-\left(-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)\right)}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       2. distribute-frac-neg 88.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(-\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       3. associate-*r* 88.9%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.027777777777777776\right)}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       4. associate-*r* 88.9%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot 0.027777777777777776}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       5. metadata-eval 88.9%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       6. swap-sqr 88.9%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right)}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       7. *-commutative 88.9%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right)}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       8. *-commutative 88.9%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       9. swap-sqr 88.9%

          \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       10. metadata-eval 88.9%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + \color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left(\left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       11. pow2 88.9%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot \left(\color{blue}{{y}^{2}} \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       12. pow2 88.9%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot \left({y}^{2} \cdot \color{blue}{{y}^{2}}\right)}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       13. pow-prod-up 88.9%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot \color{blue}{{y}^{\left(2 + 2\right)}}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       14. metadata-eval 88.9%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{\color{blue}{4}}}{-\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       15. fma-udef 88.9%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{-\color{blue}{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) + -1\right)}}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       16. *-commutative 88.9%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{-\left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       17. associate-*r* 88.9%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{-\left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)} + -1\right)}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

       18. distribute-neg-in 88.9%

           \[\leadsto \left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) + \left(--1\right)}}\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

   13. Applied egg-rr 88.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{\left(y \cdot y\right) \cdot -0.16666666666666666 + 1}\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

   if 1.35000000000000003e154 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 5 regimes into one program.

4. Final simplification 83.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 5.1 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.05 \cdot 10^{+110}:\\ \;\;\;\;\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, -1\right)}\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{-1 + 0.027777777777777776 \cdot {y}^{4}}{1 + \left(y \cdot y\right) \cdot -0.16666666666666666} \cdot \left(-1 - -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5: 81.8% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + t_0\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 5.1 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.16666666666666666 (* y y))))
   (if (<= y 840.0)
     (* (cos x) (+ 1.0 t_0))
     (if (<= y 5.1e+76)
       (* t_0 (+ 1.0 (* -0.5 (* x x))))
       (if (<= y 1.35e+154)
         (/
          (+ -1.0 (* (* y y) (* y (* y 0.027777777777777776))))
          (fma y (* y 0.16666666666666666) -1.0))
         (* 0.16666666666666666 (* (cos x) (* y y))))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 * (y * y);
	double tmp;
	if (y <= 840.0) {
		tmp = cos(x) * (1.0 + t_0);
	} else if (y <= 5.1e+76) {
		tmp = t_0 * (1.0 + (-0.5 * (x * x)));
	} else if (y <= 1.35e+154) {
		tmp = (-1.0 + ((y * y) * (y * (y * 0.027777777777777776)))) / fma(y, (y * 0.16666666666666666), -1.0);
	} else {
		tmp = 0.16666666666666666 * (cos(x) * (y * y));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y))
	tmp = 0.0
	if (y <= 840.0)
		tmp = Float64(cos(x) * Float64(1.0 + t_0));
	elseif (y <= 5.1e+76)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(x * x))));
	elseif (y <= 1.35e+154)
		tmp = Float64(Float64(-1.0 + Float64(Float64(y * y) * Float64(y * Float64(y * 0.027777777777777776)))) / fma(y, Float64(y * 0.16666666666666666), -1.0));
	else
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * Float64(cos(x) * Float64(y * y)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 840.0], N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 5.1e+76], N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.35e+154], N[(N[(-1.0 + N[(N[(y * y), $MachinePrecision] * N[(y * N[(y * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(y * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.16666666666666666 * N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 4 regimes

2. if y < 840

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 84.9%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   if 840 < y < 5.1000000000000002e76

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 3.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 3.7%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 3.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 22.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) + 1} \]

      2. associate-+l+ 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. *-commutative 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      4. associate-*l* 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right)} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      5. +-commutative 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      6. unpow2 22.3%

         \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      7. associate-*r* 22.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      8. *-commutative 22.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      9. fma-udef 22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      10. unpow2 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      11. associate-*r* 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \]

      12. *-commutative 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \]

      13. fma-udef 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

      14. *-rgt-identity 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot 1} \]

      15. distribute-lft-out 22.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5 + 1\right)} \]

      16. *-commutative 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2}} + 1\right) \]

      17. unpow2 22.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) \]

   7. Simplified 22.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around inf 22.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 3.0%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

   10. Simplified 22.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

   if 5.1000000000000002e76 < y < 1.35000000000000003e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 6.8%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 6.8%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 6.8%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 6.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 6.1%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 6.1%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. associate-*r* 6.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1 \]

      4. *-commutative 6.1%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 6.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

   7. Simplified 6.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 6.1%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) + 1} \]

      2. flip-+ 82.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) - 1 \cdot 1}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1}} \]

      3. metadata-eval 82.6%

         \[\leadsto \frac{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) - \color{blue}{1}}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      4. fma-neg 82.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      5. metadata-eval 82.6%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), \color{blue}{-1}\right)}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right) - 1} \]

      6. fma-neg 82.6%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \]

      7. metadata-eval 82.6%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, \color{blue}{-1}\right)} \]

   9. Applied egg-rr 82.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{fma}\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right), -1\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. fma-udef 82.6%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) + -1}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       2. +-commutative 82.6%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{-1 + \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right) \cdot \left(y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       3. swap-sqr 82.6%

          \[\leadsto \frac{-1 + \color{blue}{\left(y \cdot y\right) \cdot \left(\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       4. swap-sqr 82.6%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       5. metadata-eval 82.6%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left(y \cdot y\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       6. associate-*r* 82.6%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.027777777777777776 \cdot y\right) \cdot y\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       7. *-commutative 82.6%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot 0.027777777777777776\right)} \cdot y\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

       8. *-commutative 82.6%

          \[\leadsto \frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)} \]

   11. Simplified 82.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, -1\right)}} \]

   if 1.35000000000000003e154 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 4 regimes into one program.

4. Final simplification 83.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 5.1 \cdot 10^{+76}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.35 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{-1 + \left(y \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot \left(y \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{\mathsf{fma}\left(y, y \cdot 0.16666666666666666, -1\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6: 65.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.6 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 840.0)
   (cos x)
   (if (<= y 1.6e+149)
     (* (* 0.16666666666666666 (* y y)) (+ 1.0 (* -0.5 (* x x))))
     (* 0.16666666666666666 (* (cos x) (* y y))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 840.0) {
		tmp = cos(x);
	} else if (y <= 1.6e+149) {
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) * (1.0 + (-0.5 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 0.16666666666666666 * (cos(x) * (y * y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 840.0d0) then
        tmp = cos(x)
    else if (y <= 1.6d+149) then
        tmp = (0.16666666666666666d0 * (y * y)) * (1.0d0 + ((-0.5d0) * (x * x)))
    else
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (cos(x) * (y * y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 840.0) {
		tmp = Math.cos(x);
	} else if (y <= 1.6e+149) {
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) * (1.0 + (-0.5 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 0.16666666666666666 * (Math.cos(x) * (y * y));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 840.0:
		tmp = math.cos(x)
	elif y <= 1.6e+149:
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) * (1.0 + (-0.5 * (x * x)))
	else:
		tmp = 0.16666666666666666 * (math.cos(x) * (y * y))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 840.0)
		tmp = cos(x);
	elseif (y <= 1.6e+149)
		tmp = Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)) * Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * Float64(cos(x) * Float64(y * y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 840.0)
		tmp = cos(x);
	elseif (y <= 1.6e+149)
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) * (1.0 + (-0.5 * (x * x)));
	else
		tmp = 0.16666666666666666 * (cos(x) * (y * y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 840.0], N[Cos[x], $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.6e+149], N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.16666666666666666 * N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 840

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 84.9%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around 0 69.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x} \]

   if 840 < y < 1.6000000000000001e149

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 4.8%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 4.8%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 4.8%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 19.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 19.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) + 1} \]

      2. associate-+l+ 19.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. *-commutative 19.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      4. associate-*l* 19.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right)} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      5. +-commutative 19.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      6. unpow2 19.3%

         \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      7. associate-*r* 19.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      8. *-commutative 19.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      9. fma-udef 19.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      10. unpow2 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      11. associate-*r* 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \]

      12. *-commutative 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \]

      13. fma-udef 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

      14. *-rgt-identity 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot 1} \]

      15. distribute-lft-out 19.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5 + 1\right)} \]

      16. *-commutative 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2}} + 1\right) \]

      17. unpow2 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) \]

   7. Simplified 19.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around inf 19.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 4.1%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

   10. Simplified 19.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

   if 1.6000000000000001e149 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 95.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 95.5%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 95.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 95.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   7. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 67.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.6 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7: 78.6% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + t_0\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.6 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.16666666666666666 (* y y))))
   (if (<= y 840.0)
     (* (cos x) (+ 1.0 t_0))
     (if (<= y 1.6e+149)
       (* t_0 (+ 1.0 (* -0.5 (* x x))))
       (* 0.16666666666666666 (* (cos x) (* y y)))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 * (y * y);
	double tmp;
	if (y <= 840.0) {
		tmp = cos(x) * (1.0 + t_0);
	} else if (y <= 1.6e+149) {
		tmp = t_0 * (1.0 + (-0.5 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 0.16666666666666666 * (cos(x) * (y * y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.16666666666666666d0 * (y * y)
    if (y <= 840.0d0) then
        tmp = cos(x) * (1.0d0 + t_0)
    else if (y <= 1.6d+149) then
        tmp = t_0 * (1.0d0 + ((-0.5d0) * (x * x)))
    else
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (cos(x) * (y * y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 * (y * y);
	double tmp;
	if (y <= 840.0) {
		tmp = Math.cos(x) * (1.0 + t_0);
	} else if (y <= 1.6e+149) {
		tmp = t_0 * (1.0 + (-0.5 * (x * x)));
	} else {
		tmp = 0.16666666666666666 * (Math.cos(x) * (y * y));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	t_0 = 0.16666666666666666 * (y * y)
	tmp = 0
	if y <= 840.0:
		tmp = math.cos(x) * (1.0 + t_0)
	elif y <= 1.6e+149:
		tmp = t_0 * (1.0 + (-0.5 * (x * x)))
	else:
		tmp = 0.16666666666666666 * (math.cos(x) * (y * y))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y))
	tmp = 0.0
	if (y <= 840.0)
		tmp = Float64(cos(x) * Float64(1.0 + t_0));
	elseif (y <= 1.6e+149)
		tmp = Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * Float64(cos(x) * Float64(y * y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	t_0 = 0.16666666666666666 * (y * y);
	tmp = 0.0;
	if (y <= 840.0)
		tmp = cos(x) * (1.0 + t_0);
	elseif (y <= 1.6e+149)
		tmp = t_0 * (1.0 + (-0.5 * (x * x)));
	else
		tmp = 0.16666666666666666 * (cos(x) * (y * y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 840.0], N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 1.6e+149], N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(0.16666666666666666 * N[(N[Cos[x], $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < 840

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 84.9%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   if 840 < y < 1.6000000000000001e149

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 4.8%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 4.8%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 4.8%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 19.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 19.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) + 1} \]

      2. associate-+l+ 19.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. *-commutative 19.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      4. associate-*l* 19.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right)} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      5. +-commutative 19.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      6. unpow2 19.3%

         \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      7. associate-*r* 19.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      8. *-commutative 19.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      9. fma-udef 19.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      10. unpow2 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      11. associate-*r* 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \]

      12. *-commutative 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \]

      13. fma-udef 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

      14. *-rgt-identity 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot 1} \]

      15. distribute-lft-out 19.3%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5 + 1\right)} \]

      16. *-commutative 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2}} + 1\right) \]

      17. unpow2 19.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) \]

   7. Simplified 19.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around inf 19.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 4.1%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

   10. Simplified 19.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

   if 1.6000000000000001e149 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 95.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 95.5%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 95.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 95.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   7. Simplified 95.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 78.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;\cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 1.6 \cdot 10^{+149}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(\cos x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 8: 62.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 840.0)
   (cos x)
   (* (* 0.16666666666666666 (* y y)) (+ 1.0 (* -0.5 (* x x))))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 840.0) {
		tmp = cos(x);
	} else {
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) * (1.0 + (-0.5 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 840.0d0) then
        tmp = cos(x)
    else
        tmp = (0.16666666666666666d0 * (y * y)) * (1.0d0 + ((-0.5d0) * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 840.0) {
		tmp = Math.cos(x);
	} else {
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) * (1.0 + (-0.5 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 840.0:
		tmp = math.cos(x)
	else:
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) * (1.0 + (-0.5 * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 840.0)
		tmp = cos(x);
	else
		tmp = Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)) * Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 840.0)
		tmp = cos(x);
	else
		tmp = (0.16666666666666666 * (y * y)) * (1.0 + (-0.5 * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 840.0], N[Cos[x], $MachinePrecision], N[(N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 840

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 84.9%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around 0 69.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x} \]

   if 840 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 55.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 55.5%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 55.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 8.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 8.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) + 1} \]

      2. associate-+l+ 8.9%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. *-commutative 8.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      4. associate-*l* 8.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right)} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      5. +-commutative 8.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      6. unpow2 8.9%

         \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      7. associate-*r* 8.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      8. *-commutative 8.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      9. fma-udef 8.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      10. unpow2 8.9%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      11. associate-*r* 8.9%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \]

      12. *-commutative 8.9%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \]

      13. fma-udef 8.9%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

      14. *-rgt-identity 8.9%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot 1} \]

      15. distribute-lft-out 53.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5 + 1\right)} \]

      16. *-commutative 53.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2}} + 1\right) \]

      17. unpow2 53.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) \]

   7. Simplified 53.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around inf 53.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 34.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

   10. Simplified 53.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;\cos x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 9: 49.2% accurate, 13.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;1 + t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.16666666666666666 (* y y))))
   (if (<= y 840.0) (+ 1.0 t_0) (* t_0 (+ 1.0 (* -0.5 (* x x)))))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 * (y * y);
	double tmp;
	if (y <= 840.0) {
		tmp = 1.0 + t_0;
	} else {
		tmp = t_0 * (1.0 + (-0.5 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.16666666666666666d0 * (y * y)
    if (y <= 840.0d0) then
        tmp = 1.0d0 + t_0
    else
        tmp = t_0 * (1.0d0 + ((-0.5d0) * (x * x)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 * (y * y);
	double tmp;
	if (y <= 840.0) {
		tmp = 1.0 + t_0;
	} else {
		tmp = t_0 * (1.0 + (-0.5 * (x * x)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	t_0 = 0.16666666666666666 * (y * y)
	tmp = 0
	if y <= 840.0:
		tmp = 1.0 + t_0
	else:
		tmp = t_0 * (1.0 + (-0.5 * (x * x)))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y))
	tmp = 0.0
	if (y <= 840.0)
		tmp = Float64(1.0 + t_0);
	else
		tmp = Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(-0.5 * Float64(x * x))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	t_0 = 0.16666666666666666 * (y * y);
	tmp = 0.0;
	if (y <= 840.0)
		tmp = 1.0 + t_0;
	else
		tmp = t_0 * (1.0 + (-0.5 * (x * x)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, 840.0], N[(1.0 + t$95$0), $MachinePrecision], N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(-0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 840

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 84.9%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 84.9%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 50.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 50.4%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 50.4%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

   7. Simplified 50.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1} \]

   if 840 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 55.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 55.5%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 55.5%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 8.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 8.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) + 1} \]

      2. associate-+l+ 8.9%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. *-commutative 8.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      4. associate-*l* 8.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right)} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      5. +-commutative 8.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      6. unpow2 8.9%

         \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      7. associate-*r* 8.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      8. *-commutative 8.9%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      9. fma-udef 8.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      10. unpow2 8.9%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      11. associate-*r* 8.9%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \]

      12. *-commutative 8.9%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \]

      13. fma-udef 8.9%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

      14. *-rgt-identity 8.9%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot 1} \]

      15. distribute-lft-out 53.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5 + 1\right)} \]

      16. *-commutative 53.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2}} + 1\right) \]

      17. unpow2 53.0%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) \]

   7. Simplified 53.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around inf 53.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 34.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

   10. Simplified 53.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 51.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 840:\\ \;\;\;\;1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot \left(1 + -0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 10: 48.2% accurate, 18.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1700000000000:\\ \;\;\;\;1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.08333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= x 1700000000000.0)
   (+ 1.0 (* 0.16666666666666666 (* y y)))
   (* -0.08333333333333333 (* (* x y) (* x y)))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (x <= 1700000000000.0) {
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	} else {
		tmp = -0.08333333333333333 * ((x * y) * (x * y));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1700000000000.0d0) then
        tmp = 1.0d0 + (0.16666666666666666d0 * (y * y))
    else
        tmp = (-0.08333333333333333d0) * ((x * y) * (x * y))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (x <= 1700000000000.0) {
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	} else {
		tmp = -0.08333333333333333 * ((x * y) * (x * y));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if x <= 1700000000000.0:
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y))
	else:
		tmp = -0.08333333333333333 * ((x * y) * (x * y))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1700000000000.0)
		tmp = Float64(1.0 + Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)));
	else
		tmp = Float64(-0.08333333333333333 * Float64(Float64(x * y) * Float64(x * y)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1700000000000.0)
		tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
	else
		tmp = -0.08333333333333333 * ((x * y) * (x * y));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[x, 1700000000000.0], N[(1.0 + N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(-0.08333333333333333 * N[(N[(x * y), $MachinePrecision] * N[(x * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.7e12

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 77.3%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 77.3%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 77.3%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 54.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 54.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 54.0%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

   7. Simplified 54.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1} \]

   if 1.7e12 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 76.3%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 76.3%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 76.3%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 9.3%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 9.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) + 1} \]

      2. associate-+l+ 9.3%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.5 \cdot \left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. *-commutative 9.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.5} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      4. associate-*l* 9.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right)} + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      5. +-commutative 9.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      6. unpow2 9.3%

         \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      7. associate-*r* 9.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      8. *-commutative 9.3%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      9. fma-udef 9.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right) \]

      10. unpow2 9.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      11. associate-*r* 9.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1\right) \]

      12. *-commutative 9.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \left(\color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1\right) \]

      13. fma-udef 9.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

      14. *-rgt-identity 9.3%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot 1} \]

      15. distribute-lft-out 20.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left({x}^{2} \cdot -0.5 + 1\right)} \]

      16. *-commutative 20.8%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.5 \cdot {x}^{2}} + 1\right) \]

      17. unpow2 20.8%

          \[\leadsto \mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) \]

   7. Simplified 20.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right) \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around inf 20.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 12.4%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

   10. Simplified 20.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \cdot \left(-0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right) \]

   11. Taylor expanded in x around inf 20.6%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.08333333333333333 \cdot \left({y}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. unpow2 20.6%

          \[\leadsto -0.08333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot {x}^{2}\right) \]

       2. *-commutative 20.6%

          \[\leadsto -0.08333333333333333 \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

       3. unpow2 20.6%

          \[\leadsto -0.08333333333333333 \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \]

       4. unswap-sqr 21.1%

          \[\leadsto -0.08333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot y\right)\right)} \]

   13. Simplified 21.1%

       \[\leadsto \color{blue}{-0.08333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot y\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 47.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1700000000000:\\ \;\;\;\;1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.08333333333333333 \cdot \left(\left(x \cdot y\right) \cdot \left(x \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 11: 37.3% accurate, 29.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 2.5:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (<= y 2.5) 1.0 (* 0.16666666666666666 (* y y))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 2.5) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = 0.16666666666666666 * (y * y);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if (y <= 2.5d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (y * y)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if (y <= 2.5) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = 0.16666666666666666 * (y * y);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if y <= 2.5:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = 0.16666666666666666 * (y * y)
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if (y <= 2.5)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if (y <= 2.5)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = 0.16666666666666666 * (y * y);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[LessEqual[y, 2.5], 1.0, N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < 2.5

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 85.4%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 85.4%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 85.4%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 50.6%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 50.6%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 50.6%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. associate-*r* 50.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1 \]

      4. *-commutative 50.6%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 50.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

   7. Simplified 50.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around 0 38.8%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 2.5 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 54.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 54.7%

         \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 54.7%

      \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 34.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 34.1%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

      2. unpow2 34.1%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

      3. associate-*r* 34.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1 \]

      4. *-commutative 34.1%

         \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1 \]

      5. fma-udef 34.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

   7. Simplified 34.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around inf 34.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 34.1%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \]

   10. Simplified 34.1%

       \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 37.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq 2.5:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\\ \end{array} \]

Alternative 12: 46.5% accurate, 29.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (+ 1.0 (* 0.16666666666666666 (* y y))))

C

double code(double x, double y) {
	return 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = 1.0d0 + (0.16666666666666666d0 * (y * y))
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
}

Python

def code(x, y):
	return 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y))

Julia

function code(x, y)
	return Float64(1.0 + Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y)))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = 1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y));
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(1.0 + N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

2. Taylor expanded in y around 0 77.1%

   \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 77.1%

      \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

4. Simplified 77.1%

   \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 46.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

   2. unpow2 46.2%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

7. Simplified 46.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1} \]

8. Final simplification 46.2%

   \[\leadsto 1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) \]

Alternative 13: 28.3% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x, double y) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x, y):
	return 1.0

Julia

function code(x, y)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_, y_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\cos x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

2. Taylor expanded in y around 0 77.1%

   \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 77.1%

      \[\leadsto \cos x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

4. Simplified 77.1%

   \[\leadsto \cos x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 46.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1} \]

   2. unpow2 46.2%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1 \]

   3. associate-*r* 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot y} + 1 \]

   4. *-commutative 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{y \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + 1 \]

   5. fma-udef 46.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

7. Simplified 46.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(y, 0.16666666666666666 \cdot y, 1\right)} \]

8. Taylor expanded in y around 0 29.0%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

9. Final simplification 29.0%

   \[\leadsto 1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023240 
(FPCore (x y)
  :name "Linear.Quaternion:$csin from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64
  (* (cos x) (/ (sinh y) y)))