invcot (example 3.9)

Percentage Accurate: 6.4% → 99.2%

Time: 13.8s

Alternatives: 4

Speedup: 35.7×

Specification

\[-0.026 < x \land x < 0.026\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / x) - (1.0d0 / tan(x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / Math.tan(x));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / x) - (1.0 / math.tan(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 6.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (1.0d0 / x) - (1.0d0 / tan(x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / Math.tan(x));
}

Python

def code(x):
	return (1.0 / x) - (1.0 / math.tan(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)\\ \frac{x}{\frac{t_0}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{t_0}{0.0004938271604938272}} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (fma 0.022222222222222223 (* x x) 0.3333333333333333))))
   (-
    (/ x (/ t_0 (* x 0.1111111111111111)))
    (/ (pow x 6.0) (/ t_0 0.0004938271604938272)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * fma(0.022222222222222223, (x * x), 0.3333333333333333);
	return (x / (t_0 / (x * 0.1111111111111111))) - (pow(x, 6.0) / (t_0 / 0.0004938271604938272));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * fma(0.022222222222222223, Float64(x * x), 0.3333333333333333))
	return Float64(Float64(x / Float64(t_0 / Float64(x * 0.1111111111111111))) - Float64((x ^ 6.0) / Float64(t_0 / 0.0004938271604938272)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(0.022222222222222223 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(x / N[(t$95$0 / N[(x * 0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] / N[(t$95$0 / 0.0004938271604938272), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 5.4%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]

   2. div-inv 56.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]

   3. swap-sqr 56.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   4. metadata-eval 56.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   5. *-commutative 56.6%

      \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   6. *-commutative 56.6%

      \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - \left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)}\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   7. swap-sqr 56.6%

      \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)}\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   8. pow-prod-up 56.6%

      \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - \color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   9. metadata-eval 56.6%

      \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   10. metadata-eval 56.6%

       \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot \color{blue}{0.0004938271604938272}\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   11. cancel-sign-sub-inv 56.6%

       \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + \left(-0.022222222222222223\right) \cdot {x}^{3}}} \]

   12. fma-def 56.6%

       \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, \left(-0.022222222222222223\right) \cdot {x}^{3}\right)}} \]

   13. metadata-eval 56.6%

       \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, \color{blue}{-0.022222222222222223} \cdot {x}^{3}\right)} \]

4. Applied egg-rr 56.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. un-div-inv 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}} \]

   2. div-sub 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}} \]

6. Applied egg-rr 56.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   2. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{\color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   3. unpow3 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot 0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   4. associate-*r* 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot 0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   5. *-commutative 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot 0.3333333333333333 + \color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   6. +-commutative 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + x \cdot 0.3333333333333333}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   7. distribute-lft-out 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.3333333333333333\right)}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   8. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   9. associate-/l* 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \color{blue}{\frac{{x}^{6}}{\frac{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.0004938271604938272}}} \]

   10. fma-def 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{\color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}}{0.0004938271604938272}} \]

   11. unpow3 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{x \cdot 0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{0.0004938271604938272}} \]

   12. associate-*r* 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{x \cdot 0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{0.0004938271604938272}} \]

   13. *-commutative 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{x \cdot 0.3333333333333333 + \color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{0.0004938271604938272}} \]

   14. +-commutative 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + x \cdot 0.3333333333333333}}{0.0004938271604938272}} \]

   15. distribute-lft-out 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.3333333333333333\right)}}{0.0004938271604938272}} \]

   16. fma-def 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}}{0.0004938271604938272}} \]

8. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{0.0004938271604938272}}} \]

9. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{0.0004938271604938272}} \]

Alternative 2: 99.2% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (-
  (/
   x
   (/
    (* x (fma 0.022222222222222223 (* x x) 0.3333333333333333))
    (* x 0.1111111111111111)))
  (* 0.022222222222222223 (pow x 3.0))))

C

double code(double x) {
	return (x / ((x * fma(0.022222222222222223, (x * x), 0.3333333333333333)) / (x * 0.1111111111111111))) - (0.022222222222222223 * pow(x, 3.0));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x / Float64(Float64(x * fma(0.022222222222222223, Float64(x * x), 0.3333333333333333)) / Float64(x * 0.1111111111111111))) - Float64(0.022222222222222223 * (x ^ 3.0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x / N[(N[(x * N[(0.022222222222222223 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x * 0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(0.022222222222222223 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 5.4%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. flip-+ 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]

   2. div-inv 56.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]

   3. swap-sqr 56.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   4. metadata-eval 56.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(x \cdot x\right) - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   5. *-commutative 56.6%

      \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   6. *-commutative 56.6%

      \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - \left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)}\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   7. swap-sqr 56.6%

      \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)}\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   8. pow-prod-up 56.6%

      \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - \color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   9. metadata-eval 56.6%

      \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   10. metadata-eval 56.6%

       \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot \color{blue}{0.0004938271604938272}\right) \cdot \frac{1}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

   11. cancel-sign-sub-inv 56.6%

       \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + \left(-0.022222222222222223\right) \cdot {x}^{3}}} \]

   12. fma-def 56.6%

       \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, \left(-0.022222222222222223\right) \cdot {x}^{3}\right)}} \]

   13. metadata-eval 56.6%

       \[\leadsto \left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, \color{blue}{-0.022222222222222223} \cdot {x}^{3}\right)} \]

4. Applied egg-rr 56.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272\right) \cdot \frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. un-div-inv 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}} \]

   2. div-sub 56.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}} \]

6. Applied egg-rr 56.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot \left(x \cdot 0.1111111111111111\right)}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   2. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{\color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   3. unpow3 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot 0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   4. associate-*r* 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot 0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   5. *-commutative 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot 0.3333333333333333 + \color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   6. +-commutative 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + x \cdot 0.3333333333333333}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   7. distribute-lft-out 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.3333333333333333\right)}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   8. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]

   9. associate-/l* 99.7%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \color{blue}{\frac{{x}^{6}}{\frac{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.0004938271604938272}}} \]

   10. fma-def 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{\color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}}{0.0004938271604938272}} \]

   11. unpow3 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{x \cdot 0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{0.0004938271604938272}} \]

   12. associate-*r* 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{x \cdot 0.3333333333333333 + \color{blue}{\left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{0.0004938271604938272}} \]

   13. *-commutative 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{x \cdot 0.3333333333333333 + \color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{0.0004938271604938272}} \]

   14. +-commutative 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + x \cdot 0.3333333333333333}}{0.0004938271604938272}} \]

   15. distribute-lft-out 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{\color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.3333333333333333\right)}}{0.0004938271604938272}} \]

   16. fma-def 99.7%

       \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}}{0.0004938271604938272}} \]

8. Simplified 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \frac{{x}^{6}}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{0.0004938271604938272}}} \]

9. Taylor expanded in x around inf 99.7%

   \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - \color{blue}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

10. Final simplification 99.7%

    \[\leadsto \frac{x}{\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)}{x \cdot 0.1111111111111111}} - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} \]

Alternative 3: 99.4% accurate, 11.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (+ 0.3333333333333333 (* 0.022222222222222223 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return x * (0.3333333333333333 + (0.022222222222222223 * (x * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (0.3333333333333333d0 + (0.022222222222222223d0 * (x * x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (0.3333333333333333 + (0.022222222222222223 * (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return x * (0.3333333333333333 + (0.022222222222222223 * (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(0.3333333333333333 + Float64(0.022222222222222223 * Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (0.3333333333333333 + (0.022222222222222223 * (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(0.3333333333333333 + N[(0.022222222222222223 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 5.4%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]

   2. expm1-udef 7.2%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - 1} \]

   3. +-commutative 7.2%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.3333333333333333 \cdot x}\right)} - 1 \]

   4. fma-def 7.2%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, 0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right)} - 1 \]

4. Applied egg-rr 7.2%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, 0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)} - 1} \]
5. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, 0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)\right)} \]

   2. expm1-log1p 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, {x}^{3}, 0.3333333333333333 \cdot x\right)} \]

   3. fma-udef 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} + 0.3333333333333333 \cdot x} \]

   4. cube-mult 99.5%

      \[\leadsto 0.022222222222222223 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + 0.3333333333333333 \cdot x \]

   5. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.022222222222222223 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} + 0.3333333333333333 \cdot x \]

   6. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.022222222222222223\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.3333333333333333 \cdot x \]

   7. associate-*r* 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + 0.3333333333333333 \cdot x \]

   8. *-commutative 99.5%

      \[\leadsto x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333} \]

   9. distribute-lft-out 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.3333333333333333\right)} \]

   10. fma-def 99.5%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)} \]

6. Simplified 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.022222222222222223, x \cdot x, 0.3333333333333333\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.5%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.3333333333333333\right)} \]

8. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.3333333333333333\right)} \]

9. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto x \cdot \left(0.3333333333333333 + 0.022222222222222223 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

Alternative 4: 98.9% accurate, 35.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x 0.3333333333333333))

C

double code(double x) {
	return x * 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * 0.3333333333333333;
}

Python

def code(x):
	return x * 0.3333333333333333

Julia

function code(x)
	return Float64(x * 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 5.4%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x} \]

3. Final simplification 99.4%

   \[\leadsto x \cdot 0.3333333333333333 \]

Developer target: 99.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.026:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.026)
   (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0)))
   (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.026) {
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (abs(x) < 0.026d0) then
        tmp = (x / 3.0d0) * (1.0d0 + ((x * x) / 15.0d0))
    else
        tmp = (1.0d0 / x) - (1.0d0 / tan(x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (Math.abs(x) < 0.026) {
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0));
	} else {
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / Math.tan(x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if math.fabs(x) < 0.026:
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0))
	else:
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / math.tan(x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.026)
		tmp = Float64(Float64(x / 3.0) * Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) / 15.0)));
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (abs(x) < 0.026)
		tmp = (x / 3.0) * (1.0 + ((x * x) / 15.0));
	else
		tmp = (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.026], N[(N[(x / 3.0), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / 15.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023230 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))