Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 54.0% → 99.9%

Time: 4.9s

Alternatives: 9

Speedup: 18.7×

• 49.1% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -0.5 \lor \neg \left(t_0 \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (or (<= t_0 -0.5) (not (<= t_0 1e-6)))
     (/ t_0 2.0)
     (/ (* x (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (* x x)))) 2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -0.5) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(x) - exp(-x)
    if ((t_0 <= (-0.5d0)) .or. (.not. (t_0 <= 1d-6))) then
        tmp = t_0 / 2.0d0
    else
        tmp = (x * (2.0d0 + (0.3333333333333333d0 * (x * x)))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -0.5) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -0.5) or not (t_0 <= 1e-6):
		tmp = t_0 / 2.0
	else:
		tmp = (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= -0.5) || !(t_0 <= 1e-6))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x)))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -0.5) || ~((t_0 <= 1e-6)))
		tmp = t_0 / 2.0;
	else
		tmp = (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, -0.5], N[Not[LessEqual[t$95$0, 1e-6]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(2.0 + N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -0.5 or 9.99999999999999955e-7 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -0.5 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 8.4%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}} + 2\right)}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -0.5 \lor \neg \left(e^{x} - e^{-x} \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 89.7% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\\ t_1 := t_0 \cdot t_0\\ t_2 := 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_3 := \frac{x \cdot t_2}{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+156}:\\ \;\;\;\;t_3\\ \mathbf{elif}\;x \leq -2.05 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{t_1 - 4}{t_2 - 2}}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{{t_0}^{3} + 8}{t_1 + \left(4 - 2 \cdot t_0\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x 0.3333333333333333)))
        (t_1 (* t_0 t_0))
        (t_2 (* 0.3333333333333333 (* x x)))
        (t_3 (/ (* x t_2) 2.0)))
   (if (<= x -5e+156)
     t_3
     (if (<= x -2.05e+77)
       (/ (* x (/ (- t_1 4.0) (- t_2 2.0))) 2.0)
       (if (<= x 2e+77)
         (/ (* x (/ (+ (pow t_0 3.0) 8.0) (+ t_1 (- 4.0 (* 2.0 t_0))))) 2.0)
         t_3)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double t_1 = t_0 * t_0;
	double t_2 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double t_3 = (x * t_2) / 2.0;
	double tmp;
	if (x <= -5e+156) {
		tmp = t_3;
	} else if (x <= -2.05e+77) {
		tmp = (x * ((t_1 - 4.0) / (t_2 - 2.0))) / 2.0;
	} else if (x <= 2e+77) {
		tmp = (x * ((pow(t_0, 3.0) + 8.0) / (t_1 + (4.0 - (2.0 * t_0))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (x * 0.3333333333333333d0)
    t_1 = t_0 * t_0
    t_2 = 0.3333333333333333d0 * (x * x)
    t_3 = (x * t_2) / 2.0d0
    if (x <= (-5d+156)) then
        tmp = t_3
    else if (x <= (-2.05d+77)) then
        tmp = (x * ((t_1 - 4.0d0) / (t_2 - 2.0d0))) / 2.0d0
    else if (x <= 2d+77) then
        tmp = (x * (((t_0 ** 3.0d0) + 8.0d0) / (t_1 + (4.0d0 - (2.0d0 * t_0))))) / 2.0d0
    else
        tmp = t_3
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double t_1 = t_0 * t_0;
	double t_2 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double t_3 = (x * t_2) / 2.0;
	double tmp;
	if (x <= -5e+156) {
		tmp = t_3;
	} else if (x <= -2.05e+77) {
		tmp = (x * ((t_1 - 4.0) / (t_2 - 2.0))) / 2.0;
	} else if (x <= 2e+77) {
		tmp = (x * ((Math.pow(t_0, 3.0) + 8.0) / (t_1 + (4.0 - (2.0 * t_0))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333)
	t_1 = t_0 * t_0
	t_2 = 0.3333333333333333 * (x * x)
	t_3 = (x * t_2) / 2.0
	tmp = 0
	if x <= -5e+156:
		tmp = t_3
	elif x <= -2.05e+77:
		tmp = (x * ((t_1 - 4.0) / (t_2 - 2.0))) / 2.0
	elif x <= 2e+77:
		tmp = (x * ((math.pow(t_0, 3.0) + 8.0) / (t_1 + (4.0 - (2.0 * t_0))))) / 2.0
	else:
		tmp = t_3
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333))
	t_1 = Float64(t_0 * t_0)
	t_2 = Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))
	t_3 = Float64(Float64(x * t_2) / 2.0)
	tmp = 0.0
	if (x <= -5e+156)
		tmp = t_3;
	elseif (x <= -2.05e+77)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(t_1 - 4.0) / Float64(t_2 - 2.0))) / 2.0);
	elseif (x <= 2e+77)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64((t_0 ^ 3.0) + 8.0) / Float64(t_1 + Float64(4.0 - Float64(2.0 * t_0))))) / 2.0);
	else
		tmp = t_3;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	t_1 = t_0 * t_0;
	t_2 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	t_3 = (x * t_2) / 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= -5e+156)
		tmp = t_3;
	elseif (x <= -2.05e+77)
		tmp = (x * ((t_1 - 4.0) / (t_2 - 2.0))) / 2.0;
	elseif (x <= 2e+77)
		tmp = (x * (((t_0 ^ 3.0) + 8.0) / (t_1 + (4.0 - (2.0 * t_0))))) / 2.0;
	else
		tmp = t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(x * t$95$2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -5e+156], t$95$3, If[LessEqual[x, -2.05e+77], N[(N[(x * N[(N[(t$95$1 - 4.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$2 - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 2e+77], N[(N[(x * N[(N[(N[Power[t$95$0, 3.0], $MachinePrecision] + 8.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 + N[(4.0 - N[(2.0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], t$95$3]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -4.99999999999999992e156 or 1.99999999999999997e77 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 98.9%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 98.9%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 98.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 98.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 98.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 98.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 98.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 98.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 98.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   if -4.99999999999999992e156 < x < -2.05e77

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 69.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 69.1%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 69.1%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 69.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 69.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 69.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 69.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 69.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 69.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 69.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. flip-+ 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

      3. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - \color{blue}{4}}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}} - 2}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 69.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} - 2}}{2} \]

   if -2.05e77 < x < 1.99999999999999997e77

   1. Initial program 26.9%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 81.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 81.2%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 81.2%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 81.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 81.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 81.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 81.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 81.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 81.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 81.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. flip3-+ 87.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + {2}^{3}}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}}{2} \]

      3. metadata-eval 87.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + \color{blue}{8}}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

      4. metadata-eval 87.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(\color{blue}{4} - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 87.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(4 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}}{2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+156}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -2.05 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 2}}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(4 - 2 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 87.9% accurate, 7.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\\ t_1 := 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+156} \lor \neg \left(x \leq 5 \cdot 10^{+99}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot t_1}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{t_0 \cdot t_0 - 4}{t_1 - 2}}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x 0.3333333333333333)))
        (t_1 (* 0.3333333333333333 (* x x))))
   (if (or (<= x -5e+156) (not (<= x 5e+99)))
     (/ (* x t_1) 2.0)
     (/ (* x (/ (- (* t_0 t_0) 4.0) (- t_1 2.0))) 2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double t_1 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double tmp;
	if ((x <= -5e+156) || !(x <= 5e+99)) {
		tmp = (x * t_1) / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_1 - 2.0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (x * 0.3333333333333333d0)
    t_1 = 0.3333333333333333d0 * (x * x)
    if ((x <= (-5d+156)) .or. (.not. (x <= 5d+99))) then
        tmp = (x * t_1) / 2.0d0
    else
        tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0d0) / (t_1 - 2.0d0))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double t_1 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double tmp;
	if ((x <= -5e+156) || !(x <= 5e+99)) {
		tmp = (x * t_1) / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_1 - 2.0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333)
	t_1 = 0.3333333333333333 * (x * x)
	tmp = 0
	if (x <= -5e+156) or not (x <= 5e+99):
		tmp = (x * t_1) / 2.0
	else:
		tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_1 - 2.0))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333))
	t_1 = Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if ((x <= -5e+156) || !(x <= 5e+99))
		tmp = Float64(Float64(x * t_1) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) - 4.0) / Float64(t_1 - 2.0))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	t_1 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -5e+156) || ~((x <= 5e+99)))
		tmp = (x * t_1) / 2.0;
	else
		tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_1 - 2.0))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[x, -5e+156], N[Not[LessEqual[x, 5e+99]], $MachinePrecision]], N[(N[(x * t$95$1), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.99999999999999992e156 or 5.00000000000000008e99 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   if -4.99999999999999992e156 < x < 5.00000000000000008e99

   1. Initial program 33.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 79.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 79.8%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 79.8%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 79.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 79.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 79.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 79.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 79.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 79.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 79.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. flip-+ 82.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

      3. metadata-eval 82.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - \color{blue}{4}}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 82.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 82.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}} - 2}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 79.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   9. Simplified 82.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} - 2}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+156} \lor \neg \left(x \leq 5 \cdot 10^{+99}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 2}}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 84.1% accurate, 15.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -2.5) (not (<= x 2.4)))
   (/ (* x (* 0.3333333333333333 (* x x))) 2.0)
   (/ (* x 2.0) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.4)) {
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-2.5d0)) .or. (.not. (x <= 2.4d0))) then
        tmp = (x * (0.3333333333333333d0 * (x * x))) / 2.0d0
    else
        tmp = (x * 2.0d0) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.4)) {
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -2.5) or not (x <= 2.4):
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0
	else:
		tmp = (x * 2.0) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.4))
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2.5) || ~((x <= 2.4)))
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0;
	else
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -2.5], N[Not[LessEqual[x, 2.4]], $MachinePrecision]], N[(N[(x * N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.5 or 2.39999999999999991 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 71.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 71.8%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 71.8%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 71.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 71.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 71.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 71.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 71.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 71.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 71.8%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 71.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 71.8%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   if -2.5 < x < 2.39999999999999991

   1. Initial program 9.8%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 84.4% accurate, 15.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\frac{x}{\frac{1}{2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (/ x (/ 1.0 (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (* x x))))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x / (1.0 / (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x / (1.0d0 / (2.0d0 + (0.3333333333333333d0 * (x * x))))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x / (1.0 / (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x / (1.0 / (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x / Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x / (1.0 / (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x / N[(1.0 / N[(2.0 + N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 85.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 85.9%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 85.9%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 85.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 85.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 85.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 85.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 85.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 85.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 85.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

6. Applied egg-rr 85.9%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]
7. Step-by-step derivation

   1. flip-+ 62.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

   2. metadata-eval 62.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - \color{blue}{4}}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

   3. clear-num 62.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{1}{\frac{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}}}}{2} \]

   4. un-div-inv 62.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x}{\frac{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}}}}{2} \]

   5. clear-num 62.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{x}{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}}}{2} \]

   6. metadata-eval 62.2%

      \[\leadsto \frac{\frac{x}{\frac{1}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - \color{blue}{2 \cdot 2}}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}}{2} \]

   7. flip-+ 85.9%

      \[\leadsto \frac{\frac{x}{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2}}}}{2} \]

   8. *-commutative 85.9%

      \[\leadsto \frac{\frac{x}{\frac{1}{\color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x} + 2}}}{2} \]

   9. *-commutative 85.9%

      \[\leadsto \frac{\frac{x}{\frac{1}{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} \cdot x + 2}}}{2} \]

   10. associate-*l* 85.9%

       \[\leadsto \frac{\frac{x}{\frac{1}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2}}}{2} \]

   11. fma-def 85.9%

       \[\leadsto \frac{\frac{x}{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}}}{2} \]

8. Applied egg-rr 85.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}}}{2} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 85.9%

      \[\leadsto \frac{\frac{x}{\frac{1}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2}}}}{2} \]

10. Applied egg-rr 85.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{x}{\frac{1}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2}}}}{2} \]

11. Final simplification 85.9%

    \[\leadsto \frac{\frac{x}{\frac{1}{2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}}{2} \]

Alternative 6: 84.4% accurate, 18.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (* x x)))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (2.0d0 + (0.3333333333333333d0 * (x * x)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x)))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 85.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 85.9%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 85.9%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 85.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 85.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 85.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 85.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 85.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 85.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 85.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

6. Applied egg-rr 85.9%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

7. Taylor expanded in x around 0 85.9%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}} + 2\right)}{2} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 85.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

9. Simplified 85.9%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

10. Final simplification 85.9%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2} \]

Alternative 7: 52.6% accurate, 41.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x 2.0) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 2.0d0) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * 2.0) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 2.0) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 53.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]

3. Final simplification 53.6%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2}{2} \]

Alternative 8: 2.9% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 -1.0)

C

double code(double x) {
	return -1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0;
}

Python

def code(x):
	return -1.0

Julia

function code(x)
	return -1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0;
end

Wolfram

code[x_] := -1.0

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 2.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2}}{2} \]

4. Final simplification 2.9%

   \[\leadsto -1 \]

Alternative 9: 3.5% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 53.5%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 3.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0}}{2} \]

4. Final simplification 3.7%

   \[\leadsto 0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023229 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))