ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.6% → 99.4%

Time: 18.4s

Alternatives: 7

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)))))

C

double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0)) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0)) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0)) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)));
}

Python

def code(x):
	return (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0)) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

3. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

Alternative 2: 99.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)) (* 0.16666666666666666 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   2. unpow2 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

7. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 3: 98.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* x (* (* x x) (/ 0.16666666666666666 (tan x)))))

C

double code(double x) {
	return x * ((x * x) * (0.16666666666666666 / tan(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * ((x * x) * (0.16666666666666666d0 / tan(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * ((x * x) * (0.16666666666666666 / Math.tan(x)));
}

Python

def code(x):
	return x * ((x * x) * (0.16666666666666666 / math.tan(x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 / tan(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * ((x * x) * (0.16666666666666666 / tan(x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 84.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]

3. Taylor expanded in x around inf 84.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \frac{\cos x \cdot {x}^{3}}{\sin x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 84.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos x \cdot {x}^{3}}{\sin x} \cdot 0.16666666666666666} \]

   2. associate-/l* 84.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos x}{\frac{\sin x}{{x}^{3}}}} \cdot 0.16666666666666666 \]

   3. associate-*l/ 84.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\frac{\sin x}{{x}^{3}}}} \]

   4. associate-/r/ 84.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x} \cdot {x}^{3}} \]

5. Simplified 84.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x} \cdot {x}^{3}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 84.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x} \cdot {x}^{3}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x} \cdot {x}^{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x} \cdot {x}^{3}}} \]

   2. pow3 84.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x} \cdot {x}^{3}}\right)}^{3}} \]

   3. *-commutative 84.1%

      \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{3} \cdot \frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x}}}\right)}^{3} \]

   4. cbrt-prod 84.1%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{3}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x}}\right)}}^{3} \]

   5. unpow3 84.1%

      \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x}}\right)}^{3} \]

   6. add-cbrt-cube 98.7%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x}}\right)}^{3} \]

   7. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \cos x}}{\sin x}}\right)}^{3} \]

7. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot \cos x}{\sin x}}\right)}^{3}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow-prod-down 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot \cos x}{\sin x}}\right)}^{3}} \]

   2. cube-mult 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot \cos x}{\sin x}}\right)}^{3} \]

   3. rem-cube-cbrt 84.6%

      \[\leadsto \left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot \cos x}{\sin x}} \]

   4. associate-*l* 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{0.16666666666666666 \cdot \cos x}{\sin x}\right)} \]

   5. associate-/l* 99.4%

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666}{\frac{\sin x}{\cos x}}}\right) \]

   6. quot-tan 99.4%

      \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{0.16666666666666666}{\color{blue}{\tan x}}\right) \]

9. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right)} \]

10. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right) \]

Alternative 4: 98.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (* x x) (* x (/ 0.16666666666666666 (tan x)))))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * (x * (0.16666666666666666 / tan(x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * (x * (0.16666666666666666d0 / tan(x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * (x * (0.16666666666666666 / Math.tan(x)));
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * (x * (0.16666666666666666 / math.tan(x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * Float64(x * Float64(0.16666666666666666 / tan(x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * (x * (0.16666666666666666 / tan(x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x * N[(0.16666666666666666 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 84.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]

3. Taylor expanded in x around inf 84.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \frac{\cos x \cdot {x}^{3}}{\sin x}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 84.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos x \cdot {x}^{3}}{\sin x} \cdot 0.16666666666666666} \]

   2. associate-/l* 84.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos x}{\frac{\sin x}{{x}^{3}}}} \cdot 0.16666666666666666 \]

   3. associate-*l/ 84.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\frac{\sin x}{{x}^{3}}}} \]

   4. associate-/r/ 84.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x} \cdot {x}^{3}} \]

5. Simplified 84.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x} \cdot {x}^{3}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 84.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x} \cdot {x}^{3}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x} \cdot {x}^{3}}\right) \cdot \sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x} \cdot {x}^{3}}} \]

   2. pow3 84.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x} \cdot {x}^{3}}\right)}^{3}} \]

   3. *-commutative 84.1%

      \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{{x}^{3} \cdot \frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x}}}\right)}^{3} \]

   4. cbrt-prod 84.1%

      \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{x}^{3}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x}}\right)}}^{3} \]

   5. unpow3 84.1%

      \[\leadsto {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot x}} \cdot \sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x}}\right)}^{3} \]

   6. add-cbrt-cube 98.7%

      \[\leadsto {\left(\color{blue}{x} \cdot \sqrt[3]{\frac{\cos x \cdot 0.16666666666666666}{\sin x}}\right)}^{3} \]

   7. *-commutative 98.7%

      \[\leadsto {\left(x \cdot \sqrt[3]{\frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \cos x}}{\sin x}}\right)}^{3} \]

7. Applied egg-rr 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{{\left(x \cdot \sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot \cos x}{\sin x}}\right)}^{3}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow-prod-down 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot \cos x}{\sin x}}\right)}^{3}} \]

   2. unpow3 84.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot {\left(\sqrt[3]{\frac{0.16666666666666666 \cdot \cos x}{\sin x}}\right)}^{3} \]

   3. rem-cube-cbrt 84.6%

      \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot \cos x}{\sin x}} \]

   4. associate-*l* 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{0.16666666666666666 \cdot \cos x}{\sin x}\right)} \]

   5. associate-/l* 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666}{\frac{\sin x}{\cos x}}}\right) \]

   6. quot-tan 99.4%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{0.16666666666666666}{\color{blue}{\tan x}}\right) \]

9. Applied egg-rr 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right)} \]

10. Final simplification 99.4%

    \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot \frac{0.16666666666666666}{\tan x}\right) \]

Alternative 5: 75.1% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (sqrt (* (* x x) 0.027777777777777776))))

C

double code(double x) {
	return x * sqrt(((x * x) * 0.027777777777777776));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * sqrt(((x * x) * 0.027777777777777776d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * Math.sqrt(((x * x) * 0.027777777777777776));
}

Python

def code(x):
	return x * math.sqrt(((x * x) * 0.027777777777777776))

Julia

function code(x)
	return Float64(x * sqrt(Float64(Float64(x * x) * 0.027777777777777776)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * sqrt(((x * x) * 0.027777777777777776));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[Sqrt[N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.3%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

   2. unpow2 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

   3. associate-*l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

7. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 98.6%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666}\right) \cdot \sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

   2. pow3 98.6%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x \cdot 0.16666666666666666}\right)}^{3}} \]

   3. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto x \cdot {\left(\sqrt[3]{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot x}}\right)}^{3} \]

9. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{0.16666666666666666 \cdot x}\right)}^{3}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. rem-cube-cbrt 99.3%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \]

    2. add-sqr-sqrt 42.5%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.16666666666666666 \cdot x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot x}\right)} \]

    3. sqrt-unprod 78.0%

       \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)}} \]

    4. swap-sqr 78.1%

       \[\leadsto x \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

    5. metadata-eval 78.1%

       \[\leadsto x \cdot \sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

11. Applied egg-rr 78.1%

    \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

12. Final simplification 78.1%

    \[\leadsto x \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776} \]

Alternative 6: 98.5% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.3%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 7: 98.6% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* 0.16666666666666666 x)))

C

double code(double x) {
	return x * (0.16666666666666666 * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (0.16666666666666666d0 * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (0.16666666666666666 * x);
}

Python

def code(x):
	return x * (0.16666666666666666 * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (0.16666666666666666 * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(0.16666666666666666 * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.4%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.3%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

   2. unpow2 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

   3. associate-*l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

7. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

8. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \]

Developer target: 98.5% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023224 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))