Kahan's exp quotient

Percentage Accurate: 52.9% → 100.0%

Time: 5.1s

Alternatives: 8

Speedup: 11.6×

• 25.2% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - 1}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) 1.0) x))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 1.0) / x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - 1.0d0) / x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - 1.0) / x;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - 1.0) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - 1.0) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - 1.0) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Initial Program: 52.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - 1}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) 1.0) x))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 1.0) / x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - 1.0d0) / x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - 1.0) / x;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - 1.0) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - 1.0) / x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - 1.0) / x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (expm1 x) x))

C

double code(double x) {
	return expm1(x) / x;
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.expm1(x) / x;
}

Python

def code(x):
	return math.expm1(x) / x

Julia

function code(x)
	return Float64(expm1(x) / x)
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(Exp[x] - 1), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.4%

   \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x} \]

Alternative 2: 69.7% accurate, 4.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.9:\\ \;\;\;\;x \cdot 0.5 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot 0.5 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right)}{0.16666666666666666 + x \cdot -0.041666666666666664}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 2.9)
   (+ (* x 0.5) (+ (* (* x x) 0.16666666666666666) 1.0))
   (+
    (* x 0.5)
    (/
     (* (* x x) (- 0.027777777777777776 (* (* x x) 0.001736111111111111)))
     (+ 0.16666666666666666 (* x -0.041666666666666664))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.9) {
		tmp = (x * 0.5) + (((x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0);
	} else {
		tmp = (x * 0.5) + (((x * x) * (0.027777777777777776 - ((x * x) * 0.001736111111111111))) / (0.16666666666666666 + (x * -0.041666666666666664)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 2.9d0) then
        tmp = (x * 0.5d0) + (((x * x) * 0.16666666666666666d0) + 1.0d0)
    else
        tmp = (x * 0.5d0) + (((x * x) * (0.027777777777777776d0 - ((x * x) * 0.001736111111111111d0))) / (0.16666666666666666d0 + (x * (-0.041666666666666664d0))))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2.9) {
		tmp = (x * 0.5) + (((x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0);
	} else {
		tmp = (x * 0.5) + (((x * x) * (0.027777777777777776 - ((x * x) * 0.001736111111111111))) / (0.16666666666666666 + (x * -0.041666666666666664)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 2.9:
		tmp = (x * 0.5) + (((x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0)
	else:
		tmp = (x * 0.5) + (((x * x) * (0.027777777777777776 - ((x * x) * 0.001736111111111111))) / (0.16666666666666666 + (x * -0.041666666666666664)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.9)
		tmp = Float64(Float64(x * 0.5) + Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * 0.5) + Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.027777777777777776 - Float64(Float64(x * x) * 0.001736111111111111))) / Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * -0.041666666666666664))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2.9)
		tmp = (x * 0.5) + (((x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0);
	else
		tmp = (x * 0.5) + (((x * x) * (0.027777777777777776 - ((x * x) * 0.001736111111111111))) / (0.16666666666666666 + (x * -0.041666666666666664)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 2.9], N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.027777777777777776 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.001736111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.16666666666666666 + N[(x * -0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.89999999999999991

   1. Initial program 40.2%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 63.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. add-log-exp 63.8%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\log \left(e^{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

      2. *-un-lft-identity 63.8%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\log \color{blue}{\left(1 \cdot e^{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

      3. log-prod 63.8%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\left(\log 1 + \log \left(e^{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

      4. metadata-eval 63.8%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(\color{blue}{0} + \log \left(e^{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

      5. add-log-exp 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

      6. unpow2 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 63.7%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\left(0 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lft-identity 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

   8. Simplified 63.7%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-un-lft-identity 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{1 \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]

      2. *-commutative 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot 1} \]

      3. +-commutative 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{3} + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      4. associate-+r+ 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right) + 1\right)} \cdot 1 \]

      5. cube-mult 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.041666666666666664 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) + 1\right) \cdot 1 \]

      6. associate-*r* 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) + 1\right) \cdot 1 \]

      7. *-commutative 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 1\right) \cdot 1 \]

      8. distribute-rgt-in 64.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)} + 1\right) \cdot 1 \]

      9. +-commutative 64.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.041666666666666664 + 0.16666666666666666\right)} + 1\right) \cdot 1 \]

      10. fma-def 64.0%

          \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.041666666666666664, 0.16666666666666666\right)} + 1\right) \cdot 1 \]

   10. Applied egg-rr 64.0%

       \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.041666666666666664, 0.16666666666666666\right) + 1\right) \cdot 1} \]

   11. Taylor expanded in x around 0 64.5%

       \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666} + 1\right) \cdot 1 \]

   if 2.89999999999999991 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 68.2%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right) \]

      2. *-commutative 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right) \]

      3. cube-mult 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \]

      4. associate-*r* 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \]

      5. *-commutative 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot x\right)}\right) \]

      6. distribute-lft-out 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot x\right)} \]

      7. *-commutative 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot 0.041666666666666664}\right) \]

   7. Simplified 68.2%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

      2. flip-+ 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664}} \cdot \left(x \cdot x\right) \]

      3. associate-*l/ 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\frac{\left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664}} \]

      4. metadata-eval 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(\color{blue}{0.027777777777777776} - \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664} \]

      5. swap-sqr 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(0.027777777777777776 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot 0.041666666666666664\right)}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664} \]

      6. metadata-eval 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.001736111111111111}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664} \]

      7. *-commutative 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.16666666666666666 - \color{blue}{0.041666666666666664 \cdot x}} \]

      8. cancel-sign-sub-inv 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \left(-0.041666666666666664\right) \cdot x}} \]

      9. metadata-eval 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.16666666666666666 + \color{blue}{-0.041666666666666664} \cdot x} \]

   9. Applied egg-rr 78.0%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\frac{\left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.16666666666666666 + -0.041666666666666664 \cdot x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 67.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.9:\\ \;\;\;\;x \cdot 0.5 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot 0.5 + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right)}{0.16666666666666666 + x \cdot -0.041666666666666664}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 67.5% accurate, 7.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.5 + \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* x 0.5)
  (+ 1.0 (* (* x x) (+ 0.16666666666666666 (* x 0.041666666666666664))))))

C

double code(double x) {
	return (x * 0.5) + (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 0.5d0) + (1.0d0 + ((x * x) * (0.16666666666666666d0 + (x * 0.041666666666666664d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 0.5) + (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))));
}

Python

def code(x):
	return (x * 0.5) + (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 0.5) + Float64(1.0 + Float64(Float64(x * x) * Float64(0.16666666666666666 + Float64(x * 0.041666666666666664)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 0.5) + (1.0 + ((x * x) * (0.16666666666666666 + (x * 0.041666666666666664))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] + N[(1.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.16666666666666666 + N[(x * 0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.4%

   \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 64.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp 73.0%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\log \left(e^{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

   2. *-un-lft-identity 73.0%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\log \color{blue}{\left(1 \cdot e^{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

   3. log-prod 73.0%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\left(\log 1 + \log \left(e^{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

   4. metadata-eval 73.0%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(\color{blue}{0} + \log \left(e^{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

   5. add-log-exp 64.9%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

   6. unpow2 64.9%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 64.9%

   \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\left(0 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lft-identity 64.9%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

8. Simplified 64.9%

   \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-un-lft-identity 64.9%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{1 \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]

   2. *-commutative 64.9%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot 1} \]

   3. +-commutative 64.9%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{3} + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

   4. associate-+r+ 64.9%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right) + 1\right)} \cdot 1 \]

   5. cube-mult 64.9%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.041666666666666664 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) + 1\right) \cdot 1 \]

   6. associate-*r* 64.9%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) + 1\right) \cdot 1 \]

   7. *-commutative 64.9%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 1\right) \cdot 1 \]

   8. distribute-rgt-in 65.0%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)} + 1\right) \cdot 1 \]

   9. +-commutative 65.0%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.041666666666666664 + 0.16666666666666666\right)} + 1\right) \cdot 1 \]

   10. fma-def 65.0%

       \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.041666666666666664, 0.16666666666666666\right)} + 1\right) \cdot 1 \]

10. Applied egg-rr 65.0%

    \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.041666666666666664, 0.16666666666666666\right) + 1\right) \cdot 1} \]
11. Step-by-step derivation

    1. fma-udef 65.0%

       \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.041666666666666664 + 0.16666666666666666\right)} + 1\right) \cdot 1 \]

12. Applied egg-rr 65.0%

    \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.041666666666666664 + 0.16666666666666666\right)} + 1\right) \cdot 1 \]

13. Final simplification 65.0%

    \[\leadsto x \cdot 0.5 + \left(1 + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)\right) \]

Alternative 4: 67.7% accurate, 8.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.65:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot 0.5 + \frac{x \cdot x}{\frac{24}{x}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.65) 1.0 (+ (* x 0.5) (/ (* x x) (/ 24.0 x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.65) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (x * 0.5) + ((x * x) / (24.0 / x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.65d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = (x * 0.5d0) + ((x * x) / (24.0d0 / x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.65) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = (x * 0.5) + ((x * x) / (24.0 / x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.65:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = (x * 0.5) + ((x * x) / (24.0 / x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.65)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(Float64(x * 0.5) + Float64(Float64(x * x) / Float64(24.0 / x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.65)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = (x * 0.5) + ((x * x) / (24.0 / x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.65], 1.0, N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[(24.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.6499999999999999

   1. Initial program 40.2%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 64.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 1.6499999999999999 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 68.2%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right) \]

      2. *-commutative 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right) \]

      3. cube-mult 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \]

      4. associate-*r* 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \]

      5. *-commutative 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot x\right)}\right) \]

      6. distribute-lft-out 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot x\right)} \]

      7. *-commutative 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot 0.041666666666666664}\right) \]

   7. Simplified 68.2%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-+ 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664}} \]

      2. associate-*r/ 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664}} \]

      3. metadata-eval 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} - \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664} \]

      4. swap-sqr 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot 0.041666666666666664\right)}\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664} \]

      5. metadata-eval 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.001736111111111111}\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664} \]

      6. *-commutative 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right)}{0.16666666666666666 - \color{blue}{0.041666666666666664 \cdot x}} \]

      7. cancel-sign-sub-inv 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right)}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \left(-0.041666666666666664\right) \cdot x}} \]

      8. metadata-eval 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right)}{0.16666666666666666 + \color{blue}{-0.041666666666666664} \cdot x} \]

   9. Applied egg-rr 78.0%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right)}{0.16666666666666666 + -0.041666666666666664 \cdot x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-/l* 68.2%

          \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{0.16666666666666666 + -0.041666666666666664 \cdot x}{0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111}}} \]

       2. *-commutative 68.2%

          \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{x \cdot x}{\frac{0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot -0.041666666666666664}}{0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111}} \]

   11. Simplified 68.2%

       \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{0.16666666666666666 + x \cdot -0.041666666666666664}{0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111}}} \]

   12. Taylor expanded in x around inf 68.2%

       \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{x \cdot x}{\color{blue}{\frac{24}{x}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 65.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.65:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot 0.5 + \frac{x \cdot x}{\frac{24}{x}}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 67.9% accurate, 8.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 4.9:\\ \;\;\;\;x \cdot 0.5 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot 0.5 + \frac{x \cdot x}{\frac{24}{x}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 4.9)
   (+ (* x 0.5) (+ (* (* x x) 0.16666666666666666) 1.0))
   (+ (* x 0.5) (/ (* x x) (/ 24.0 x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 4.9) {
		tmp = (x * 0.5) + (((x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0);
	} else {
		tmp = (x * 0.5) + ((x * x) / (24.0 / x));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 4.9d0) then
        tmp = (x * 0.5d0) + (((x * x) * 0.16666666666666666d0) + 1.0d0)
    else
        tmp = (x * 0.5d0) + ((x * x) / (24.0d0 / x))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 4.9) {
		tmp = (x * 0.5) + (((x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0);
	} else {
		tmp = (x * 0.5) + ((x * x) / (24.0 / x));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 4.9:
		tmp = (x * 0.5) + (((x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0)
	else:
		tmp = (x * 0.5) + ((x * x) / (24.0 / x))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 4.9)
		tmp = Float64(Float64(x * 0.5) + Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * 0.5) + Float64(Float64(x * x) / Float64(24.0 / x)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 4.9)
		tmp = (x * 0.5) + (((x * x) * 0.16666666666666666) + 1.0);
	else
		tmp = (x * 0.5) + ((x * x) / (24.0 / x));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 4.9], N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[(24.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 4.9000000000000004

   1. Initial program 40.2%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 63.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. add-log-exp 63.8%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\log \left(e^{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

      2. *-un-lft-identity 63.8%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\log \color{blue}{\left(1 \cdot e^{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

      3. log-prod 63.8%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\left(\log 1 + \log \left(e^{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

      4. metadata-eval 63.8%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(\color{blue}{0} + \log \left(e^{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right)\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

      5. add-log-exp 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0 + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

      6. unpow2 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

   6. Applied egg-rr 63.7%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\left(0 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-lft-identity 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]

   8. Simplified 63.7%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-un-lft-identity 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{1 \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]

      2. *-commutative 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot 1} \]

      3. +-commutative 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot {x}^{3} + 1\right)}\right) \cdot 1 \]

      4. associate-+r+ 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right) + 1\right)} \cdot 1 \]

      5. cube-mult 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.041666666666666664 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) + 1\right) \cdot 1 \]

      6. associate-*r* 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) + 1\right) \cdot 1 \]

      7. *-commutative 63.7%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(x \cdot 0.041666666666666664\right)} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + 1\right) \cdot 1 \]

      8. distribute-rgt-in 64.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)} + 1\right) \cdot 1 \]

      9. +-commutative 64.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.041666666666666664 + 0.16666666666666666\right)} + 1\right) \cdot 1 \]

      10. fma-def 64.0%

          \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.041666666666666664, 0.16666666666666666\right)} + 1\right) \cdot 1 \]

   10. Applied egg-rr 64.0%

       \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.041666666666666664, 0.16666666666666666\right) + 1\right) \cdot 1} \]

   11. Taylor expanded in x around 0 64.5%

       \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666} + 1\right) \cdot 1 \]

   if 4.9000000000000004 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 68.2%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right) \]

      2. *-commutative 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right) \]

      3. cube-mult 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \]

      4. associate-*r* 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \]

      5. *-commutative 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot x\right)}\right) \]

      6. distribute-lft-out 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot x\right)} \]

      7. *-commutative 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot 0.041666666666666664}\right) \]

   7. Simplified 68.2%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. flip-+ 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664}} \]

      2. associate-*r/ 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666 - \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664}} \]

      3. metadata-eval 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{0.027777777777777776} - \left(x \cdot 0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot 0.041666666666666664\right)\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664} \]

      4. swap-sqr 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot 0.041666666666666664\right)}\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664} \]

      5. metadata-eval 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.001736111111111111}\right)}{0.16666666666666666 - x \cdot 0.041666666666666664} \]

      6. *-commutative 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right)}{0.16666666666666666 - \color{blue}{0.041666666666666664 \cdot x}} \]

      7. cancel-sign-sub-inv 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right)}{\color{blue}{0.16666666666666666 + \left(-0.041666666666666664\right) \cdot x}} \]

      8. metadata-eval 78.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right)}{0.16666666666666666 + \color{blue}{-0.041666666666666664} \cdot x} \]

   9. Applied egg-rr 78.0%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111\right)}{0.16666666666666666 + -0.041666666666666664 \cdot x}} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. associate-/l* 68.2%

          \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{0.16666666666666666 + -0.041666666666666664 \cdot x}{0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111}}} \]

       2. *-commutative 68.2%

          \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{x \cdot x}{\frac{0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot -0.041666666666666664}}{0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111}} \]

   11. Simplified 68.2%

       \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{0.16666666666666666 + x \cdot -0.041666666666666664}{0.027777777777777776 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.001736111111111111}}} \]

   12. Taylor expanded in x around inf 68.2%

       \[\leadsto 0.5 \cdot x + \frac{x \cdot x}{\color{blue}{\frac{24}{x}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 65.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 4.9:\\ \;\;\;\;x \cdot 0.5 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + 1\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot 0.5 + \frac{x \cdot x}{\frac{24}{x}}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 63.8% accurate, 11.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.35) 1.0 (* x (+ 0.5 (* x 0.16666666666666666)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 1.35d0) then
        tmp = 1.0d0
    else
        tmp = x * (0.5d0 + (x * 0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.35) {
		tmp = 1.0;
	} else {
		tmp = x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.35:
		tmp = 1.0
	else:
		tmp = x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.35)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = Float64(x * Float64(0.5 + Float64(x * 0.16666666666666666)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.35)
		tmp = 1.0;
	else
		tmp = x * (0.5 + (x * 0.16666666666666666));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.35], 1.0, N[(x * N[(0.5 + N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.3500000000000001

   1. Initial program 40.2%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 64.4%

      \[\leadsto \color{blue}{1} \]

   if 1.3500000000000001 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 68.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 68.2%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right) \]

      2. *-commutative 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + 0.041666666666666664 \cdot {x}^{3}\right) \]

      3. cube-mult 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \]

      4. associate-*r* 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(0.041666666666666664 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \]

      5. *-commutative 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.041666666666666664 \cdot x\right)}\right) \]

      6. distribute-lft-out 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + 0.041666666666666664 \cdot x\right)} \]

      7. *-commutative 68.2%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + \color{blue}{x \cdot 0.041666666666666664}\right) \]

   7. Simplified 68.2%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 + x \cdot 0.041666666666666664\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 52.0%

      \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 52.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

      2. *-commutative 52.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

      3. associate-*r* 52.0%

         \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   10. Simplified 52.0%

       \[\leadsto 0.5 \cdot x + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. +-commutative 52.0%

          \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + 0.5 \cdot x} \]

       2. *-commutative 52.0%

          \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + \color{blue}{x \cdot 0.5} \]

       3. distribute-lft-out 52.0%

          \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + 0.5\right)} \]

   12. Applied egg-rr 52.0%

       \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666 + 0.5\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 61.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.35:\\ \;\;\;\;1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(0.5 + x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7: 51.4% accurate, 21.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot 0.5 + 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ (* x 0.5) 1.0))

C

double code(double x) {
	return (x * 0.5) + 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 0.5d0) + 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 0.5) + 1.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * 0.5) + 1.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 0.5) + 1.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 0.5) + 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 0.5), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 55.4%

   \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 48.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot x + 1} \]

5. Final simplification 48.9%

   \[\leadsto x \cdot 0.5 + 1 \]

Alternative 8: 51.3% accurate, 105.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 55.4%

   \[\frac{e^{x} - 1}{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)}}{x} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{expm1}\left(x\right)}{x}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 48.9%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

5. Final simplification 48.9%

   \[\leadsto 1 \]

Developer target: 52.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - 1\\ \mathbf{if}\;x < 1 \land x > -1:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{\log \left(e^{x}\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) 1.0)))
   (if (and (< x 1.0) (> x -1.0)) (/ t_0 (log (exp x))) (/ t_0 x))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - 1.0;
	double tmp;
	if ((x < 1.0) && (x > -1.0)) {
		tmp = t_0 / log(exp(x));
	} else {
		tmp = t_0 / x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(x) - 1.0d0
    if ((x < 1.0d0) .and. (x > (-1.0d0))) then
        tmp = t_0 / log(exp(x))
    else
        tmp = t_0 / x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - 1.0;
	double tmp;
	if ((x < 1.0) && (x > -1.0)) {
		tmp = t_0 / Math.log(Math.exp(x));
	} else {
		tmp = t_0 / x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - 1.0
	tmp = 0
	if (x < 1.0) and (x > -1.0):
		tmp = t_0 / math.log(math.exp(x))
	else:
		tmp = t_0 / x
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - 1.0)
	tmp = 0.0
	if ((x < 1.0) && (x > -1.0))
		tmp = Float64(t_0 / log(exp(x)));
	else
		tmp = Float64(t_0 / x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - 1.0;
	tmp = 0.0;
	if ((x < 1.0) && (x > -1.0))
		tmp = t_0 / log(exp(x));
	else
		tmp = t_0 / x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 1.0), $MachinePrecision]}, If[And[Less[x, 1.0], Greater[x, -1.0]], N[(t$95$0 / N[Log[N[Exp[x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(t$95$0 / x), $MachinePrecision]]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023223 
(FPCore (x)
  :name "Kahan's exp quotient"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (and (< x 1.0) (> x -1.0)) (/ (- (exp x) 1.0) (log (exp x))) (/ (- (exp x) 1.0) x))

  (/ (- (exp x) 1.0) x))