Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 53.5% → 99.7%

Time: 5.1s

Alternatives: 9

Speedup: 18.7×

• 48.5% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.7% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -\infty \lor \neg \left(t_0 \leq 0.0002\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (or (<= t_0 (- INFINITY)) (not (<= t_0 0.0002)))
     (/ t_0 2.0)
     (/
      (+
       (* x 2.0)
       (+
        (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0))
        (+
         (* 0.0003968253968253968 (pow x 7.0))
         (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0)))))
      2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -((double) INFINITY)) || !(t_0 <= 0.0002)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * pow(x, 7.0)) + (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0))))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -Double.POSITIVE_INFINITY) || !(t_0 <= 0.0002)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * Math.pow(x, 7.0)) + (0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0))))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -math.inf) or not (t_0 <= 0.0002):
		tmp = t_0 / 2.0
	else:
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * math.pow(x, 7.0)) + (0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0))))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= Float64(-Inf)) || !(t_0 <= 0.0002))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(Float64(0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -Inf) || ~((t_0 <= 0.0002)))
		tmp = t_0 / 2.0;
	else
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + (0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[Not[LessEqual[t$95$0, 0.0002]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -inf.0 or 2.0000000000000001e-4 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -inf.0 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 2.0000000000000001e-4

   1. Initial program 7.7%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -\infty \lor \neg \left(e^{x} - e^{-x} \leq 0.0002\right):\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 100.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -0.02 \lor \neg \left(t_0 \leq 0.0002\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (or (<= t_0 -0.02) (not (<= t_0 0.0002)))
     (/ t_0 2.0)
     (/ (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -0.02) || !(t_0 <= 0.0002)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(x) - exp(-x)
    if ((t_0 <= (-0.02d0)) .or. (.not. (t_0 <= 0.0002d0))) then
        tmp = t_0 / 2.0d0
    else
        tmp = (x * (2.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -0.02) || !(t_0 <= 0.0002)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -0.02) or not (t_0 <= 0.0002):
		tmp = t_0 / 2.0
	else:
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= -0.02) || !(t_0 <= 0.0002))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -0.02) || ~((t_0 <= 0.0002)))
		tmp = t_0 / 2.0;
	else
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, -0.02], N[Not[LessEqual[t$95$0, 0.0002]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -0.0200000000000000004 or 2.0000000000000001e-4 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 99.9%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -0.0200000000000000004 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 2.0000000000000001e-4

   1. Initial program 7.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -0.02 \lor \neg \left(e^{x} - e^{-x} \leq 0.0002\right):\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 89.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{+158}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - {x}^{4} \cdot 0.1111111111111111}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{{x}^{6} \cdot 0.027777777777777776}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -2e+158)
   (* 0.3333333333333333 (* x (* 0.5 (* x x))))
   (if (<= x 1e+47)
     (/
      (*
       x
       (/
        (- 4.0 (* (pow x 4.0) 0.1111111111111111))
        (- 2.0 (* 0.3333333333333333 (* x x)))))
      2.0)
     (sqrt (* (pow x 6.0) 0.027777777777777776)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2e+158) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (x * (0.5 * (x * x)));
	} else if (x <= 1e+47) {
		tmp = (x * ((4.0 - (pow(x, 4.0) * 0.1111111111111111)) / (2.0 - (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = sqrt((pow(x, 6.0) * 0.027777777777777776));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-2d+158)) then
        tmp = 0.3333333333333333d0 * (x * (0.5d0 * (x * x)))
    else if (x <= 1d+47) then
        tmp = (x * ((4.0d0 - ((x ** 4.0d0) * 0.1111111111111111d0)) / (2.0d0 - (0.3333333333333333d0 * (x * x))))) / 2.0d0
    else
        tmp = sqrt(((x ** 6.0d0) * 0.027777777777777776d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2e+158) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (x * (0.5 * (x * x)));
	} else if (x <= 1e+47) {
		tmp = (x * ((4.0 - (Math.pow(x, 4.0) * 0.1111111111111111)) / (2.0 - (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
	} else {
		tmp = Math.sqrt((Math.pow(x, 6.0) * 0.027777777777777776));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -2e+158:
		tmp = 0.3333333333333333 * (x * (0.5 * (x * x)))
	elif x <= 1e+47:
		tmp = (x * ((4.0 - (math.pow(x, 4.0) * 0.1111111111111111)) / (2.0 - (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0
	else:
		tmp = math.sqrt((math.pow(x, 6.0) * 0.027777777777777776))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -2e+158)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * Float64(0.5 * Float64(x * x))));
	elseif (x <= 1e+47)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(4.0 - Float64((x ^ 4.0) * 0.1111111111111111)) / Float64(2.0 - Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))))) / 2.0);
	else
		tmp = sqrt(Float64((x ^ 6.0) * 0.027777777777777776));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -2e+158)
		tmp = 0.3333333333333333 * (x * (0.5 * (x * x)));
	elseif (x <= 1e+47)
		tmp = (x * ((4.0 - ((x ^ 4.0) * 0.1111111111111111)) / (2.0 - (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
	else
		tmp = sqrt(((x ^ 6.0) * 0.027777777777777776));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -2e+158], N[(0.3333333333333333 * N[(x * N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1e+47], N[(N[(x * N[(N[(4.0 - N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 - N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[Sqrt[N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.99999999999999991e158

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{2}{{x}^{3}}}} \]

      2. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\frac{2}{{x}^{3}}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\frac{2}{{x}^{3}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{3}\right)} \]

      2. unpow3 100.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}\right) \]

      3. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} \]

   if -1.99999999999999991e158 < x < 1e47

   1. Initial program 31.8%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 79.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 79.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]

      2. unpow3 79.3%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      3. associate-*r* 79.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2} \]

      4. fma-def 79.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, 2 \cdot x\right)}}{2} \]

      5. add-log-exp 30.6%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \color{blue}{\log \left(e^{2 \cdot x}\right)}\right)}{2} \]

      6. *-commutative 30.6%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \log \left(e^{\color{blue}{x \cdot 2}}\right)\right)}{2} \]

      7. exp-lft-sqr 30.5%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \log \color{blue}{\left(e^{x} \cdot e^{x}\right)}\right)}{2} \]

      8. log-prod 30.5%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \color{blue}{\log \left(e^{x}\right) + \log \left(e^{x}\right)}\right)}{2} \]

      9. add-log-exp 39.7%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \color{blue}{x} + \log \left(e^{x}\right)\right)}{2} \]

      10. add-log-exp 79.3%

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x + \color{blue}{x}\right)}{2} \]

   4. Applied egg-rr 79.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x + x\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 79.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + x\right)}}{2} \]

      2. *-commutative 79.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x + \left(x + x\right)}{2} \]

      3. associate-*r* 79.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot x + \left(x + x\right)}{2} \]

      4. count-2 79.3%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + \color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]

      5. distribute-rgt-in 79.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      6. fma-udef 79.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

      7. *-commutative 79.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right) \cdot x}}{2} \]

      8. fma-udef 79.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

      9. associate-*r* 79.3%

         \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333} + 2\right) \cdot x}{2} \]

      10. *-commutative 79.3%

          \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right) \cdot x}{2} \]

      11. fma-def 79.3%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)} \cdot x}{2} \]

   6. Applied egg-rr 79.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 79.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

      2. *-commutative 79.3%

         \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333} + 2\right) \cdot x}{2} \]

      3. associate-*r* 79.3%

         \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right) \cdot x}{2} \]

      4. +-commutative 79.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot x}{2} \]

      5. flip-+ 82.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot x}{2} \]

      6. metadata-eval 82.3%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{4} - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      7. associate-*r* 82.3%

         \[\leadsto \frac{\frac{4 - \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      8. associate-*r* 82.3%

         \[\leadsto \frac{\frac{4 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      9. swap-sqr 82.3%

         \[\leadsto \frac{\frac{4 - \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      10. pow2 82.3%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      11. pow2 82.3%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      12. pow-prod-up 82.3%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      13. metadata-eval 82.3%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - {x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      14. metadata-eval 82.3%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - {x}^{4} \cdot \color{blue}{0.1111111111111111}}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      15. associate-*r* 82.3%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - {x}^{4} \cdot 0.1111111111111111}{2 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}} \cdot x}{2} \]

      16. *-commutative 82.3%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - {x}^{4} \cdot 0.1111111111111111}{2 - \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \cdot x}{2} \]

   8. Applied egg-rr 82.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{4 - {x}^{4} \cdot 0.1111111111111111}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \cdot x}{2} \]

   if 1e47 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 84.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 84.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 84.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2}}} \]

      2. sqrt-unprod 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2} \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2}}} \]

      3. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2}} \]

      4. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}} \]

      5. swap-sqr 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)}} \]

      6. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      7. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\left({x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.3333333333333333\right)}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      8. swap-sqr 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      9. pow-prod-up 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      10. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      11. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot \color{blue}{0.1111111111111111}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot \left(\color{blue}{0.5} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      13. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot \left(0.5 \cdot \color{blue}{0.5}\right)} \]

      14. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot \color{blue}{0.25}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left({x}^{6} \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot 0.25}} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{6} \cdot 0.027777777777777776}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 87.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{+158}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{+47}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - {x}^{4} \cdot 0.1111111111111111}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{{x}^{6} \cdot 0.027777777777777776}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 87.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{+158} \lor \neg \left(x \leq 10^{+102}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - {x}^{4} \cdot 0.1111111111111111}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -2e+158) (not (<= x 1e+102)))
   (* 0.3333333333333333 (* x (* 0.5 (* x x))))
   (/
    (*
     x
     (/
      (- 4.0 (* (pow x 4.0) 0.1111111111111111))
      (- 2.0 (* 0.3333333333333333 (* x x)))))
    2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2e+158) || !(x <= 1e+102)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (x * (0.5 * (x * x)));
	} else {
		tmp = (x * ((4.0 - (pow(x, 4.0) * 0.1111111111111111)) / (2.0 - (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-2d+158)) .or. (.not. (x <= 1d+102))) then
        tmp = 0.3333333333333333d0 * (x * (0.5d0 * (x * x)))
    else
        tmp = (x * ((4.0d0 - ((x ** 4.0d0) * 0.1111111111111111d0)) / (2.0d0 - (0.3333333333333333d0 * (x * x))))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2e+158) || !(x <= 1e+102)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (x * (0.5 * (x * x)));
	} else {
		tmp = (x * ((4.0 - (Math.pow(x, 4.0) * 0.1111111111111111)) / (2.0 - (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -2e+158) or not (x <= 1e+102):
		tmp = 0.3333333333333333 * (x * (0.5 * (x * x)))
	else:
		tmp = (x * ((4.0 - (math.pow(x, 4.0) * 0.1111111111111111)) / (2.0 - (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2e+158) || !(x <= 1e+102))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * Float64(0.5 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(4.0 - Float64((x ^ 4.0) * 0.1111111111111111)) / Float64(2.0 - Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2e+158) || ~((x <= 1e+102)))
		tmp = 0.3333333333333333 * (x * (0.5 * (x * x)));
	else
		tmp = (x * ((4.0 - ((x ^ 4.0) * 0.1111111111111111)) / (2.0 - (0.3333333333333333 * (x * x))))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -2e+158], N[Not[LessEqual[x, 1e+102]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[(x * N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(N[(4.0 - N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 - N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.99999999999999991e158 or 9.99999999999999977e101 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{2}{{x}^{3}}}} \]

      2. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\frac{2}{{x}^{3}}}} \]

   5. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\frac{2}{{x}^{3}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{3}\right)} \]

      2. unpow3 100.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}\right) \]

      3. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x\right) \]

   7. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} \]

   if -1.99999999999999991e158 < x < 9.99999999999999977e101

   1. Initial program 34.6%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 76.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 76.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]

      2. unpow3 76.3%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      3. associate-*r* 76.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2} \]

      4. fma-def 76.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, 2 \cdot x\right)}}{2} \]

      5. add-log-exp 33.5%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \color{blue}{\log \left(e^{2 \cdot x}\right)}\right)}{2} \]

      6. *-commutative 33.5%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \log \left(e^{\color{blue}{x \cdot 2}}\right)\right)}{2} \]

      7. exp-lft-sqr 33.4%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \log \color{blue}{\left(e^{x} \cdot e^{x}\right)}\right)}{2} \]

      8. log-prod 33.4%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \color{blue}{\log \left(e^{x}\right) + \log \left(e^{x}\right)}\right)}{2} \]

      9. add-log-exp 42.2%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \color{blue}{x} + \log \left(e^{x}\right)\right)}{2} \]

      10. add-log-exp 76.3%

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x + \color{blue}{x}\right)}{2} \]

   4. Applied egg-rr 76.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x + x\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 76.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + x\right)}}{2} \]

      2. *-commutative 76.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x + \left(x + x\right)}{2} \]

      3. associate-*r* 76.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot x + \left(x + x\right)}{2} \]

      4. count-2 76.3%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + \color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]

      5. distribute-rgt-in 76.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      6. fma-udef 76.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

      7. *-commutative 76.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right) \cdot x}}{2} \]

      8. fma-udef 76.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

      9. associate-*r* 76.3%

         \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333} + 2\right) \cdot x}{2} \]

      10. *-commutative 76.3%

          \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right) \cdot x}{2} \]

      11. fma-def 76.3%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)} \cdot x}{2} \]

   6. Applied egg-rr 76.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 76.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

      2. *-commutative 76.3%

         \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333} + 2\right) \cdot x}{2} \]

      3. associate-*r* 76.3%

         \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right) \cdot x}{2} \]

      4. +-commutative 76.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot x}{2} \]

      5. flip-+ 80.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)}} \cdot x}{2} \]

      6. metadata-eval 80.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{4} - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      7. associate-*r* 80.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{4 - \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      8. associate-*r* 80.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{4 - \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      9. swap-sqr 80.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{4 - \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      10. pow2 80.0%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      11. pow2 80.0%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      12. pow-prod-up 80.0%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      13. metadata-eval 80.0%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - {x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      14. metadata-eval 80.0%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - {x}^{4} \cdot \color{blue}{0.1111111111111111}}{2 - x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x}{2} \]

      15. associate-*r* 80.0%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - {x}^{4} \cdot 0.1111111111111111}{2 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}} \cdot x}{2} \]

      16. *-commutative 80.0%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - {x}^{4} \cdot 0.1111111111111111}{2 - \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \cdot x}{2} \]

   8. Applied egg-rr 80.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{4 - {x}^{4} \cdot 0.1111111111111111}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \cdot x}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 85.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2 \cdot 10^{+158} \lor \neg \left(x \leq 10^{+102}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - {x}^{4} \cdot 0.1111111111111111}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 83.8% accurate, 15.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -2.5) (not (<= x 2.4)))
   (* 0.3333333333333333 (* x (* 0.5 (* x x))))
   (/ (* x 2.0) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.4)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (x * (0.5 * (x * x)));
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-2.5d0)) .or. (.not. (x <= 2.4d0))) then
        tmp = 0.3333333333333333d0 * (x * (0.5d0 * (x * x)))
    else
        tmp = (x * 2.0d0) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.4)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (x * (0.5 * (x * x)));
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -2.5) or not (x <= 2.4):
		tmp = 0.3333333333333333 * (x * (0.5 * (x * x)))
	else:
		tmp = (x * 2.0) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.4))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * Float64(0.5 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2.5) || ~((x <= 2.4)))
		tmp = 0.3333333333333333 * (x * (0.5 * (x * x)));
	else
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -2.5], N[Not[LessEqual[x, 2.4]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[(x * N[(0.5 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.5 or 2.39999999999999991 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 62.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 62.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 62.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333}{\frac{2}{{x}^{3}}}} \]

      2. div-inv 62.3%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\frac{2}{{x}^{3}}}} \]

   5. Applied egg-rr 62.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{1}{\frac{2}{{x}^{3}}}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ 62.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot {x}^{3}\right)} \]

      2. unpow3 62.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}\right) \]

      3. associate-*r* 62.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(\frac{1}{2} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} \]

      4. metadata-eval 62.3%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \left(\left(\color{blue}{0.5} \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x\right) \]

   7. Applied egg-rr 62.3%

      \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} \]

   if -2.5 < x < 2.39999999999999991

   1. Initial program 7.7%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 82.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot \left(0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 84.1% accurate, 18.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (2.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 82.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 82.2%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 82.2%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 82.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 82.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 82.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 82.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 82.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 82.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 82.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

6. Applied egg-rr 82.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

7. Final simplification 82.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \]

Alternative 7: 53.1% accurate, 41.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x 2.0) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 2.0d0) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * 2.0) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 2.0) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 51.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 55.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]

3. Final simplification 55.3%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2}{2} \]

Alternative 8: 2.9% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 -1.0)

C

double code(double x) {
	return -1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0;
}

Python

def code(x):
	return -1.0

Julia

function code(x)
	return -1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0;
end

Wolfram

code[x_] := -1.0

Derivation

1. Initial program 51.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 2.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2}}{2} \]

4. Final simplification 2.8%

   \[\leadsto -1 \]

Alternative 9: 3.5% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 51.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 3.6%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0}}{2} \]

4. Final simplification 3.6%

   \[\leadsto 0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023221 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))