Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.1% → 96.9%

Time: 6.2s

Alternatives: 4

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 96.9% accurate, 3.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+ (* 2.0 x) (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)))
  (+ 2.0 (+ (* x x) (* (* x x) (* (* x x) 0.08333333333333333))))))

C

double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * pow(x, 3.0))) / (2.0 + ((x * x) + ((x * x) * ((x * x) * 0.08333333333333333))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((2.0d0 * x) + (0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0))) / (2.0d0 + ((x * x) + ((x * x) * ((x * x) * 0.08333333333333333d0))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0))) / (2.0 + ((x * x) + ((x * x) * ((x * x) * 0.08333333333333333))));
}

Python

def code(x):
	return ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0))) / (2.0 + ((x * x) + ((x * x) * ((x * x) * 0.08333333333333333))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(2.0 * x) + Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0))) / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) + Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * 0.08333333333333333)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * (x ^ 3.0))) / (2.0 + ((x * x) + ((x * x) * ((x * x) * 0.08333333333333333))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(2.0 * x), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.08333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.6%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 97.4%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{\color{blue}{2 + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

5. Simplified 97.4%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \cdot \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right) \cdot \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}}\right)} \]

   2. pow1/3 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + \color{blue}{{\left(\left(\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \cdot \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right) \cdot \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)}^{0.3333333333333333}}\right)} \]

   3. pow3 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + {\color{blue}{\left({\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333}\right)} \]

   4. *-commutative 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + {\left({\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot 0.08333333333333333\right)}}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

   5. unpow-prod-down 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + {\color{blue}{\left({\left({x}^{4}\right)}^{3} \cdot {0.08333333333333333}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333}\right)} \]

   6. metadata-eval 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + {\left({\left({x}^{4}\right)}^{3} \cdot \color{blue}{0.0005787037037037037}\right)}^{0.3333333333333333}\right)} \]

7. Applied egg-rr 97.4%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + \color{blue}{{\left({\left({x}^{4}\right)}^{3} \cdot 0.0005787037037037037\right)}^{0.3333333333333333}}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow1/3 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + \color{blue}{\sqrt[3]{{\left({x}^{4}\right)}^{3} \cdot 0.0005787037037037037}}\right)} \]

   2. cbrt-prod 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + \color{blue}{\sqrt[3]{{\left({x}^{4}\right)}^{3}} \cdot \sqrt[3]{0.0005787037037037037}}\right)} \]

   3. rem-cbrt-cube 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + \color{blue}{{x}^{4}} \cdot \sqrt[3]{0.0005787037037037037}\right)} \]

   4. metadata-eval 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + {x}^{4} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{0.006944444444444444 \cdot 0.08333333333333333}}\right)} \]

   5. metadata-eval 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + {x}^{4} \cdot \sqrt[3]{\color{blue}{\left(0.08333333333333333 \cdot 0.08333333333333333\right)} \cdot 0.08333333333333333}\right)} \]

   6. add-cbrt-cube 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + {x}^{4} \cdot \color{blue}{0.08333333333333333}\right)} \]

   7. metadata-eval 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + {x}^{\color{blue}{\left(2 + 2\right)}} \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

   8. pow-prod-up 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

   9. pow2 97.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {x}^{2}\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

   10. pow2 97.4%

       \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \cdot 0.08333333333333333\right)} \]

   11. associate-*l* 97.4%

       \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)}\right)} \]

9. Applied egg-rr 97.4%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)}\right)} \]

10. Final simplification 97.4%

    \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + \left(x \cdot x + \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.08333333333333333\right)\right)} \]

Alternative 2: 96.9% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* 2.0 x) (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0))) (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * pow(x, 3.0))) / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((2.0d0 * x) + (0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0))) / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0))) / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0))) / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(2.0 * x) + Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0))) / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * (x ^ 3.0))) / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(2.0 * x), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.6%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 97.3%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.1%

      \[\leadsto \frac{x + x}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

5. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

6. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + x \cdot x} \]

Alternative 3: 96.4% accurate, 45.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x + x}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (+ x x) (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return (x + x) / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x + x) / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x + x) / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return (x + x) / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x + x) / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x + x) / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x + x), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.6%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. count-2 96.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x + x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

4. Simplified 96.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x + x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 97.1%

   \[\leadsto \frac{x + x}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 97.1%

      \[\leadsto \frac{x + x}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

7. Simplified 97.1%

   \[\leadsto \frac{x + x}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

8. Final simplification 97.1%

   \[\leadsto \frac{x + x}{2 + x \cdot x} \]

Alternative 4: 96.3% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 8.6%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

3. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023215 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))