Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 54.4% → 99.1%

Time: 5.2s

Alternatives: 8

Speedup: 18.7×

• 49.9% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log1p (expm1 x)))

C

double code(double x) {
	return log1p(expm1(x));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log1p(Math.expm1(x));
}

Python

def code(x):
	return math.log1p(math.expm1(x))

Julia

function code(x)
	return log1p(expm1(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[1 + N[(Exp[x] - 1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 83.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 83.0%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 83.0%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 83.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 83.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

5. Taylor expanded in x around 0 48.9%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{2}}{2} \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 48.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{2}}} \]

   2. metadata-eval 48.6%

      \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{1}} \]

   3. /-rgt-identity 48.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]

   4. log1p-expm1-u 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right)} \]

8. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(x\right)\right) \]

Alternative 2: 91.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\\ t_1 := t_0 \cdot t_0\\ t_2 := 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_3 := \frac{x \cdot t_2}{2}\\ t_4 := \frac{x \cdot \frac{t_1 - 4}{t_2 - 2}}{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;t_3\\ \mathbf{elif}\;x \leq -2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;t_4\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{{t_0}^{3} + 8}{t_1 + \left(4 - 2 \cdot t_0\right)}}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{+103}:\\ \;\;\;\;t_4\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_3\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x 0.3333333333333333)))
        (t_1 (* t_0 t_0))
        (t_2 (* 0.3333333333333333 (* x x)))
        (t_3 (/ (* x t_2) 2.0))
        (t_4 (/ (* x (/ (- t_1 4.0) (- t_2 2.0))) 2.0)))
   (if (<= x -1e+154)
     t_3
     (if (<= x -2e+77)
       t_4
       (if (<= x 2e+77)
         (/ (* x (/ (+ (pow t_0 3.0) 8.0) (+ t_1 (- 4.0 (* 2.0 t_0))))) 2.0)
         (if (<= x 1e+103) t_4 t_3))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double t_1 = t_0 * t_0;
	double t_2 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double t_3 = (x * t_2) / 2.0;
	double t_4 = (x * ((t_1 - 4.0) / (t_2 - 2.0))) / 2.0;
	double tmp;
	if (x <= -1e+154) {
		tmp = t_3;
	} else if (x <= -2e+77) {
		tmp = t_4;
	} else if (x <= 2e+77) {
		tmp = (x * ((pow(t_0, 3.0) + 8.0) / (t_1 + (4.0 - (2.0 * t_0))))) / 2.0;
	} else if (x <= 1e+103) {
		tmp = t_4;
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: t_3
    real(8) :: t_4
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (x * 0.3333333333333333d0)
    t_1 = t_0 * t_0
    t_2 = 0.3333333333333333d0 * (x * x)
    t_3 = (x * t_2) / 2.0d0
    t_4 = (x * ((t_1 - 4.0d0) / (t_2 - 2.0d0))) / 2.0d0
    if (x <= (-1d+154)) then
        tmp = t_3
    else if (x <= (-2d+77)) then
        tmp = t_4
    else if (x <= 2d+77) then
        tmp = (x * (((t_0 ** 3.0d0) + 8.0d0) / (t_1 + (4.0d0 - (2.0d0 * t_0))))) / 2.0d0
    else if (x <= 1d+103) then
        tmp = t_4
    else
        tmp = t_3
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double t_1 = t_0 * t_0;
	double t_2 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double t_3 = (x * t_2) / 2.0;
	double t_4 = (x * ((t_1 - 4.0) / (t_2 - 2.0))) / 2.0;
	double tmp;
	if (x <= -1e+154) {
		tmp = t_3;
	} else if (x <= -2e+77) {
		tmp = t_4;
	} else if (x <= 2e+77) {
		tmp = (x * ((Math.pow(t_0, 3.0) + 8.0) / (t_1 + (4.0 - (2.0 * t_0))))) / 2.0;
	} else if (x <= 1e+103) {
		tmp = t_4;
	} else {
		tmp = t_3;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333)
	t_1 = t_0 * t_0
	t_2 = 0.3333333333333333 * (x * x)
	t_3 = (x * t_2) / 2.0
	t_4 = (x * ((t_1 - 4.0) / (t_2 - 2.0))) / 2.0
	tmp = 0
	if x <= -1e+154:
		tmp = t_3
	elif x <= -2e+77:
		tmp = t_4
	elif x <= 2e+77:
		tmp = (x * ((math.pow(t_0, 3.0) + 8.0) / (t_1 + (4.0 - (2.0 * t_0))))) / 2.0
	elif x <= 1e+103:
		tmp = t_4
	else:
		tmp = t_3
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333))
	t_1 = Float64(t_0 * t_0)
	t_2 = Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))
	t_3 = Float64(Float64(x * t_2) / 2.0)
	t_4 = Float64(Float64(x * Float64(Float64(t_1 - 4.0) / Float64(t_2 - 2.0))) / 2.0)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1e+154)
		tmp = t_3;
	elseif (x <= -2e+77)
		tmp = t_4;
	elseif (x <= 2e+77)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64((t_0 ^ 3.0) + 8.0) / Float64(t_1 + Float64(4.0 - Float64(2.0 * t_0))))) / 2.0);
	elseif (x <= 1e+103)
		tmp = t_4;
	else
		tmp = t_3;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	t_1 = t_0 * t_0;
	t_2 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	t_3 = (x * t_2) / 2.0;
	t_4 = (x * ((t_1 - 4.0) / (t_2 - 2.0))) / 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1e+154)
		tmp = t_3;
	elseif (x <= -2e+77)
		tmp = t_4;
	elseif (x <= 2e+77)
		tmp = (x * (((t_0 ^ 3.0) + 8.0) / (t_1 + (4.0 - (2.0 * t_0))))) / 2.0;
	elseif (x <= 1e+103)
		tmp = t_4;
	else
		tmp = t_3;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$3 = N[(N[(x * t$95$2), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$4 = N[(N[(x * N[(N[(t$95$1 - 4.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$2 - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -1e+154], t$95$3, If[LessEqual[x, -2e+77], t$95$4, If[LessEqual[x, 2e+77], N[(N[(x * N[(N[(N[Power[t$95$0, 3.0], $MachinePrecision] + 8.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 + N[(4.0 - N[(2.0 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1e+103], t$95$4, t$95$3]]]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.00000000000000004e154 or 1e103 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   if -1.00000000000000004e154 < x < -1.99999999999999997e77 or 1.99999999999999997e77 < x < 1e103

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 59.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 59.5%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 59.5%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 59.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 59.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 59.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 59.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 59.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 59.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 59.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. flip-+ 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

      3. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - \color{blue}{4}}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}} - 2}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 59.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} - 2}}{2} \]

   if -1.99999999999999997e77 < x < 1.99999999999999997e77

   1. Initial program 27.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 78.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 78.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 78.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 78.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 78.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 78.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 78.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 78.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 78.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 78.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. flip3-+ 84.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + {2}^{3}}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}}{2} \]

      3. metadata-eval 84.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + \color{blue}{8}}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

      4. metadata-eval 84.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(\color{blue}{4} - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 84.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(4 - \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot 2\right)}}}{2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 2}}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2 \cdot 10^{+77}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}^{3} + 8}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(4 - 2 \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right)}}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{+103}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 2}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 87.6% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+155} \lor \neg \left(x \leq 10^{+103}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{0.1111111111111111 \cdot {x}^{4} - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -5e+155) (not (<= x 1e+103)))
   (/ (* x (* 0.3333333333333333 (* x x))) 2.0)
   (/
    (*
     x
     (/
      (- (* 0.1111111111111111 (pow x 4.0)) 4.0)
      (- (* x (* x 0.3333333333333333)) 2.0)))
    2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -5e+155) || !(x <= 1e+103)) {
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (((0.1111111111111111 * pow(x, 4.0)) - 4.0) / ((x * (x * 0.3333333333333333)) - 2.0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-5d+155)) .or. (.not. (x <= 1d+103))) then
        tmp = (x * (0.3333333333333333d0 * (x * x))) / 2.0d0
    else
        tmp = (x * (((0.1111111111111111d0 * (x ** 4.0d0)) - 4.0d0) / ((x * (x * 0.3333333333333333d0)) - 2.0d0))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -5e+155) || !(x <= 1e+103)) {
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (((0.1111111111111111 * Math.pow(x, 4.0)) - 4.0) / ((x * (x * 0.3333333333333333)) - 2.0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -5e+155) or not (x <= 1e+103):
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0
	else:
		tmp = (x * (((0.1111111111111111 * math.pow(x, 4.0)) - 4.0) / ((x * (x * 0.3333333333333333)) - 2.0))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -5e+155) || !(x <= 1e+103))
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(Float64(0.1111111111111111 * (x ^ 4.0)) - 4.0) / Float64(Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)) - 2.0))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -5e+155) || ~((x <= 1e+103)))
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0;
	else
		tmp = (x * (((0.1111111111111111 * (x ^ 4.0)) - 4.0) / ((x * (x * 0.3333333333333333)) - 2.0))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -5e+155], N[Not[LessEqual[x, 1e+103]], $MachinePrecision]], N[(N[(x * N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(N[(N[(0.1111111111111111 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.9999999999999999e155 or 1e103 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   if -4.9999999999999999e155 < x < 1e103

   1. Initial program 37.7%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 75.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 75.4%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 75.4%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 75.4%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 75.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 75.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 75.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 75.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 75.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. flip-+ 81.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

      3. metadata-eval 81.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - \color{blue}{4}}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 81.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 81.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\color{blue}{0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}} - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+155} \lor \neg \left(x \leq 10^{+103}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{0.1111111111111111 \cdot {x}^{4} - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 87.7% accurate, 7.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\\ t_1 := 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{+154} \lor \neg \left(x \leq 10^{+103}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot t_1}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{t_0 \cdot t_0 - 4}{t_1 - 2}}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x 0.3333333333333333)))
        (t_1 (* 0.3333333333333333 (* x x))))
   (if (or (<= x -1e+154) (not (<= x 1e+103)))
     (/ (* x t_1) 2.0)
     (/ (* x (/ (- (* t_0 t_0) 4.0) (- t_1 2.0))) 2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double t_1 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double tmp;
	if ((x <= -1e+154) || !(x <= 1e+103)) {
		tmp = (x * t_1) / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_1 - 2.0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = x * (x * 0.3333333333333333d0)
    t_1 = 0.3333333333333333d0 * (x * x)
    if ((x <= (-1d+154)) .or. (.not. (x <= 1d+103))) then
        tmp = (x * t_1) / 2.0d0
    else
        tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0d0) / (t_1 - 2.0d0))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	double t_1 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	double tmp;
	if ((x <= -1e+154) || !(x <= 1e+103)) {
		tmp = (x * t_1) / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_1 - 2.0))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333)
	t_1 = 0.3333333333333333 * (x * x)
	tmp = 0
	if (x <= -1e+154) or not (x <= 1e+103):
		tmp = (x * t_1) / 2.0
	else:
		tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_1 - 2.0))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333))
	t_1 = Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1e+154) || !(x <= 1e+103))
		tmp = Float64(Float64(x * t_1) / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) - 4.0) / Float64(t_1 - 2.0))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * 0.3333333333333333);
	t_1 = 0.3333333333333333 * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -1e+154) || ~((x <= 1e+103)))
		tmp = (x * t_1) / 2.0;
	else
		tmp = (x * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_1 - 2.0))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[x, -1e+154], N[Not[LessEqual[x, 1e+103]], $MachinePrecision]], N[(N[(x * t$95$1), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.00000000000000004e154 or 1e103 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   if -1.00000000000000004e154 < x < 1e103

   1. Initial program 37.7%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 75.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 75.4%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 75.4%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 75.4%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 75.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 75.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 75.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 75.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 75.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. flip-+ 81.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

      3. metadata-eval 81.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - \color{blue}{4}}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 81.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) - 2}}}{2} \]

   7. Taylor expanded in x around 0 81.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}} - 2}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. unpow2 75.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   9. Simplified 81.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} - 2}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{+154} \lor \neg \left(x \leq 10^{+103}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) - 4}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) - 2}}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 83.4% accurate, 15.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -2.5) (not (<= x 2.4)))
   (/ (* x (* 0.3333333333333333 (* x x))) 2.0)
   x))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.4)) {
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0;
	} else {
		tmp = x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-2.5d0)) .or. (.not. (x <= 2.4d0))) then
        tmp = (x * (0.3333333333333333d0 * (x * x))) / 2.0d0
    else
        tmp = x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.4)) {
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0;
	} else {
		tmp = x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -2.5) or not (x <= 2.4):
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0
	else:
		tmp = x
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.4))
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))) / 2.0);
	else
		tmp = x;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2.5) || ~((x <= 2.4)))
		tmp = (x * (0.3333333333333333 * (x * x))) / 2.0;
	else
		tmp = x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -2.5], N[Not[LessEqual[x, 2.4]], $MachinePrecision]], N[(N[(x * N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], x]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.5 or 2.39999999999999991 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 68.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 68.7%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 68.7%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 68.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 68.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 68.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 68.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 68.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 68.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 68.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 68.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 68.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   if -2.5 < x < 2.39999999999999991

   1. Initial program 5.8%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{2}}{2} \]

   6. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 83.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \]

Alternative 6: 83.6% accurate, 18.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ (* 0.3333333333333333 (* x x)) 2.0)) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * ((0.3333333333333333 * (x * x)) + 2.0)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * ((0.3333333333333333d0 * (x * x)) + 2.0d0)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * ((0.3333333333333333 * (x * x)) + 2.0)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * ((0.3333333333333333 * (x * x)) + 2.0)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x)) + 2.0)) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * ((0.3333333333333333 * (x * x)) + 2.0)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 83.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 83.0%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 83.0%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 83.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 83.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

6. Applied egg-rr 83.0%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

7. Taylor expanded in x around 0 83.0%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}} + 2\right)}{2} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

9. Simplified 83.0%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

10. Final simplification 83.0%

    \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}{2} \]

Alternative 7: 52.1% accurate, 41.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x 2.0) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 2.0d0) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * 2.0) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 2.0) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 48.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]

3. Final simplification 48.9%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2}{2} \]

Alternative 8: 52.0% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 56.9%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 83.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 83.0%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 83.0%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 83.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 83.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 83.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

5. Taylor expanded in x around 0 48.9%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{2}}{2} \]

6. Taylor expanded in x around 0 48.6%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

7. Final simplification 48.6%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023214 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))