ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.7% → 99.6%

Time: 21.2s

Alternatives: 9

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ \mathsf{fma}\left(\sqrt{x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma
  (sqrt (* x (* x 0.027777777777777776)))
  x
  (fma
   -0.00023644179894179894
   (pow x 8.0)
   (fma
    -0.06388888888888888
    (pow x 4.0)
    (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return fma(sqrt((x * (x * 0.027777777777777776))), x, fma(-0.00023644179894179894, pow(x, 8.0), fma(-0.06388888888888888, pow(x, 4.0), (-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)))));
}

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return fma(sqrt(Float64(x * Float64(x * 0.027777777777777776))), x, fma(-0.00023644179894179894, (x ^ 8.0), fma(-0.06388888888888888, (x ^ 4.0), Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)))))
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[Sqrt[N[(x * N[(x * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * x + N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] + N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 99.7%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   3. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

   4. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)}\right) \]

   5. +-commutative 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}}\right)\right) \]

   6. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 49.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot x}}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-unprod 74.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)}}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative 74.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative 74.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

   5. swap-sqr 74.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval 74.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 74.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776}}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*l* 74.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)}}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

8. Simplified 74.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)}}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 74.4%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8}\right) + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (+ (* 0.16666666666666666 (* x x)) (* -0.00023644179894179894 (pow x 8.0)))
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return ((0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.00023644179894179894 * pow(x, 8.0))) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)));
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((0.16666666666666666d0 * (x * x)) + ((-0.00023644179894179894d0) * (x ** 8.0d0))) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)))
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return ((0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.00023644179894179894 * Math.pow(x, 8.0))) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)));
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return ((0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.00023644179894179894 * math.pow(x, 8.0))) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)))

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)) + Float64(-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0))) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = ((0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.00023644179894179894 * (x ^ 8.0))) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)));
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[(N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.00023644179894179894 * N[Power[x, 8.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 99.7%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   3. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

   4. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)}\right) \]

   5. +-commutative 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}}\right)\right) \]

   6. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x + \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]

   2. associate-*r* 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

   3. fma-udef 99.7%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{\left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]

   4. associate-+r+ 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8}\right) + \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)} \]

6. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8}\right) + \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8}\right) + \color{blue}{\left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

8. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8}\right) + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

Alternative 3: 99.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) + x \cdot \sqrt{0.027777777777777776 \cdot \left(x \cdot x\right)} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)))
  (* x (sqrt (* 0.027777777777777776 (* x x))))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0))) + (x * sqrt((0.027777777777777776 * (x * x))));
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))) + (x * sqrt((0.027777777777777776d0 * (x * x))))
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0))) + (x * Math.sqrt((0.027777777777777776 * (x * x))));
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))) + (x * math.sqrt((0.027777777777777776 * (x * x))))

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))) + Float64(x * sqrt(Float64(0.027777777777777776 * Float64(x * x)))))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))) + (x * sqrt((0.027777777777777776 * (x * x))));
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[Sqrt[N[(0.027777777777777776 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 99.6%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   2. add-exp-log 95.2%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Applied egg-rr 95.2%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. add-exp-log 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   2. associate-*r* 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 49.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot x} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot x}}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

   2. sqrt-unprod 74.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)}}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

   3. *-commutative 74.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right)}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative 74.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

   5. swap-sqr 74.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

   6. metadata-eval 74.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}}, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 74.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776}} \cdot x + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

9. Final simplification 74.3%

   \[\leadsto \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) + x \cdot \sqrt{0.027777777777777776 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

Alternative 4: 99.4% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)))
  (* 0.16666666666666666 (pow x 2.0))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0))) + (0.16666666666666666 * pow(x, 2.0));
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))) + (0.16666666666666666d0 * (x ** 2.0d0))
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0))) + (0.16666666666666666 * Math.pow(x, 2.0));
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))) + (0.16666666666666666 * math.pow(x, 2.0))

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))) + Float64(0.16666666666666666 * (x ^ 2.0)))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))) + (0.16666666666666666 * (x ^ 2.0));
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

3. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} \]

Alternative 5: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)))
  (* x (* x 0.16666666666666666))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0))) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0))) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))) + (x * (x * 0.16666666666666666))

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))) + (x * (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 99.6%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   2. add-exp-log 95.2%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Applied egg-rr 95.2%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. add-exp-log 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   2. associate-*r* 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

7. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 6: 99.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fma 0.16666666666666666 (* x x) (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return fma(0.16666666666666666, (x * x), (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)));
}

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return fma(0.16666666666666666, Float64(x * x), Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   2. unpow2 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

5. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

Alternative 7: 99.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* 0.16666666666666666 (* x x)) (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0));
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.16666666666666666d0 * (x * x)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0));
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = (0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0));
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   2. unpow2 99.3%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

6. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

7. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

Alternative 8: 98.7% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ x \cdot \sqrt{x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)} \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x) :precision binary64 (* x (sqrt (* x (* x 0.027777777777777776)))))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return x * sqrt((x * (x * 0.027777777777777776)));
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * sqrt((x * (x * 0.027777777777777776d0)))
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return x * Math.sqrt((x * (x * 0.027777777777777776)));
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return x * math.sqrt((x * (x * 0.027777777777777776)))

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(x * sqrt(Float64(x * Float64(x * 0.027777777777777776))))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = x * sqrt((x * (x * 0.027777777777777776)));
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(x * N[Sqrt[N[(x * N[(x * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 99.7%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   2. associate-*r* 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + \left(-0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right) \]

   3. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.00023644179894179894 \cdot {x}^{8} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

   4. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)}\right) \]

   5. +-commutative 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}}\right)\right) \]

   6. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)}\right)\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \mathsf{fma}\left(-0.00023644179894179894, {x}^{8}, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.6%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

   2. *-commutative 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

   3. associate-*l* 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

7. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 49.0%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{x \cdot 0.16666666666666666} \cdot \sqrt{x \cdot 0.16666666666666666}\right)} \]

   2. sqrt-unprod 73.6%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   3. swap-sqr 73.6%

      \[\leadsto x \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

   4. metadata-eval 73.6%

      \[\leadsto x \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

   5. associate-*r* 73.7%

      \[\leadsto x \cdot \sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)}} \]

9. Applied egg-rr 73.7%

   \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\sqrt{x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)}} \]

10. Final simplification 73.7%

    \[\leadsto x \cdot \sqrt{x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)} \]

Alternative 9: 98.6% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} x = |x|\\ \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

NOTE: x should be positive before calling this function
(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

x = abs(x);
double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

NOTE: x should be positive before calling this function
real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

x = Math.abs(x);
public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

x = abs(x)
def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

x = abs(x)
function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

x = abs(x)
function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

NOTE: x should be positive before calling this function
code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 50.8%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.6%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Developer target: 98.6% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023208 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))