Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.1% → 97.3%

Time: 7.3s

Alternatives: 6

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 97.3% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* 2.0 x)
   (+
    (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0))
    (+
     (* 0.0003968253968253968 (pow x 7.0))
     (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0)))))
  (+ (exp x) (exp (- x)))))

C

double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * pow(x, 7.0)) + (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0))))) / (exp(x) + exp(-x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((2.0d0 * x) + ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + ((0.0003968253968253968d0 * (x ** 7.0d0)) + (0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0))))) / (exp(x) + exp(-x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * Math.pow(x, 7.0)) + (0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0))))) / (Math.exp(x) + Math.exp(-x));
}

Python

def code(x):
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * math.pow(x, 7.0)) + (0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0))))) / (math.exp(x) + math.exp(-x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(2.0 * x) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(Float64(0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + ((0.0003968253968253968 * (x ^ 7.0)) + (0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))))) / (exp(x) + exp(-x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(2.0 * x), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

Alternative 2: 97.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333)
  (+ x (* (pow x 5.0) 0.13333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)) + (x + ((x ** 5.0d0) * 0.13333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (Math.pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (math.pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + Float64(x + Float64((x ^ 5.0) * 0.13333333333333333)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + ((x ^ 5.0) * 0.13333333333333333));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x + N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.4%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} + x\right)} \]

3. Final simplification 97.4%

   \[\leadsto {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right) \]

Alternative 3: 97.2% accurate, 45.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x}{1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ x (+ 1.0 (* 0.3333333333333333 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return x / (1.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x / (1.0d0 + (0.3333333333333333d0 * (x * x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x / (1.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return x / (1.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(x / Float64(1.0 + Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x / (1.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(x / N[(1.0 + N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 8.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{e^{x} + e^{-x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 97.2%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. associate-*r* 97.2%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. distribute-rgt-out 97.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. *-commutative 97.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. +-commutative 97.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. associate-*l* 97.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   7. fma-def 97.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

4. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{e^{x} + e^{-x}}\right)\right)} \]

   2. expm1-udef 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{e^{x} + e^{-x}}\right)} - 1} \]

   3. associate-/l* 6.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\frac{e^{x} + e^{-x}}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}}\right)} - 1 \]

   4. cosh-undef 6.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{\color{blue}{2 \cdot \cosh x}}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}\right)} - 1 \]

   5. *-commutative 6.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x}, 2\right)}}\right)} - 1 \]

6. Applied egg-rr 6.9%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}\right)} - 1} \]
7. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}\right)\right)} \]

   2. expm1-log1p 97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}} \]

   3. *-commutative 97.2%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right)}} \]

8. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}} \]

9. Taylor expanded in x around 0 97.3%

   \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{1 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow2 97.3%

       \[\leadsto \frac{x}{1 + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}} \]

11. Simplified 97.3%

    \[\leadsto \frac{x}{\color{blue}{1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \]

12. Final simplification 97.3%

    \[\leadsto \frac{x}{1 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

Alternative 4: 6.8% accurate, 133.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1.25\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (if (<= x 2e-309) -1.0 1.25))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2e-309) {
		tmp = -1.0;
	} else {
		tmp = 1.25;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 2d-309) then
        tmp = -1.0d0
    else
        tmp = 1.25d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 2e-309) {
		tmp = -1.0;
	} else {
		tmp = 1.25;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 2e-309:
		tmp = -1.0
	else:
		tmp = 1.25
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 2e-309)
		tmp = -1.0;
	else
		tmp = 1.25;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2e-309)
		tmp = -1.0;
	else
		tmp = 1.25;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 2e-309], -1.0, 1.25]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.9999999999999988e-309

   1. Initial program 8.3%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 96.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{e^{x} + e^{-x}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 96.5%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

      2. associate-*r* 96.5%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

      3. distribute-rgt-out 96.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

      4. *-commutative 96.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

      5. +-commutative 96.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

      6. associate-*l* 96.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

      7. fma-def 96.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{e^{x} + e^{-x}}\right)\right)} \]

      2. expm1-udef 7.1%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{e^{x} + e^{-x}}\right)} - 1} \]

      3. associate-/l* 7.1%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\frac{e^{x} + e^{-x}}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}}\right)} - 1 \]

      4. cosh-undef 7.1%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{\color{blue}{2 \cdot \cosh x}}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}\right)} - 1 \]

      5. *-commutative 7.1%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x}, 2\right)}}\right)} - 1 \]

   6. Applied egg-rr 7.1%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}\right)} - 1} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}\right)\right)} \]

      2. expm1-log1p 96.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}} \]

      3. *-commutative 96.5%

         \[\leadsto \frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right)}} \]

   8. Simplified 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}} \]

   10. Applied egg-rr 8.3%

       \[\leadsto \color{blue}{-1} \]

   if 1.9999999999999988e-309 < x

   1. Initial program 8.1%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 97.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{e^{x} + e^{-x}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 97.8%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

      2. associate-*r* 97.8%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

      3. distribute-rgt-out 97.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

      4. *-commutative 97.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

      5. +-commutative 97.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

      6. associate-*l* 97.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

      7. fma-def 97.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 97.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{e^{x} + e^{-x}}\right)\right)} \]

      2. expm1-udef 6.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{e^{x} + e^{-x}}\right)} - 1} \]

      3. associate-/l* 6.7%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\frac{e^{x} + e^{-x}}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}}\right)} - 1 \]

      4. cosh-undef 6.7%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{\color{blue}{2 \cdot \cosh x}}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}\right)} - 1 \]

      5. *-commutative 6.7%

         \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x}, 2\right)}}\right)} - 1 \]

   6. Applied egg-rr 6.7%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}\right)} - 1} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 97.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}\right)\right)} \]

      2. expm1-log1p 97.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}} \]

      3. *-commutative 97.8%

         \[\leadsto \frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right)}} \]

   8. Simplified 97.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}} \]

   10. Applied egg-rr 5.7%

       \[\leadsto \color{blue}{1.25} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 7.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{-309}:\\ \;\;\;\;-1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1.25\\ \end{array} \]

Alternative 5: 5.1% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 -1.0)

C

double code(double x) {
	return -1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0;
}

Python

def code(x):
	return -1.0

Julia

function code(x)
	return -1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0;
end

Wolfram

code[x_] := -1.0

Derivation

1. Initial program 8.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{e^{x} + e^{-x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 97.2%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. associate-*r* 97.2%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. distribute-rgt-out 97.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. *-commutative 97.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. +-commutative 97.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. associate-*l* 97.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   7. fma-def 97.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

4. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{e^{x} + e^{-x}}\right)\right)} \]

   2. expm1-udef 6.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}{e^{x} + e^{-x}}\right)} - 1} \]

   3. associate-/l* 6.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\frac{e^{x} + e^{-x}}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}}\right)} - 1 \]

   4. cosh-undef 6.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{\color{blue}{2 \cdot \cosh x}}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}\right)} - 1 \]

   5. *-commutative 6.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x}, 2\right)}}\right)} - 1 \]

6. Applied egg-rr 6.9%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}\right)} - 1} \]
7. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}\right)\right)} \]

   2. expm1-log1p 97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, 2\right)}}} \]

   3. *-commutative 97.2%

      \[\leadsto \frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333}, 2\right)}} \]

8. Simplified 97.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2 \cdot \cosh x}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}} \]

10. Applied egg-rr 5.3%

    \[\leadsto \color{blue}{-1} \]

11. Final simplification 5.3%

    \[\leadsto -1 \]

Alternative 6: 96.7% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 8.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

3. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023208 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))