2cbrt (problem 3.3.4)

Percentage Accurate: 53.4% → 99.5%

Time: 10.9s

Alternatives: 17

Speedup: 1.8×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(x + 1\right)}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)) 0.0)
   (/ (* 0.3333333333333333 (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0)))) x)
   (/
    (- (+ x 1.0) x)
    (+
     (cbrt (pow (+ x 1.0) 2.0))
     (+ (pow (cbrt x) 2.0) (cbrt (* x (+ x 1.0))))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (0.3333333333333333 * cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0))) / x;
	} else {
		tmp = ((x + 1.0) - x) / (cbrt(pow((x + 1.0), 2.0)) + (pow(cbrt(x), 2.0) + cbrt((x * (x + 1.0)))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (0.3333333333333333 * Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0))) / x;
	} else {
		tmp = ((x + 1.0) - x) / (Math.cbrt(Math.pow((x + 1.0), 2.0)) + (Math.pow(Math.cbrt(x), 2.0) + Math.cbrt((x * (x + 1.0)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x)) <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0)))) / x);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x + 1.0) - x) / Float64(cbrt((Float64(x + 1.0) ^ 2.0)) + Float64((cbrt(x) ^ 2.0) + cbrt(Float64(x * Float64(x + 1.0))))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0], N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision] / N[(N[Power[N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision] + N[Power[N[(x * N[(x + 1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 0.0

   1. Initial program 4.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.2%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.2%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]

   6. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}} \]

   if 0.0 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 97.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 97.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. rem-cube-cbrt 97.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. rem-cube-cbrt 99.8%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      2. distribute-rgt-in 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \left(\color{blue}{{\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot x}}\right)} \]

   5. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot x}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \left({\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{2} + \sqrt[3]{x \cdot \left(x + 1\right)}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 99.1% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ {\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t_0, {t_0}^{2}\right)\right)}^{-0.5}\right)}^{2} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (pow (pow (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow t_0 2.0)) -0.5) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return pow(pow(fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow(t_0, 2.0)), -0.5), 2.0);
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return (fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (t_0 ^ 2.0)) ^ -0.5) ^ 2.0
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[Power[N[Power[N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], -0.5], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 52.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 52.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 52.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 52.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 53.8%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. cbrt-unprod 53.8%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. pow2 53.8%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. distribute-rgt-out 53.8%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   8. +-commutative 53.8%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

3. Applied egg-rr 53.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 53.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 53.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. +-commutative 53.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. associate--l+ 77.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-inverses 77.3%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. metadata-eval 77.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. +-commutative 77.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

   8. fma-def 77.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

   9. +-commutative 77.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

   10. +-commutative 77.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 77.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 77.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{\left(1 + x\right) \cdot \left(1 + x\right)}}\right)} \]

   2. cbrt-prod 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

9. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. add-sqr-sqrt 99.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}}} \]

    2. pow2 99.1%

       \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)}}\right)}^{2}} \]

    3. inv-pow 99.1%

       \[\leadsto {\left(\sqrt{\color{blue}{{\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)\right)}^{-1}}}\right)}^{2} \]

    4. sqrt-pow1 99.2%

       \[\leadsto {\color{blue}{\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)\right)}^{\left(\frac{-1}{2}\right)}\right)}}^{2} \]

    5. metadata-eval 99.2%

       \[\leadsto {\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)\right)}^{\color{blue}{-0.5}}\right)}^{2} \]

11. Applied egg-rr 99.2%

    \[\leadsto \color{blue}{{\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, {\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}\right)\right)}^{-0.5}\right)}^{2}} \]

12. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto {\left({\left(\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)\right)}^{-0.5}\right)}^{2} \]

Alternative 3: 99.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \mathbf{if}\;t_0 - \sqrt[3]{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (if (<= (- t_0 (cbrt x)) 0.0)
     (/ (* 0.3333333333333333 (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0)))) x)
     (/
      (+ 1.0 (- x x))
      (+ (cbrt (pow (+ x 1.0) 2.0)) (* (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if ((t_0 - cbrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (0.3333333333333333 * cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0))) / x;
	} else {
		tmp = (1.0 + (x - x)) / (cbrt(pow((x + 1.0), 2.0)) + (cbrt(x) * (cbrt(x) + t_0)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if ((t_0 - Math.cbrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (0.3333333333333333 * Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0))) / x;
	} else {
		tmp = (1.0 + (x - x)) / (Math.cbrt(Math.pow((x + 1.0), 2.0)) + (Math.cbrt(x) * (Math.cbrt(x) + t_0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 - cbrt(x)) <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0)))) / x);
	else
		tmp = Float64(Float64(1.0 + Float64(x - x)) / Float64(cbrt((Float64(x + 1.0) ^ 2.0)) + Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + t_0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0], N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], N[(N[(1.0 + N[(x - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Power[N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 0.0

   1. Initial program 4.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.2%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.2%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]

   6. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}} \]

   if 0.0 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 97.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 97.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. rem-cube-cbrt 97.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. rem-cube-cbrt 99.8%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      2. associate--l+ 99.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. Applied egg-rr 99.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1 + \left(x - x\right)}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 99.5% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \mathbf{if}\;t_0 - \sqrt[3]{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (if (<= (- t_0 (cbrt x)) 0.0)
     (/ (* 0.3333333333333333 (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0)))) x)
     (/
      (- (+ x 1.0) x)
      (+ (cbrt (pow (+ x 1.0) 2.0)) (* (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if ((t_0 - cbrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (0.3333333333333333 * cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0))) / x;
	} else {
		tmp = ((x + 1.0) - x) / (cbrt(pow((x + 1.0), 2.0)) + (cbrt(x) * (cbrt(x) + t_0)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if ((t_0 - Math.cbrt(x)) <= 0.0) {
		tmp = (0.3333333333333333 * Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0))) / x;
	} else {
		tmp = ((x + 1.0) - x) / (Math.cbrt(Math.pow((x + 1.0), 2.0)) + (Math.cbrt(x) * (Math.cbrt(x) + t_0)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 - cbrt(x)) <= 0.0)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0)))) / x);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x + 1.0) - x) / Float64(cbrt((Float64(x + 1.0) ^ 2.0)) + Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + t_0))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0], N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision] / N[(N[Power[N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 0.0

   1. Initial program 4.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.2%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.2%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.0%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]

   6. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}} \]

   if 0.0 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 97.5%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 97.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. rem-cube-cbrt 97.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. rem-cube-cbrt 99.8%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 0:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 99.1% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}\\ \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 0.0015:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot t_0}{x} + \frac{t_0}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} + \left(\sqrt[3]{x \cdot x} + \sqrt[3]{x + x \cdot x}\right)}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0)))))
   (if (<= (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)) 0.0015)
     (+
      (/ (* 0.3333333333333333 t_0) x)
      (* (/ t_0 (* x x)) -0.1111111111111111))
     (/
      1.0
      (+
       (pow (exp 0.6666666666666666) (log1p x))
       (+ (cbrt (* x x)) (cbrt (+ x (* x x)))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0));
	double tmp;
	if ((cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x)) <= 0.0015) {
		tmp = ((0.3333333333333333 * t_0) / x) + ((t_0 / (x * x)) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = 1.0 / (pow(exp(0.6666666666666666), log1p(x)) + (cbrt((x * x)) + cbrt((x + (x * x)))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0));
	double tmp;
	if ((Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x)) <= 0.0015) {
		tmp = ((0.3333333333333333 * t_0) / x) + ((t_0 / (x * x)) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = 1.0 / (Math.pow(Math.exp(0.6666666666666666), Math.log1p(x)) + (Math.cbrt((x * x)) + Math.cbrt((x + (x * x)))));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0)))
	tmp = 0.0
	if (Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x)) <= 0.0015)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * t_0) / x) + Float64(Float64(t_0 / Float64(x * x)) * -0.1111111111111111));
	else
		tmp = Float64(1.0 / Float64((exp(0.6666666666666666) ^ log1p(x)) + Float64(cbrt(Float64(x * x)) + cbrt(Float64(x + Float64(x * x))))));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.0015], N[(N[(N[(0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 / N[(N[Power[N[Exp[0.6666666666666666], $MachinePrecision], N[Log[1 + x], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(N[Power[N[(x * x), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] + N[Power[N[(x + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 0.0015

   1. Initial program 6.9%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.1%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.1%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.1%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.1%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.1%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.1%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.1%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 4.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + -0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} \]

      2. associate-+r+ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right) + -0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}} \]

      3. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} + -0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} \]

   6. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111} \]

   if 0.0015 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.8%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. div-inv 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      3. rem-cube-cbrt 99.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. rem-cube-cbrt 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. pow2 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      8. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. *-rgt-identity 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. associate--l+ 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. +-inverses 99.9%

         \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. metadata-eval 99.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

      8. fma-def 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

      9. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

      10. +-commutative 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

   5. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}}} \]

      2. pow1/3 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{{\left({\left(1 + x\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}}} \]

      3. unpow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + {\color{blue}{\left(\left(1 + x\right) \cdot \left(1 + x\right)\right)}}^{0.3333333333333333}} \]

      4. pow-prod-down 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{{\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}}} \]

      5. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      6. pow1/3 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot {\left(1 + x\right)}^{0.3333333333333333}} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot {\color{blue}{\left(x + 1\right)}}^{0.3333333333333333}} \]

      8. pow1/3 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{x + 1}}} \]

      9. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      10. +-commutative 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{1 + x}\right)}} \]

      11. +-commutative 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{\color{blue}{x + 1}}\right)} \]

      12. distribute-rgt-in 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      13. associate-+r+ 99.9%

          \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}}} \]

   7. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\left({\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} + \sqrt[3]{x \cdot x}\right) + \sqrt[3]{\left(1 + x\right) \cdot x}}} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-+l+ 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} + \left(\sqrt[3]{x \cdot x} + \sqrt[3]{\left(1 + x\right) \cdot x}\right)}} \]

      2. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} + \left(\sqrt[3]{x \cdot x} + \sqrt[3]{\color{blue}{x \cdot \left(1 + x\right)}}\right)} \]

      3. distribute-rgt-in 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} + \left(\sqrt[3]{x \cdot x} + \sqrt[3]{\color{blue}{1 \cdot x + x \cdot x}}\right)} \]

      4. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \frac{1}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} + \left(\sqrt[3]{x \cdot x} + \sqrt[3]{\color{blue}{x} + x \cdot x}\right)} \]

   9. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} + \left(\sqrt[3]{x \cdot x} + \sqrt[3]{x + x \cdot x}\right)}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 0.0015:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{{\left(e^{0.6666666666666666}\right)}^{\left(\mathsf{log1p}\left(x\right)\right)} + \left(\sqrt[3]{x \cdot x} + \sqrt[3]{x + x \cdot x}\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 99.4% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\\ t_1 := \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot t_1}{x} + \frac{t_1}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))
        (t_1 (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0)))))
   (if (<= t_0 0.0001)
     (+
      (/ (* 0.3333333333333333 t_1) x)
      (* (/ t_1 (* x x)) -0.1111111111111111))
     t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
	double t_1 = cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0));
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0001) {
		tmp = ((0.3333333333333333 * t_1) / x) + ((t_1 / (x * x)) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
	double t_1 = Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0));
	double tmp;
	if (t_0 <= 0.0001) {
		tmp = ((0.3333333333333333 * t_1) / x) + ((t_1 / (x * x)) * -0.1111111111111111);
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
	t_1 = cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0)))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 0.0001)
		tmp = Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * t_1) / x) + Float64(Float64(t_1 / Float64(x * x)) * -0.1111111111111111));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 0.0001], N[(N[(N[(0.3333333333333333 * t$95$1), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision] + N[(N[(t$95$1 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 1.00000000000000005e-4

   1. Initial program 6.3%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 4.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 4.2%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 4.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 4.2%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 4.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 4.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 4.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 4.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 4.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 2.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 2.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 2.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 4.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 4.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 4.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 4.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \left(-0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + -0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} \]

      2. associate-+r+ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} + 0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}\right) + -0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}} \]

      3. +-commutative 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x} + 0.027777777777777776 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}}\right)} + -0.1388888888888889 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{{x}^{2}} \]

   6. Simplified 98.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111} \]

   if 1.00000000000000005e-4 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.6%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 0.0001:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x} + \frac{\sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x \cdot x} \cdot -0.1111111111111111\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 7: 98.7% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \mathbf{if}\;t_0 - \sqrt[3]{x} \leq 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + t_0\right) + {\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (if (<= (- t_0 (cbrt x)) 1e-7)
     (/ (* 0.3333333333333333 (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0)))) x)
     (/
      (- (+ x 1.0) x)
      (+ (* (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0)) (pow (+ x 1.0) 0.6666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if ((t_0 - cbrt(x)) <= 1e-7) {
		tmp = (0.3333333333333333 * cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0))) / x;
	} else {
		tmp = ((x + 1.0) - x) / ((cbrt(x) * (cbrt(x) + t_0)) + pow((x + 1.0), 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0));
	double tmp;
	if ((t_0 - Math.cbrt(x)) <= 1e-7) {
		tmp = (0.3333333333333333 * Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0))) / x;
	} else {
		tmp = ((x + 1.0) - x) / ((Math.cbrt(x) * (Math.cbrt(x) + t_0)) + Math.pow((x + 1.0), 0.6666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	tmp = 0.0
	if (Float64(t_0 - cbrt(x)) <= 1e-7)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0)))) / x);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x + 1.0) - x) / Float64(Float64(cbrt(x) * Float64(cbrt(x) + t_0)) + (Float64(x + 1.0) ^ 0.6666666666666666)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[N[(t$95$0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1e-7], N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x + 1.0), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision] / N[(N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 0.6666666666666666], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 9.9999999999999995e-8

   1. Initial program 5.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 2.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 2.8%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 2.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 2.8%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 2.8%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 2.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]

   6. Simplified 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}} \]

   if 9.9999999999999995e-8 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 98.7%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip3-- 98.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

      2. rem-cube-cbrt 99.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. rem-cube-cbrt 99.8%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      4. cbrt-unprod 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      5. pow2 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

      6. distribute-rgt-out 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

      7. +-commutative 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. Applied egg-rr 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. pow1/3 99.9%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\color{blue}{{\left({\left(x + 1\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      2. pow-pow 99.1%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(2 \cdot 0.3333333333333333\right)}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{{\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.6666666666666666}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \frac{\left(x + 1\right) - x}{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x + 1\right) - x}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right) + {\left(x + 1\right)}^{0.6666666666666666}}\\ \end{array} \]

Alternative 8: 99.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{x + -1}} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)) 1e-6)
   (/ (* 0.3333333333333333 (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0)))) x)
   (- (/ (cbrt (fma x x -1.0)) (cbrt (+ x -1.0))) (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x)) <= 1e-6) {
		tmp = (0.3333333333333333 * cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0))) / x;
	} else {
		tmp = (cbrt(fma(x, x, -1.0)) / cbrt((x + -1.0))) - cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x)) <= 1e-6)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0)))) / x);
	else
		tmp = Float64(Float64(cbrt(fma(x, x, -1.0)) / cbrt(Float64(x + -1.0))) - cbrt(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1e-6], N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], N[(N[(N[Power[N[(x * x + -1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] / N[Power[N[(x + -1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 5.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 3.2%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 3.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]

   6. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}} \]

   if 9.99999999999999955e-7 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. flip-+ 99.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{x \cdot x - 1 \cdot 1}{x - 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. cbrt-div 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{x \cdot x - 1 \cdot 1}}{\sqrt[3]{x - 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      3. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{x \cdot x - \color{blue}{1}}}{\sqrt[3]{x - 1}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. fma-neg 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}}{\sqrt[3]{x - 1}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, \color{blue}{-1}\right)}}{\sqrt[3]{x - 1}} - \sqrt[3]{x} \]

      6. sub-neg 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{\color{blue}{x + \left(-1\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]

      7. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{x + \color{blue}{-1}}} - \sqrt[3]{x} \]

   3. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{x + -1}}} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt[3]{\mathsf{fma}\left(x, x, -1\right)}}{\sqrt[3]{x + -1}} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 9: 99.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1}\\ \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + t_0, {t_0}^{2}\right)} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (cbrt (+ x 1.0))))
   (/ 1.0 (fma (cbrt x) (+ (cbrt x) t_0) (pow t_0 2.0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0));
	return 1.0 / fma(cbrt(x), (cbrt(x) + t_0), pow(t_0, 2.0));
}

Julia

function code(x)
	t_0 = cbrt(Float64(x + 1.0))
	return Float64(1.0 / fma(cbrt(x), Float64(cbrt(x) + t_0), (t_0 ^ 2.0)))
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]}, N[(1.0 / N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] * N[(N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision] + N[Power[t$95$0, 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 52.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. flip3-- 52.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{{\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. div-inv 52.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{3} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   3. rem-cube-cbrt 52.6%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x + 1\right)} - {\left(\sqrt[3]{x}\right)}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. rem-cube-cbrt 53.8%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - \color{blue}{x}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x + 1} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. cbrt-unprod 53.8%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{\left(x + 1\right) \cdot \left(x + 1\right)}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. pow2 53.8%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{2}}} + \left(\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1} \cdot \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. distribute-rgt-out 53.8%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}\right)}} \]

   8. +-commutative 53.8%

      \[\leadsto \left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \color{blue}{\left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

3. Applied egg-rr 53.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot \frac{1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 53.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\left(x + 1\right) - x\right) \cdot 1}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)}} \]

   2. *-rgt-identity 53.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + 1\right) - x}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   3. +-commutative 53.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + x\right)} - x}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   4. associate--l+ 77.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1 + \left(x - x\right)}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   5. +-inverses 77.3%

      \[\leadsto \frac{1 + \color{blue}{0}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   6. metadata-eval 77.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{1}}{\sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}} + \sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right)} \]

   7. +-commutative 77.3%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\sqrt[3]{x} \cdot \left(\sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}\right) + \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}}} \]

   8. fma-def 77.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x + 1} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)}} \]

   9. +-commutative 77.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(x + 1\right)}^{2}}\right)} \]

   10. +-commutative 77.2%

       \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\color{blue}{\left(1 + x\right)}}^{2}}\right)} \]

5. Simplified 77.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{{\left(1 + x\right)}^{2}}\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 77.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{\color{blue}{\left(1 + x\right) \cdot \left(1 + x\right)}}\right)} \]

   2. cbrt-prod 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]

7. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{\sqrt[3]{1 + x} \cdot \sqrt[3]{1 + x}}\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.2%

      \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

9. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{1 + x} + \sqrt[3]{x}, \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{1 + x}\right)}^{2}}\right)} \]

10. Final simplification 99.2%

    \[\leadsto \frac{1}{\mathsf{fma}\left(\sqrt[3]{x}, \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x + 1}, {\left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}^{2}\right)} \]

Alternative 10: 99.1% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\left(1 - x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{1 - x}} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)) 1e-6)
   (/ (* 0.3333333333333333 (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0)))) x)
   (- (cbrt (* (- 1.0 (* x x)) (/ 1.0 (- 1.0 x)))) (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x)) <= 1e-6) {
		tmp = (0.3333333333333333 * cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0))) / x;
	} else {
		tmp = cbrt(((1.0 - (x * x)) * (1.0 / (1.0 - x)))) - cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x)) <= 1e-6) {
		tmp = (0.3333333333333333 * Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0))) / x;
	} else {
		tmp = Math.cbrt(((1.0 - (x * x)) * (1.0 / (1.0 - x)))) - Math.cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x)) <= 1e-6)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0)))) / x);
	else
		tmp = Float64(cbrt(Float64(Float64(1.0 - Float64(x * x)) * Float64(1.0 / Float64(1.0 - x)))) - cbrt(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1e-6], N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], N[(N[Power[N[(N[(1.0 - N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(1.0 - x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 5.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 3.2%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 3.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]

   6. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}} \]

   if 9.99999999999999955e-7 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-exp-log 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{\log \left(\sqrt[3]{x + 1}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. pow1/3 98.5%

         \[\leadsto e^{\log \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      3. log-pow 98.5%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \log \left(x + 1\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. +-commutative 98.5%

         \[\leadsto e^{0.3333333333333333 \cdot \log \color{blue}{\left(1 + x\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. log1p-udef 98.5%

         \[\leadsto e^{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right)}} - \sqrt[3]{x} \]

   3. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{0.3333333333333333 \cdot \mathsf{log1p}\left(x\right)}} - \sqrt[3]{x} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 98.5%

         \[\leadsto e^{\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(x\right) \cdot 0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. exp-prod 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(x\right)}\right)}^{0.3333333333333333}} - \sqrt[3]{x} \]

      3. unpow1/3 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{e^{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]

   5. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{e^{\mathsf{log1p}\left(x\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. log1p-udef 98.5%

         \[\leadsto \sqrt[3]{e^{\color{blue}{\log \left(1 + x\right)}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-exp-log 99.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{1 + x}} - \sqrt[3]{x} \]

      3. flip-+ 99.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1 - x \cdot x}{1 - x}}} - \sqrt[3]{x} \]

      4. div-inv 99.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\left(1 \cdot 1 - x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{1 - x}}} - \sqrt[3]{x} \]

      5. metadata-eval 99.1%

         \[\leadsto \sqrt[3]{\left(\color{blue}{1} - x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{1 - x}} - \sqrt[3]{x} \]

   7. Applied egg-rr 99.1%

      \[\leadsto \sqrt[3]{\color{blue}{\left(1 - x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{1 - x}}} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{\left(1 - x \cdot x\right) \cdot \frac{1}{1 - x}} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 11: 99.1% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 1e-6)
     (/ (* 0.3333333333333333 (cbrt (- (pow (/ -1.0 x) -1.0)))) x)
     t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 1e-6) {
		tmp = (0.3333333333333333 * cbrt(-pow((-1.0 / x), -1.0))) / x;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 1e-6) {
		tmp = (0.3333333333333333 * Math.cbrt(-Math.pow((-1.0 / x), -1.0))) / x;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1e-6)
		tmp = Float64(Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(-(Float64(-1.0 / x) ^ -1.0)))) / x);
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1e-6], N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[(-N[Power[N[(-1.0 / x), $MachinePrecision], -1.0], $MachinePrecision]), 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 5.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 3.2%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 3.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around -inf 0.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \frac{{\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot {\left(e^{0.16666666666666666 \cdot \left(-1 \cdot \log \left(\frac{-1}{x}\right) + \log -1\right)}\right)}^{2}}{x}} \]

   6. Simplified 98.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-1 \cdot {\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}} \]

   if 9.99999999999999955e-7 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\frac{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{-{\left(\frac{-1}{x}\right)}^{-1}}}{x}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 12: 74.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x))))
   (if (<= t_0 1e-6) (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x)))) t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = cbrt((x + 1.0)) - cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 1e-6) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.cbrt((x + 1.0)) - Math.cbrt(x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 1e-6) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(cbrt(Float64(x + 1.0)) - cbrt(x))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1e-6)
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / Float64(x * x))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Power[N[(x + 1.0), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1e-6], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x)) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 5.4%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 3.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 3.2%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 3.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 3.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 3.2%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 1.9%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 3.2%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 3.3%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 3.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 50.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 53.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 53.4%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 53.4%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]

   if 9.99999999999999955e-7 < (-.f64 (cbrt.f64 (+.f64 x 1)) (cbrt.f64 x))

   1. Initial program 99.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 76.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \leq 10^{-6}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 13: 73.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 0.47\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1.0) (not (<= x 0.47)))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x))))
   (- 1.0 (cbrt x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.47)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = 1.0 - cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.47)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = 1.0 - Math.cbrt(x);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1.0) || !(x <= 0.47))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(1.0 - cbrt(x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1.0], N[Not[LessEqual[x, 0.47]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1 or 0.46999999999999997 < x

   1. Initial program 8.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 5.4%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 5.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 5.4%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 5.4%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 5.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 5.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 5.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 49.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 53.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 53.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 53.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]

   if -1 < x < 0.46999999999999997

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-cube-cbrt 100.0%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}} \]

      2. pow3 100.0%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}\right)}^{3}} \]

   3. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}\right)}^{3}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 40.6%

      \[\leadsto \color{blue}{1 - {\left({1}^{4}\right)}^{0.1111111111111111} \cdot {x}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval 40.6%

         \[\leadsto 1 - {\color{blue}{1}}^{0.1111111111111111} \cdot {x}^{0.3333333333333333} \]

      2. pow-base-1 40.6%

         \[\leadsto 1 - \color{blue}{1} \cdot {x}^{0.3333333333333333} \]

      3. unpow1/3 97.9%

         \[\leadsto 1 - 1 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

      4. *-lft-identity 97.9%

         \[\leadsto 1 - \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

   6. Simplified 97.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 74.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \lor \neg \left(x \leq 0.47\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 - \sqrt[3]{x}\\ \end{array} \]

Alternative 14: 73.9% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.05 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot 0.3333333333333333 - \sqrt[3]{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1.05) (not (<= x 1.0)))
   (* 0.3333333333333333 (cbrt (/ 1.0 (* x x))))
   (+ 1.0 (- (* x 0.3333333333333333) (cbrt x)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.05) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((x * 0.3333333333333333) - cbrt(x));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1.05) || !(x <= 1.0)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * Math.cbrt((1.0 / (x * x)));
	} else {
		tmp = 1.0 + ((x * 0.3333333333333333) - Math.cbrt(x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1.05) || !(x <= 1.0))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * cbrt(Float64(1.0 / Float64(x * x))));
	else
		tmp = Float64(1.0 + Float64(Float64(x * 0.3333333333333333) - cbrt(x)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1.05], N[Not[LessEqual[x, 1.0]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[Power[N[(1.0 / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(1.0 + N[(N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.05000000000000004 or 1 < x

   1. Initial program 8.1%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 5.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}}} - \sqrt[3]{x} \]

      2. add-sqr-sqrt 5.4%

         \[\leadsto \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \color{blue}{\sqrt{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt{\sqrt[3]{x}}} \]

      3. difference-of-squares 5.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right)} \]

      4. pow1/3 5.4%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      5. sqrt-pow1 5.4%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. metadata-eval 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} + \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      7. pow1/3 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      8. sqrt-pow1 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      9. metadata-eval 5.4%

         \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \cdot \left(\sqrt{\sqrt[3]{x + 1}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      10. pow1/3 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{0.3333333333333333}}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      11. sqrt-pow1 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left(\color{blue}{{\left(x + 1\right)}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      12. metadata-eval 4.1%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{\color{blue}{0.16666666666666666}} - \sqrt{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      13. pow1/3 5.4%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \sqrt{\color{blue}{{x}^{0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. sqrt-pow1 5.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - \color{blue}{{x}^{\left(\frac{0.3333333333333333}{2}\right)}}\right) \]

      15. metadata-eval 5.5%

          \[\leadsto \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{\color{blue}{0.16666666666666666}}\right) \]

   3. Applied egg-rr 5.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} + {x}^{0.16666666666666666}\right) \cdot \left({\left(x + 1\right)}^{0.16666666666666666} - {x}^{0.16666666666666666}\right)} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 49.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {\left(\frac{1}{{x}^{2}}\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. unpow1/3 53.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{{x}^{2}}}} \]

      2. unpow2 53.0%

         \[\leadsto 0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{\color{blue}{x \cdot x}}} \]

   6. Simplified 53.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}} \]

   if -1.05000000000000004 < x < 1

   1. Initial program 100.0%

      \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. add-cube-cbrt 100.0%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}} \]

      2. pow3 100.0%

         \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}\right)}^{3}} \]

   3. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}\right)}^{3}} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 40.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot x\right) - {\left({1}^{4}\right)}^{0.1111111111111111} \cdot {x}^{0.3333333333333333}} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 40.8%

         \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(0.3333333333333333 \cdot x - {\left({1}^{4}\right)}^{0.1111111111111111} \cdot {x}^{0.3333333333333333}\right)} \]

      2. *-commutative 40.8%

         \[\leadsto 1 + \left(\color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333} - {\left({1}^{4}\right)}^{0.1111111111111111} \cdot {x}^{0.3333333333333333}\right) \]

      3. metadata-eval 40.8%

         \[\leadsto 1 + \left(x \cdot 0.3333333333333333 - {\color{blue}{1}}^{0.1111111111111111} \cdot {x}^{0.3333333333333333}\right) \]

      4. pow-base-1 40.8%

         \[\leadsto 1 + \left(x \cdot 0.3333333333333333 - \color{blue}{1} \cdot {x}^{0.3333333333333333}\right) \]

      5. unpow1/3 99.0%

         \[\leadsto 1 + \left(x \cdot 0.3333333333333333 - 1 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

      6. *-lft-identity 99.0%

         \[\leadsto 1 + \left(x \cdot 0.3333333333333333 - \color{blue}{\sqrt[3]{x}}\right) \]

   6. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{1 + \left(x \cdot 0.3333333333333333 - \sqrt[3]{x}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.05 \lor \neg \left(x \leq 1\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \sqrt[3]{\frac{1}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;1 + \left(x \cdot 0.3333333333333333 - \sqrt[3]{x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 15: 50.9% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - \sqrt[3]{x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (cbrt x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - cbrt(x);
}

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.cbrt(x);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - cbrt(x))
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Power[x, 1/3], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]
2. Step-by-step derivation

   1. add-cube-cbrt 52.5%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}} \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}\right) \cdot \sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}} \]

   2. pow3 52.4%

      \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}\right)}^{3}} \]

3. Applied egg-rr 52.4%

   \[\leadsto \sqrt[3]{x + 1} - \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{x}}\right)}^{3}} \]

4. Taylor expanded in x around 0 20.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - {\left({1}^{4}\right)}^{0.1111111111111111} \cdot {x}^{0.3333333333333333}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 20.2%

      \[\leadsto 1 - {\color{blue}{1}}^{0.1111111111111111} \cdot {x}^{0.3333333333333333} \]

   2. pow-base-1 20.2%

      \[\leadsto 1 - \color{blue}{1} \cdot {x}^{0.3333333333333333} \]

   3. unpow1/3 49.2%

      \[\leadsto 1 - 1 \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

   4. *-lft-identity 49.2%

      \[\leadsto 1 - \color{blue}{\sqrt[3]{x}} \]

6. Simplified 49.2%

   \[\leadsto \color{blue}{1 - \sqrt[3]{x}} \]

7. Final simplification 49.2%

   \[\leadsto 1 - \sqrt[3]{x} \]

Alternative 16: 3.7% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 52.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

2. Taylor expanded in x around inf 3.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

3. Final simplification 3.6%

   \[\leadsto 0 \]

Alternative 17: 50.2% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 1.0)

C

double code(double x) {
	return 1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0;
}

Python

def code(x):
	return 1.0

Julia

function code(x)
	return 1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0;
end

Wolfram

code[x_] := 1.0

Derivation

1. Initial program 52.6%

   \[\sqrt[3]{x + 1} - \sqrt[3]{x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 48.9%

   \[\leadsto \color{blue}{1} \]

3. Final simplification 48.9%

   \[\leadsto 1 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023208 
(FPCore (x)
  :name "2cbrt (problem 3.3.4)"
  :precision binary64
  (- (cbrt (+ x 1.0)) (cbrt x)))