ENA, Section 1.4, Mentioned, A

Percentage Accurate: 53.1% → 99.9%

Time: 4.8s

Alternatives: 3

Speedup: 20.6×

Specification

\[-0.01 \leq x \land x \leq 0.01\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - \cos x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (cos x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - cos(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - cos(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.cos(x);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.cos(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - cos(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - cos(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 1 - \cos x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- 1.0 (cos x)))

C

double code(double x) {
	return 1.0 - cos(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 1.0d0 - cos(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 1.0 - Math.cos(x);
}

Python

def code(x):
	return 1.0 - math.cos(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(1.0 - cos(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 1.0 - cos(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(1.0 - N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.041666666666666664, x \cdot x, 0.5\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* (* x x) (fma -0.041666666666666664 (* x x) 0.5)))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * fma(-0.041666666666666664, (x * x), 0.5);
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * fma(-0.041666666666666664, Float64(x * x), 0.5))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(-0.041666666666666664 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.7%

   \[1 - \cos x \]

2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, {x}^{2}, -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   2. unpow2 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, \color{blue}{x \cdot x}, -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, x \cdot x, -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}} \]

   2. associate-*r* 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot x\right) \cdot x} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   3. metadata-eval 100.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot x\right) \cdot x + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   4. associate-/r/ 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{x}}} \cdot x + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   5. clear-num 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{2}} \cdot x + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   6. div-inv 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot x + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   7. metadata-eval 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{0.5}\right) \cdot x + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot x + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}} \]

7. Taylor expanded in x around 0 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 100.0%

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   2. *-commutative 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   3. *-commutative 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.041666666666666664} \]

   4. metadata-eval 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot -0.041666666666666664 \]

   5. pow-sqr 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot -0.041666666666666664 \]

   6. unpow2 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.041666666666666664 \]

   7. unpow2 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \cdot -0.041666666666666664 \]

   8. associate-*r* 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.041666666666666664\right)} \]

   9. distribute-lft-out 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.041666666666666664\right)} \]

   10. +-commutative 100.0%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.041666666666666664 + 0.5\right)} \]

   11. *-commutative 100.0%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.041666666666666664 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 0.5\right) \]

   12. fma-def 100.0%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.041666666666666664, x \cdot x, 0.5\right)} \]

9. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.041666666666666664, x \cdot x, 0.5\right)} \]

10. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.041666666666666664, x \cdot x, 0.5\right) \]

Alternative 2: 99.9% accurate, 6.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.041666666666666664\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* (* x x) (* (* x x) -0.041666666666666664)) (* (* x x) 0.5)))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) * ((x * x) * -0.041666666666666664)) + ((x * x) * 0.5);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * x) * ((x * x) * (-0.041666666666666664d0))) + ((x * x) * 0.5d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) * ((x * x) * -0.041666666666666664)) + ((x * x) * 0.5);
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) * ((x * x) * -0.041666666666666664)) + ((x * x) * 0.5)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * x) * -0.041666666666666664)) + Float64(Float64(x * x) * 0.5))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) * ((x * x) * -0.041666666666666664)) + ((x * x) * 0.5);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.041666666666666664), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.7%

   \[1 - \cos x \]

2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, {x}^{2}, -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   2. unpow2 100.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.5, \color{blue}{x \cdot x}, -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.5, x \cdot x, -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}} \]

   2. associate-*r* 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot x\right) \cdot x} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   3. metadata-eval 100.0%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\frac{1}{2}} \cdot x\right) \cdot x + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   4. associate-/r/ 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{x}}} \cdot x + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   5. clear-num 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{2}} \cdot x + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   6. div-inv 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot x + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   7. metadata-eval 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{0.5}\right) \cdot x + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

6. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.5\right) \cdot x + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}} \]

7. Taylor expanded in x around 0 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4}} \]
8. Step-by-step derivation

   1. unpow2 100.0%

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   2. *-commutative 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5} + -0.041666666666666664 \cdot {x}^{4} \]

   3. *-commutative 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{{x}^{4} \cdot -0.041666666666666664} \]

   4. metadata-eval 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + {x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot -0.041666666666666664 \]

   5. pow-sqr 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot -0.041666666666666664 \]

   6. unpow2 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {x}^{2}\right) \cdot -0.041666666666666664 \]

   7. unpow2 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \cdot -0.041666666666666664 \]

   8. associate-*r* 100.0%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.041666666666666664\right)} \]

   9. distribute-lft-out 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.041666666666666664\right)} \]

   10. +-commutative 100.0%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.041666666666666664 + 0.5\right)} \]

   11. *-commutative 100.0%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{-0.041666666666666664 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 0.5\right) \]

   12. fma-def 100.0%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.041666666666666664, x \cdot x, 0.5\right)} \]

9. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(-0.041666666666666664, x \cdot x, 0.5\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. fma-udef 100.0%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(-0.041666666666666664 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.5\right)} \]

    2. distribute-rgt-in 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.041666666666666664 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

    3. *-commutative 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.041666666666666664\right)} \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

11. Applied egg-rr 100.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.041666666666666664\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

12. Final simplification 100.0%

    \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot -0.041666666666666664\right) + \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 \]

Alternative 3: 99.5% accurate, 20.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (* x x) 0.5))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * 0.5;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * 0.5d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * 0.5;
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * 0.5

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * 0.5;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 52.7%

   \[1 - \cos x \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.6%

      \[\leadsto 0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 \]

Developer target: 100.0% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\sin x \cdot \sin x}{1 + \cos x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* (sin x) (sin x)) (+ 1.0 (cos x))))

C

double code(double x) {
	return (sin(x) * sin(x)) / (1.0 + cos(x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (sin(x) * sin(x)) / (1.0d0 + cos(x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.sin(x) * Math.sin(x)) / (1.0 + Math.cos(x));
}

Python

def code(x):
	return (math.sin(x) * math.sin(x)) / (1.0 + math.cos(x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(sin(x) * sin(x)) / Float64(1.0 + cos(x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (sin(x) * sin(x)) / (1.0 + cos(x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(1.0 + N[Cos[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023207 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Mentioned, A"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -0.01 x) (<= x 0.01))

  :herbie-target
  (/ (* (sin x) (sin x)) (+ 1.0 (cos x)))

  (- 1.0 (cos x)))