UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 25.7s

Alternatives: 10

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ t_1 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_1 \cdot t_0\right) \cdot xi + \left(t_0 \cdot \sin t_1\right) \cdot yi\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0
         (sqrt
          (+
           1.0
           (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))))
        (t_1 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+
    (+ (* (* (cos t_1) t_0) xi) (* (* t_0 (sin t_1)) yi))
    (* (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	float t_1 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_1) * t_0) * xi) + ((t_0 * sinf(t_1)) * yi)) + (((1.0f - ux) * (ux * maxCos)) * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	t_1 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_1) * t_0) * xi) + Float32(Float32(t_0 * sin(t_1)) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos)) * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))));
	t_1 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_1) * t_0) * xi) + ((t_0 * sin(t_1)) * yi)) + (((single(1.0) - ux) * (ux * maxCos)) * zi);
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in maxCos around 0 99.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}\right) \cdot zi \]

4. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

5. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

Alternative 2: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos t_0 + yi \cdot \sin t_0\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (fma
    ux
    (* (- 1.0 ux) (* maxCos zi))
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (* maxCos (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0))))))))
     (+ (* xi (cos t_0)) (* yi (sin t_0)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return fmaf(ux, ((1.0f - ux) * (maxCos * zi)), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * (maxCos * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f)))))))) * ((xi * cosf(t_0)) + (yi * sinf(t_0)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return fma(ux, Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * zi)), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) * Float32(Float32(xi * cos(t_0)) + Float32(yi * sin(t_0)))))
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 3: 98.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ t_1 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_1 \cdot \sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + \sin t_1 \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))) (t_1 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+
    (+
     (* (* (cos t_1) (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))) xi)
     (* (sin t_1) yi))
    (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	float t_1 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_1) * sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))))) * xi) + (sinf(t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	t_1 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_1) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))) * xi) + Float32(sin(t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	t_1 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_1) * sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))))) * xi) + (sin(t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right) + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

Alternative 4: 98.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\left(\cos t_0 \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + \sin t_0 \cdot yi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+
    (* (* (- 1.0 ux) (* ux maxCos)) zi)
    (+
     (*
      (*
       (cos t_0)
       (sqrt
        (+
         1.0
         (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0)))))))
      xi)
     (* (sin t_0) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((1.0f - ux) * (ux * maxCos)) * zi) + (((cosf(t_0) * sqrtf((1.0f + ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))))) * xi) + (sinf(t_0) * yi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))) * xi) + Float32(sin(t_0) * yi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((single(1.0) - ux) * (ux * maxCos)) * zi) + (((cos(t_0) * sqrt((single(1.0) + ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0)))))))) * xi) + (sin(t_0) * yi));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in maxCos around 0 99.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right)}\right) \cdot zi \]

4. Simplified 99.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right) \cdot xi + \sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi\right) \]

Alternative 5: 98.7% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\sin t_0 \cdot yi + xi \cdot \left(\cos t_0 \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+
    (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)
    (+
     (* (sin t_0) yi)
     (* xi (* (cos t_0) (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux))))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + ((sinf(t_0) * yi) + (xi * (cosf(t_0) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(sin(t_0) * yi) + Float32(xi * Float32(cos(t_0) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + ((sin(t_0) * yi) + (xi * (cos(t_0) * sqrt((single(1.0) - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 98.7%

   \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot yi + xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right)\right) \]

Alternative 6: 89.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) - maxCos \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    xi
    (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux))))))
   (* uy (* PI (* 2.0 yi))))
  (- (* maxCos (* ux zi)) (* maxCos (* zi (* ux ux))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((xi * (cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (uy * (((float) M_PI) * (2.0f * yi)))) + ((maxCos * (ux * zi)) - (maxCos * (zi * (ux * ux))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux)))))) + Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * yi)))) + Float32(Float32(maxCos * Float32(ux * zi)) - Float32(maxCos * Float32(zi * Float32(ux * ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((xi * (cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (uy * (single(pi) * (single(2.0) * yi)))) + ((maxCos * (ux * zi)) - (maxCos * (zi * (ux * ux))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0 92.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot 2}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) \cdot 2\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(\pi \cdot yi\right) \cdot 2\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*l* 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

10. Simplified 92.2%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0 92.2%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot zi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. +-commutative 92.2%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + -1 \cdot \left(maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot zi\right)\right)\right)} \]

    2. mul-1-neg 92.2%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot zi\right)\right)}\right) \]

    3. unsub-neg 92.2%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) - maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot zi\right)\right)} \]

    4. *-commutative 92.2%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)} - maxCos \cdot \left({ux}^{2} \cdot zi\right)\right) \]

    5. *-commutative 92.2%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(zi \cdot ux\right) - maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot {ux}^{2}\right)}\right) \]

    6. unpow2 92.2%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(zi \cdot ux\right) - maxCos \cdot \left(zi \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right)\right) \]

13. Simplified 92.2%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(zi \cdot ux\right) - maxCos \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right)} \]

14. Final simplification 92.2%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) - maxCos \cdot \left(zi \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)\right) \]

Alternative 7: 89.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)
  (+
   (*
    xi
    (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux))))))
   (* 2.0 (* PI (* uy yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi * (cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (2.0f * (((float) M_PI) * (uy * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux)))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(Float32(pi) * Float32(uy * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi * (cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (single(2.0) * (single(pi) * (uy * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
8. Step-by-step derivation

   1. add-exp-log 48.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{e^{\log \left(yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 48.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + e^{\log \left(yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Applied egg-rr 48.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{e^{\log \left(yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

10. Taylor expanded in uy around 0 92.2%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 92.2%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(yi \cdot \pi\right) \cdot uy\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

    2. *-commutative 92.2%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)} \cdot uy\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

    3. associate-*l* 92.1%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(yi \cdot uy\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

12. Simplified 92.1%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot uy\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

13. Final simplification 92.1%

    \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 8: 89.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)) zi)
  (+
   (*
    xi
    (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux))))))
   (* uy (* PI (* 2.0 yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((ux * ((1.0f - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi * (cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (uy * (((float) M_PI) * (2.0f * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux)))))) + Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * yi)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos)) * zi) + ((xi * (cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (uy * (single(pi) * (single(2.0) * yi))));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0 92.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot 2}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) \cdot 2\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(\pi \cdot yi\right) \cdot 2\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*l* 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

10. Simplified 92.2%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

11. Final simplification 92.2%

    \[\leadsto \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot zi + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 9: 89.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    xi
    (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux))))))
   (* uy (* PI (* 2.0 yi))))
  (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* ux zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((xi * (cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (uy * (((float) M_PI) * (2.0f * yi)))) + ((1.0f - ux) * (maxCos * (ux * zi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux)))))) + Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * yi)))) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(ux * zi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((xi * (cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (uy * (single(pi) * (single(2.0) * yi)))) + ((single(1.0) - ux) * (maxCos * (ux * zi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0 92.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot 2}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) \cdot 2\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(\pi \cdot yi\right) \cdot 2\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*l* 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

10. Simplified 92.2%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in maxCos around 0 92.2%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)\right) + \color{blue}{\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right)} \]

12. Final simplification 92.2%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]

Alternative 10: 87.0% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    xi
    (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* maxCos maxCos) (* ux ux))))))
   (* uy (* PI (* 2.0 yi))))
  (* maxCos (* ux zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((xi * (cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (uy * (((float) M_PI) * (2.0f * yi)))) + (maxCos * (ux * zi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(maxCos * maxCos) * Float32(ux * ux)))))) + Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(Float32(2.0) * yi)))) + Float32(maxCos * Float32(ux * zi)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((xi * (cos(((uy * single(2.0)) * single(pi))) * sqrt((single(1.0) - ((maxCos * maxCos) * (ux * ux)))))) + (uy * (single(pi) * (single(2.0) * yi)))) + (maxCos * (ux * zi));
end

Derivation

1. Initial program 99.1%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Simplified 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 98.7%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Taylor expanded in uy around 0 92.2%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
9. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) \cdot 2}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right) \cdot 2\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\left(\pi \cdot yi\right) \cdot 2\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*l* 92.2%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

10. Simplified 92.2%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

11. Taylor expanded in ux around 0 89.5%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]
12. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 89.5%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)\right) + maxCos \cdot \color{blue}{\left(zi \cdot ux\right)} \]

13. Simplified 89.5%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(yi \cdot 2\right)\right)\right) + \color{blue}{maxCos \cdot \left(zi \cdot ux\right)} \]

14. Final simplification 89.5%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) + uy \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot yi\right)\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023207 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))