Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 54.1% → 99.9%

Time: 5.1s

Alternatives: 9

Speedup: 18.7×

• 49.6% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -5 \lor \neg \left(t_0 \leq 0.0005\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (or (<= t_0 -5.0) (not (<= t_0 0.0005)))
     (/ t_0 2.0)
     (/ (+ (* (* x 0.3333333333333333) (* x x)) (* x 2.0)) 2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -5.0) || !(t_0 <= 0.0005)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = (((x * 0.3333333333333333) * (x * x)) + (x * 2.0)) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(x) - exp(-x)
    if ((t_0 <= (-5.0d0)) .or. (.not. (t_0 <= 0.0005d0))) then
        tmp = t_0 / 2.0d0
    else
        tmp = (((x * 0.3333333333333333d0) * (x * x)) + (x * 2.0d0)) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -5.0) || !(t_0 <= 0.0005)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = (((x * 0.3333333333333333) * (x * x)) + (x * 2.0)) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -5.0) or not (t_0 <= 0.0005):
		tmp = t_0 / 2.0
	else:
		tmp = (((x * 0.3333333333333333) * (x * x)) + (x * 2.0)) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= -5.0) || !(t_0 <= 0.0005))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(x * 0.3333333333333333) * Float64(x * x)) + Float64(x * 2.0)) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -5.0) || ~((t_0 <= 0.0005)))
		tmp = t_0 / 2.0;
	else
		tmp = (((x * 0.3333333333333333) * (x * x)) + (x * 2.0)) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, -5.0], N[Not[LessEqual[t$95$0, 0.0005]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -5 or 5.0000000000000001e-4 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -5 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 5.0000000000000001e-4

   1. Initial program 7.1%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

      2. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

      3. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + x \cdot 2}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -5 \lor \neg \left(e^{x} - e^{-x} \leq 0.0005\right):\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 90.0% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{x}{6}\\ t_1 := \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+156}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2 \cdot 10^{-88}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - {x}^{4} \cdot 0.1111111111111111}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333}}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 8.2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{t_1 \cdot t_1 - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{t_1 - x \cdot 2}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x x) (/ x 6.0))) (t_1 (* (* x 0.3333333333333333) (* x x))))
   (if (<= x -5e+156)
     t_0
     (if (<= x 2e-88)
       (/
        (*
         x
         (/
          (- 4.0 (* (pow x 4.0) 0.1111111111111111))
          (+ 2.0 (* (* x x) -0.3333333333333333))))
        2.0)
       (if (<= x 8.2e+102)
         (/ (/ (- (* t_1 t_1) (* (* x 2.0) (* x 2.0))) (- t_1 (* x 2.0))) 2.0)
         t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x / 6.0);
	double t_1 = (x * 0.3333333333333333) * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= -5e+156) {
		tmp = t_0;
	} else if (x <= 2e-88) {
		tmp = (x * ((4.0 - (pow(x, 4.0) * 0.1111111111111111)) / (2.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333)))) / 2.0;
	} else if (x <= 8.2e+102) {
		tmp = (((t_1 * t_1) - ((x * 2.0) * (x * 2.0))) / (t_1 - (x * 2.0))) / 2.0;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x * x) * (x / 6.0d0)
    t_1 = (x * 0.3333333333333333d0) * (x * x)
    if (x <= (-5d+156)) then
        tmp = t_0
    else if (x <= 2d-88) then
        tmp = (x * ((4.0d0 - ((x ** 4.0d0) * 0.1111111111111111d0)) / (2.0d0 + ((x * x) * (-0.3333333333333333d0))))) / 2.0d0
    else if (x <= 8.2d+102) then
        tmp = (((t_1 * t_1) - ((x * 2.0d0) * (x * 2.0d0))) / (t_1 - (x * 2.0d0))) / 2.0d0
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * x) * (x / 6.0);
	double t_1 = (x * 0.3333333333333333) * (x * x);
	double tmp;
	if (x <= -5e+156) {
		tmp = t_0;
	} else if (x <= 2e-88) {
		tmp = (x * ((4.0 - (Math.pow(x, 4.0) * 0.1111111111111111)) / (2.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333)))) / 2.0;
	} else if (x <= 8.2e+102) {
		tmp = (((t_1 * t_1) - ((x * 2.0) * (x * 2.0))) / (t_1 - (x * 2.0))) / 2.0;
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * x) * (x / 6.0)
	t_1 = (x * 0.3333333333333333) * (x * x)
	tmp = 0
	if x <= -5e+156:
		tmp = t_0
	elif x <= 2e-88:
		tmp = (x * ((4.0 - (math.pow(x, 4.0) * 0.1111111111111111)) / (2.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333)))) / 2.0
	elif x <= 8.2e+102:
		tmp = (((t_1 * t_1) - ((x * 2.0) * (x * 2.0))) / (t_1 - (x * 2.0))) / 2.0
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x / 6.0))
	t_1 = Float64(Float64(x * 0.3333333333333333) * Float64(x * x))
	tmp = 0.0
	if (x <= -5e+156)
		tmp = t_0;
	elseif (x <= 2e-88)
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(Float64(4.0 - Float64((x ^ 4.0) * 0.1111111111111111)) / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * -0.3333333333333333)))) / 2.0);
	elseif (x <= 8.2e+102)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(t_1 * t_1) - Float64(Float64(x * 2.0) * Float64(x * 2.0))) / Float64(t_1 - Float64(x * 2.0))) / 2.0);
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * x) * (x / 6.0);
	t_1 = (x * 0.3333333333333333) * (x * x);
	tmp = 0.0;
	if (x <= -5e+156)
		tmp = t_0;
	elseif (x <= 2e-88)
		tmp = (x * ((4.0 - ((x ^ 4.0) * 0.1111111111111111)) / (2.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333)))) / 2.0;
	elseif (x <= 8.2e+102)
		tmp = (((t_1 * t_1) - ((x * 2.0) * (x * 2.0))) / (t_1 - (x * 2.0))) / 2.0;
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x / 6.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -5e+156], t$95$0, If[LessEqual[x, 2e-88], N[(N[(x * N[(N[(4.0 - N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 8.2e+102], N[(N[(N[(N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision] - N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] * N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 - N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], t$95$0]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -4.99999999999999992e156 or 8.1999999999999999e102 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}} \]

   6. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.16666666666666666} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}} \]

      2. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{3}}{6}} \]

      3. cube-mult 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}{6} \]

      4. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   if -4.99999999999999992e156 < x < 1.99999999999999987e-88

   1. Initial program 26.9%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 87.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 87.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x}}{2} \]

      2. unpow3 87.3%

         \[\leadsto \frac{0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      3. associate-*r* 87.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x} + 2 \cdot x}{2} \]

      4. fma-def 87.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, 2 \cdot x\right)}}{2} \]

      5. add-log-exp 26.6%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \color{blue}{\log \left(e^{2 \cdot x}\right)}\right)}{2} \]

      6. *-commutative 26.6%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \log \left(e^{\color{blue}{x \cdot 2}}\right)\right)}{2} \]

      7. exp-lft-sqr 26.6%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \log \color{blue}{\left(e^{x} \cdot e^{x}\right)}\right)}{2} \]

      8. log-prod 26.6%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \color{blue}{\log \left(e^{x}\right) + \log \left(e^{x}\right)}\right)}{2} \]

      9. add-log-exp 36.5%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, \color{blue}{x} + \log \left(e^{x}\right)\right)}{2} \]

      10. add-log-exp 87.3%

          \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x + \color{blue}{x}\right)}{2} \]

   4. Applied egg-rr 87.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right), x, x + x\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 87.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + x\right)}}{2} \]

      2. *-commutative 87.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot x + \left(x + x\right)}{2} \]

      3. associate-*r* 87.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + \left(x + x\right)}{2} \]

      4. *-commutative 87.3%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + \left(x + x\right)}{2} \]

      5. associate-*l* 87.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} + \left(x + x\right)}{2} \]

      6. count-2 87.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]

      7. *-commutative 87.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

      8. distribute-lft-in 87.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      9. fma-udef 87.3%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

      10. *-commutative 87.3%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right) \cdot x}}{2} \]

      11. *-un-lft-identity 87.3%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)\right)} \cdot x}{2} \]

      12. *-un-lft-identity 87.3%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)} \cdot x}{2} \]

      13. fma-udef 87.3%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

      14. *-commutative 87.3%

          \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x} + 2\right) \cdot x}{2} \]

      15. *-commutative 87.3%

          \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} \cdot x + 2\right) \cdot x}{2} \]

      16. associate-*r* 87.3%

          \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right) \cdot x}{2} \]

      17. fma-def 87.3%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)} \cdot x}{2} \]

   6. Applied egg-rr 87.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right) \cdot x}}{2} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 87.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} \cdot x}{2} \]

      2. associate-*r* 87.3%

         \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x} + 2\right) \cdot x}{2} \]

      3. *-commutative 87.3%

         \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right) \cdot x}{2} \]

      4. flip-+ 91.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - 2}} \cdot x}{2} \]

      5. frac-2neg 91.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-\left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - 2 \cdot 2\right)}{-\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - 2\right)}} \cdot x}{2} \]

      6. sub-neg 91.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{-\color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) + \left(-2 \cdot 2\right)\right)}}{-\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - 2\right)} \cdot x}{2} \]

      7. pow2 91.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{-\left(\color{blue}{{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}^{2}} + \left(-2 \cdot 2\right)\right)}{-\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - 2\right)} \cdot x}{2} \]

      8. *-commutative 91.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{-\left({\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}}^{2} + \left(-2 \cdot 2\right)\right)}{-\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - 2\right)} \cdot x}{2} \]

      9. associate-*r* 91.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{-\left({\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}^{2} + \left(-2 \cdot 2\right)\right)}{-\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - 2\right)} \cdot x}{2} \]

      10. metadata-eval 91.0%

          \[\leadsto \frac{\frac{-\left({\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2} + \left(-\color{blue}{4}\right)\right)}{-\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - 2\right)} \cdot x}{2} \]

      11. metadata-eval 91.0%

          \[\leadsto \frac{\frac{-\left({\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2} + \color{blue}{-4}\right)}{-\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - 2\right)} \cdot x}{2} \]

      12. fma-neg 91.0%

          \[\leadsto \frac{\frac{-\left({\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2} + -4\right)}{-\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, -2\right)}} \cdot x}{2} \]

      13. metadata-eval 91.0%

          \[\leadsto \frac{\frac{-\left({\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2} + -4\right)}{-\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, \color{blue}{-2}\right)} \cdot x}{2} \]

   8. Applied egg-rr 91.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{-\left({\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2} + -4\right)}{-\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, -2\right)}} \cdot x}{2} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 91.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{-\color{blue}{\left(-4 + {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}\right)}}{-\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, -2\right)} \cdot x}{2} \]

      2. distribute-neg-in 91.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(--4\right) + \left(-{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}\right)}}{-\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, -2\right)} \cdot x}{2} \]

      3. metadata-eval 91.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{4} + \left(-{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}\right)}{-\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, -2\right)} \cdot x}{2} \]

      4. sub-neg 91.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}}{-\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333 \cdot x, -2\right)} \cdot x}{2} \]

      5. fma-udef 91.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{-\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) + -2\right)}} \cdot x}{2} \]

      6. distribute-neg-in 91.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{\color{blue}{\left(-x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) + \left(--2\right)}} \cdot x}{2} \]

      7. *-commutative 91.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{\left(-\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x}\right) + \left(--2\right)} \cdot x}{2} \]

      8. associate-*r* 91.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{\left(-\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) + \left(--2\right)} \cdot x}{2} \]

      9. metadata-eval 91.0%

         \[\leadsto \frac{\frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{\left(-0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \color{blue}{2}} \cdot x}{2} \]

      10. +-commutative 91.0%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{\color{blue}{2 + \left(-0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \cdot x}{2} \]

      11. sub-neg 91.0%

          \[\leadsto \frac{\frac{4 - {\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{2}}{\color{blue}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \cdot x}{2} \]

   10. Simplified 91.0%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{4 - {x}^{4} \cdot 0.1111111111111111}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333}} \cdot x}{2} \]

   if 1.99999999999999987e-88 < x < 8.1999999999999999e102

   1. Initial program 70.6%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 39.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 39.3%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 39.3%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 39.2%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 39.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 39.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 39.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 39.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 39.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 39.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. *-commutative 39.2%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   6. Applied egg-rr 39.2%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in 39.3%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) + x \cdot 2}}{2} \]

      2. flip-+ 70.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}}{2} \]

      3. *-commutative 70.7%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}{2} \]

      4. *-commutative 70.7%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}{2} \]

      5. *-commutative 70.7%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}{2} \]

      6. associate-*l* 70.7%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}{2} \]

      7. *-commutative 70.7%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot x\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}{2} \]

      8. associate-*l* 70.7%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}{2} \]

      9. *-commutative 70.7%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x} - x \cdot 2}}{2} \]

      10. *-commutative 70.7%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot x - x \cdot 2}}{2} \]

      11. associate-*l* 70.7%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} - x \cdot 2}}{2} \]

   8. Applied egg-rr 70.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - x \cdot 2}}}{2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \cdot 10^{+156}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{x}{6}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2 \cdot 10^{-88}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{4 - {x}^{4} \cdot 0.1111111111111111}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333}}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 8.2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - x \cdot 2}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{x}{6}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 92.1% accurate, 4.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\\ t_1 := \left(x \cdot x\right) \cdot \frac{x}{6}\\ t_2 := \frac{\frac{t_0 \cdot t_0 - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{t_0 - x \cdot 2}}{2}\\ \mathbf{if}\;x \leq -8.2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;x \leq -2.8 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{+27}:\\ \;\;\;\;\frac{t_0 + x \cdot 2}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 8.2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* x 0.3333333333333333) (* x x)))
        (t_1 (* (* x x) (/ x 6.0)))
        (t_2
         (/
          (/ (- (* t_0 t_0) (* (* x 2.0) (* x 2.0))) (- t_0 (* x 2.0)))
          2.0)))
   (if (<= x -8.2e+102)
     t_1
     (if (<= x -2.8e+32)
       t_2
       (if (<= x 1e+27)
         (/ (+ t_0 (* x 2.0)) 2.0)
         (if (<= x 8.2e+102) t_2 t_1))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (x * 0.3333333333333333) * (x * x);
	double t_1 = (x * x) * (x / 6.0);
	double t_2 = (((t_0 * t_0) - ((x * 2.0) * (x * 2.0))) / (t_0 - (x * 2.0))) / 2.0;
	double tmp;
	if (x <= -8.2e+102) {
		tmp = t_1;
	} else if (x <= -2.8e+32) {
		tmp = t_2;
	} else if (x <= 1e+27) {
		tmp = (t_0 + (x * 2.0)) / 2.0;
	} else if (x <= 8.2e+102) {
		tmp = t_2;
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: t_2
    real(8) :: tmp
    t_0 = (x * 0.3333333333333333d0) * (x * x)
    t_1 = (x * x) * (x / 6.0d0)
    t_2 = (((t_0 * t_0) - ((x * 2.0d0) * (x * 2.0d0))) / (t_0 - (x * 2.0d0))) / 2.0d0
    if (x <= (-8.2d+102)) then
        tmp = t_1
    else if (x <= (-2.8d+32)) then
        tmp = t_2
    else if (x <= 1d+27) then
        tmp = (t_0 + (x * 2.0d0)) / 2.0d0
    else if (x <= 8.2d+102) then
        tmp = t_2
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (x * 0.3333333333333333) * (x * x);
	double t_1 = (x * x) * (x / 6.0);
	double t_2 = (((t_0 * t_0) - ((x * 2.0) * (x * 2.0))) / (t_0 - (x * 2.0))) / 2.0;
	double tmp;
	if (x <= -8.2e+102) {
		tmp = t_1;
	} else if (x <= -2.8e+32) {
		tmp = t_2;
	} else if (x <= 1e+27) {
		tmp = (t_0 + (x * 2.0)) / 2.0;
	} else if (x <= 8.2e+102) {
		tmp = t_2;
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (x * 0.3333333333333333) * (x * x)
	t_1 = (x * x) * (x / 6.0)
	t_2 = (((t_0 * t_0) - ((x * 2.0) * (x * 2.0))) / (t_0 - (x * 2.0))) / 2.0
	tmp = 0
	if x <= -8.2e+102:
		tmp = t_1
	elif x <= -2.8e+32:
		tmp = t_2
	elif x <= 1e+27:
		tmp = (t_0 + (x * 2.0)) / 2.0
	elif x <= 8.2e+102:
		tmp = t_2
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(x * 0.3333333333333333) * Float64(x * x))
	t_1 = Float64(Float64(x * x) * Float64(x / 6.0))
	t_2 = Float64(Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) - Float64(Float64(x * 2.0) * Float64(x * 2.0))) / Float64(t_0 - Float64(x * 2.0))) / 2.0)
	tmp = 0.0
	if (x <= -8.2e+102)
		tmp = t_1;
	elseif (x <= -2.8e+32)
		tmp = t_2;
	elseif (x <= 1e+27)
		tmp = Float64(Float64(t_0 + Float64(x * 2.0)) / 2.0);
	elseif (x <= 8.2e+102)
		tmp = t_2;
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (x * 0.3333333333333333) * (x * x);
	t_1 = (x * x) * (x / 6.0);
	t_2 = (((t_0 * t_0) - ((x * 2.0) * (x * 2.0))) / (t_0 - (x * 2.0))) / 2.0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= -8.2e+102)
		tmp = t_1;
	elseif (x <= -2.8e+32)
		tmp = t_2;
	elseif (x <= 1e+27)
		tmp = (t_0 + (x * 2.0)) / 2.0;
	elseif (x <= 8.2e+102)
		tmp = t_2;
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x / 6.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$2 = N[(N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] - N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] * N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, -8.2e+102], t$95$1, If[LessEqual[x, -2.8e+32], t$95$2, If[LessEqual[x, 1e+27], N[(N[(t$95$0 + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 8.2e+102], t$95$2, t$95$1]]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -8.1999999999999999e102 or 8.1999999999999999e102 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}} \]

   6. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.16666666666666666} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}} \]

      2. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{3}}{6}} \]

      3. cube-mult 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}{6} \]

      4. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]

   8. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   10. Simplified 100.0%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   if -8.1999999999999999e102 < x < -2.8e32 or 1e27 < x < 8.1999999999999999e102

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 6.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 6.1%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 6.1%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 6.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 6.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 6.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 6.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 6.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 6.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 6.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. *-commutative 6.1%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   6. Applied egg-rr 6.1%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in 6.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) + x \cdot 2}}{2} \]

      2. flip-+ 80.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}}{2} \]

      3. *-commutative 80.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}{2} \]

      4. *-commutative 80.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}{2} \]

      5. *-commutative 80.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}{2} \]

      6. associate-*l* 80.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot \left(\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}{2} \]

      7. *-commutative 80.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot x\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}{2} \]

      8. associate-*l* 80.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}{2} \]

      9. *-commutative 80.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x} - x \cdot 2}}{2} \]

      10. *-commutative 80.1%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot x - x \cdot 2}}{2} \]

      11. associate-*l* 80.1%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} - x \cdot 2}}{2} \]

   8. Applied egg-rr 80.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - x \cdot 2}}}{2} \]

   if -2.8e32 < x < 1e27

   1. Initial program 18.1%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 88.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 88.7%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 88.7%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 88.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 88.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 88.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 88.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 88.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 88.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 88.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. *-commutative 88.7%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

   6. Applied egg-rr 88.7%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. distribute-rgt-in 88.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

      2. *-commutative 88.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

      3. associate-*l* 88.7%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

      4. *-commutative 88.7%

         \[\leadsto \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

   8. Applied egg-rr 88.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + x \cdot 2}}{2} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 91.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -8.2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{x}{6}\\ \mathbf{elif}\;x \leq -2.8 \cdot 10^{+32}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - x \cdot 2}}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 10^{+27}:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + x \cdot 2}{2}\\ \mathbf{elif}\;x \leq 8.2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{\left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right) - x \cdot 2}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{x}{6}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 84.4% accurate, 15.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + x \cdot 2}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* (* x 0.3333333333333333) (* x x)) (* x 2.0)) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (((x * 0.3333333333333333) * (x * x)) + (x * 2.0)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (((x * 0.3333333333333333d0) * (x * x)) + (x * 2.0d0)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (((x * 0.3333333333333333) * (x * x)) + (x * 2.0)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (((x * 0.3333333333333333) * (x * x)) + (x * 2.0)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(x * 0.3333333333333333) * Float64(x * x)) + Float64(x * 2.0)) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (((x * 0.3333333333333333) * (x * x)) + (x * 2.0)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.3%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 84.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 84.9%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 84.9%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 84.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 84.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 84.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 84.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 84.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 84.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 84.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   2. *-commutative 84.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

6. Applied egg-rr 84.9%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]
7. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in 84.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

   2. *-commutative 84.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

   3. associate-*l* 84.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2 \cdot x}{2} \]

   4. *-commutative 84.9%

      \[\leadsto \frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + \color{blue}{x \cdot 2}}{2} \]

8. Applied egg-rr 84.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + x \cdot 2}}{2} \]

9. Final simplification 84.9%

   \[\leadsto \frac{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right) + x \cdot 2}{2} \]

Alternative 5: 84.1% accurate, 18.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.45\right):\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{x}{6}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -2.5) (not (<= x 2.45)))
   (* (* x x) (/ x 6.0))
   (/ (* x 2.0) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.45)) {
		tmp = (x * x) * (x / 6.0);
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-2.5d0)) .or. (.not. (x <= 2.45d0))) then
        tmp = (x * x) * (x / 6.0d0)
    else
        tmp = (x * 2.0d0) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.45)) {
		tmp = (x * x) * (x / 6.0);
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -2.5) or not (x <= 2.45):
		tmp = (x * x) * (x / 6.0)
	else:
		tmp = (x * 2.0) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.45))
		tmp = Float64(Float64(x * x) * Float64(x / 6.0));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2.5) || ~((x <= 2.45)))
		tmp = (x * x) * (x / 6.0);
	else
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -2.5], N[Not[LessEqual[x, 2.45]], $MachinePrecision]], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(x / 6.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.5 or 2.4500000000000002 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 70.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 70.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 70.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}} \]

   6. Simplified 70.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.16666666666666666} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval 70.6%

         \[\leadsto {x}^{3} \cdot \color{blue}{\frac{1}{6}} \]

      2. div-inv 70.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{{x}^{3}}{6}} \]

      3. cube-mult 70.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}{6} \]

      4. associate-/l* 70.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]

   8. Applied egg-rr 70.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{6}{x \cdot x}}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-/r/ 70.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   10. Simplified 70.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{6} \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

   if -2.5 < x < 2.4500000000000002

   1. Initial program 7.8%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 84.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.45\right):\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \frac{x}{6}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 84.4% accurate, 18.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (2.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.3%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 84.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 84.9%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 84.9%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 84.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 84.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 84.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 84.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 84.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 84.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 84.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   2. *-commutative 84.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]

6. Applied egg-rr 84.9%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]

7. Final simplification 84.9%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \]

Alternative 7: 52.3% accurate, 41.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x 2.0) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 2.0d0) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * 2.0) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 2.0) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 54.3%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 51.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]

3. Final simplification 51.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2}{2} \]

Alternative 8: 2.9% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 -1.0)

C

double code(double x) {
	return -1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0;
}

Python

def code(x):
	return -1.0

Julia

function code(x)
	return -1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0;
end

Wolfram

code[x_] := -1.0

Derivation

1. Initial program 54.3%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 2.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2}}{2} \]

4. Final simplification 2.7%

   \[\leadsto -1 \]

Alternative 9: 3.5% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 54.3%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 3.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0}}{2} \]

4. Final simplification 3.5%

   \[\leadsto 0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023207 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))