bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 53.6% → 97.6%

Time: 16.5s

Alternatives: 9

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = 3.889364917165359e+174

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 53.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 2:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{\frac{x}{0.5}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (sinh x) x) 2.0)
   (fma
    x
    (* x 0.16666666666666666)
    (+
     (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0))
     (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))))
   (log (/ (- (exp x) (exp (- x))) (/ x 0.5)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((sinh(x) / x) <= 2.0) {
		tmp = fma(x, (x * 0.16666666666666666), ((0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0)) + (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0))));
	} else {
		tmp = log(((exp(x) - exp(-x)) / (x / 0.5)));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sinh(x) / x) <= 2.0)
		tmp = fma(x, Float64(x * 0.16666666666666666), Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0))));
	else
		tmp = log(Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / Float64(x / 0.5)));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], 2.0], N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x / 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 2

   1. Initial program 57.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around inf 2.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{e^{x} - \frac{1}{e^{x}}}{x}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 2.7%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(e^{x} - \frac{1}{e^{x}}\right)}{x}\right)} \]

      2. *-commutative 2.7%

         \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{\left(e^{x} - \frac{1}{e^{x}}\right) \cdot 0.5}}{x}\right) \]

      3. associate-/l* 2.7%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{e^{x} - \frac{1}{e^{x}}}{\frac{x}{0.5}}\right)} \]

      4. rec-exp 2.6%

         \[\leadsto \log \left(\frac{e^{x} - \color{blue}{e^{-x}}}{\frac{x}{0.5}}\right) \]

   4. Simplified 2.6%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{\frac{x}{0.5}}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

      2. unpow2 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

      3. associate-*l* 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

      4. fma-def 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]

      5. associate-+r+ 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right) + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}}\right) \]

      6. +-commutative 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \color{blue}{0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)}\right) \]

      7. fma-def 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)}\right) \]

      8. fma-def 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)}\right)\right) \]

      9. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, \color{blue}{{x}^{8} \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, {x}^{8} \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 99.8%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \color{blue}{0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}}\right) \]

   10. Applied egg-rr 99.8%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \color{blue}{0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}}\right) \]

   if 2 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 70.8%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around inf 71.0%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{e^{x} - \frac{1}{e^{x}}}{x}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 71.0%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(e^{x} - \frac{1}{e^{x}}\right)}{x}\right)} \]

      2. *-commutative 71.0%

         \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{\left(e^{x} - \frac{1}{e^{x}}\right) \cdot 0.5}}{x}\right) \]

      3. associate-/l* 71.0%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{e^{x} - \frac{1}{e^{x}}}{\frac{x}{0.5}}\right)} \]

      4. rec-exp 71.0%

         \[\leadsto \log \left(\frac{e^{x} - \color{blue}{e^{-x}}}{\frac{x}{0.5}}\right) \]

   4. Simplified 71.0%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{\frac{x}{0.5}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 2:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{\frac{x}{0.5}}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2: 97.6% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 2:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{\frac{x}{0.5}}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= (/ (sinh x) x) 2.0)
   (+
    (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))
    (+ (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0)) (* 0.16666666666666666 (* x x))))
   (log (/ (- (exp x) (exp (- x))) (/ x 0.5)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((sinh(x) / x) <= 2.0) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x)));
	} else {
		tmp = log(((exp(x) - exp(-x)) / (x / 0.5)));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((sinh(x) / x) <= 2.0d0) then
        tmp = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + ((0.0003527336860670194d0 * (x ** 6.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x * x)))
    else
        tmp = log(((exp(x) - exp(-x)) / (x / 0.5d0)))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((Math.sinh(x) / x) <= 2.0) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x)));
	} else {
		tmp = Math.log(((Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / (x / 0.5)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (math.sinh(x) / x) <= 2.0:
		tmp = (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x)))
	else:
		tmp = math.log(((math.exp(x) - math.exp(-x)) / (x / 0.5)))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (Float64(sinh(x) / x) <= 2.0)
		tmp = Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = log(Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / Float64(x / 0.5)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((sinh(x) / x) <= 2.0)
		tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x)));
	else
		tmp = log(((exp(x) - exp(-x)) / (x / 0.5)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision], 2.0], N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(x / 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 2

   1. Initial program 57.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around inf 2.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{e^{x} - \frac{1}{e^{x}}}{x}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 2.7%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(e^{x} - \frac{1}{e^{x}}\right)}{x}\right)} \]

      2. *-commutative 2.7%

         \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{\left(e^{x} - \frac{1}{e^{x}}\right) \cdot 0.5}}{x}\right) \]

      3. associate-/l* 2.7%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{e^{x} - \frac{1}{e^{x}}}{\frac{x}{0.5}}\right)} \]

      4. rec-exp 2.6%

         \[\leadsto \log \left(\frac{e^{x} - \color{blue}{e^{-x}}}{\frac{x}{0.5}}\right) \]

   4. Simplified 2.6%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{\frac{x}{0.5}}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

      2. unpow2 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

      3. associate-*l* 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

      4. fma-def 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]

      5. associate-+r+ 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right) + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}}\right) \]

      6. +-commutative 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \color{blue}{0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)}\right) \]

      7. fma-def 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)}\right) \]

      8. fma-def 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)}\right)\right) \]

      9. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, \color{blue}{{x}^{8} \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, {x}^{8} \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} + \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

      3. fma-udef 99.7%

         \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) + \color{blue}{\left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      4. associate-+r+ 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

      5. associate-*r* 99.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

      6. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \cdot x + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

      7. associate-*l* 99.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

   10. Applied egg-rr 99.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

   if 2 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 70.8%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around inf 71.0%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{e^{x} - \frac{1}{e^{x}}}{x}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 71.0%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(e^{x} - \frac{1}{e^{x}}\right)}{x}\right)} \]

      2. *-commutative 71.0%

         \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{\left(e^{x} - \frac{1}{e^{x}}\right) \cdot 0.5}}{x}\right) \]

      3. associate-/l* 71.0%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{e^{x} - \frac{1}{e^{x}}}{\frac{x}{0.5}}\right)} \]

      4. rec-exp 71.0%

         \[\leadsto \log \left(\frac{e^{x} - \color{blue}{e^{-x}}}{\frac{x}{0.5}}\right) \]

   4. Simplified 71.0%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{\frac{x}{0.5}}\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 2:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{\frac{x}{0.5}}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3: 97.6% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 2:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 2.0)
     (+
      (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0))
      (+
       (* 0.0003527336860670194 (pow x 6.0))
       (* 0.16666666666666666 (* x x))))
     (log t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 2.0) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x)));
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 2.0d0) then
        tmp = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + ((0.0003527336860670194d0 * (x ** 6.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x * x)))
    else
        tmp = log(t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 2.0) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * Math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x)));
	} else {
		tmp = Math.log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 2.0:
		tmp = (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * math.pow(x, 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x)))
	else:
		tmp = math.log(t_0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 2.0)
		tmp = Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(Float64(0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 2.0)
		tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + ((0.0003527336860670194 * (x ^ 6.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x)));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 2.0], N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(0.0003527336860670194 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 2

   1. Initial program 57.2%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around inf 2.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{e^{x} - \frac{1}{e^{x}}}{x}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 2.7%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(e^{x} - \frac{1}{e^{x}}\right)}{x}\right)} \]

      2. *-commutative 2.7%

         \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{\left(e^{x} - \frac{1}{e^{x}}\right) \cdot 0.5}}{x}\right) \]

      3. associate-/l* 2.7%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{e^{x} - \frac{1}{e^{x}}}{\frac{x}{0.5}}\right)} \]

      4. rec-exp 2.6%

         \[\leadsto \log \left(\frac{e^{x} - \color{blue}{e^{-x}}}{\frac{x}{0.5}}\right) \]

   4. Simplified 2.6%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{\frac{x}{0.5}}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

      2. unpow2 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

      3. associate-*l* 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right) \]

      4. fma-def 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]

      5. associate-+r+ 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \color{blue}{\left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right) + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}}\right) \]

      6. +-commutative 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \color{blue}{0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)}\right) \]

      7. fma-def 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)}\right) \]

      8. fma-def 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5} \cdot {x}^{8}\right)}\right)\right) \]

      9. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, \color{blue}{{x}^{8} \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}}\right)\right)\right) \]

   7. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, \mathsf{fma}\left(-0.005555555555555556, {x}^{4}, {x}^{8} \cdot -2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}\right)\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 99.8%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, \color{blue}{-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}}\right)\right) \]
   9. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} + \mathsf{fma}\left(0.0003527336860670194, {x}^{6}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

      3. fma-udef 99.7%

         \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) + \color{blue}{\left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      4. associate-+r+ 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

      5. associate-*r* 99.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

      6. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \cdot x + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

      7. associate-*l* 99.7%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

   10. Applied egg-rr 99.7%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

   if 2 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 70.8%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 2:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + \left(0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4: 97.7% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.000005:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.000005)
     (fma x (* x 0.16666666666666666) (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)))
     (log t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.000005) {
		tmp = fma(x, (x * 0.16666666666666666), (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)));
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.000005)
		tmp = fma(x, Float64(x * 0.16666666666666666), Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.000005], N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000500000000003

   1. Initial program 57.1%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around inf 2.4%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.5 \cdot \frac{e^{x} - \frac{1}{e^{x}}}{x}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 2.4%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{0.5 \cdot \left(e^{x} - \frac{1}{e^{x}}\right)}{x}\right)} \]

      2. *-commutative 2.4%

         \[\leadsto \log \left(\frac{\color{blue}{\left(e^{x} - \frac{1}{e^{x}}\right) \cdot 0.5}}{x}\right) \]

      3. associate-/l* 2.4%

         \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{e^{x} - \frac{1}{e^{x}}}{\frac{x}{0.5}}\right)} \]

      4. rec-exp 2.4%

         \[\leadsto \log \left(\frac{e^{x} - \color{blue}{e^{-x}}}{\frac{x}{0.5}}\right) \]

   4. Simplified 2.4%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{\frac{x}{0.5}}\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

      2. unpow2 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

      3. associate-*l* 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

      4. fma-def 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   7. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   if 1.00000500000000003 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 71.6%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.000005:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5: 97.7% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{\sinh x}{x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 1.000005:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ (sinh x) x)))
   (if (<= t_0 1.000005)
     (+ (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)) (* x (* x 0.16666666666666666)))
     (log t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.000005) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sinh(x) / x
    if (t_0 <= 1.000005d0) then
        tmp = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))
    else
        tmp = log(t_0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sinh(x) / x;
	double tmp;
	if (t_0 <= 1.000005) {
		tmp = (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = Math.log(t_0);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sinh(x) / x
	tmp = 0
	if t_0 <= 1.000005:
		tmp = (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))
	else:
		tmp = math.log(t_0)
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(sinh(x) / x)
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 1.000005)
		tmp = Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sinh(x) / x;
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 1.000005)
		tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(t_0);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 1.000005], N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[t$95$0], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (/.f64 (sinh.f64 x) x) < 1.00000500000000003

   1. Initial program 57.1%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. fma-def 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. unpow2 99.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

   4. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

      2. *-commutative 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

      3. associate-*r* 99.7%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

   6. Applied egg-rr 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

   if 1.00000500000000003 < (/.f64 (sinh.f64 x) x)

   1. Initial program 71.6%

      \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\frac{\sinh x}{x} \leq 1.000005:\\ \;\;\;\;-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6: 96.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)) (* 0.16666666666666666 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + (0.16666666666666666d0 * (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x));
}

Python

def code(x):
	return (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + (0.16666666666666666 * (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.7%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   2. unpow2 95.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 95.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

   2. fma-udef 95.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}}} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   3. *-commutative 95.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   4. associate-*r* 95.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   5. fma-def 95.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)}} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   6. fma-udef 95.8%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}}} \]

   7. *-commutative 95.8%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

   8. associate-*r* 95.8%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

   9. fma-def 95.8%

      \[\leadsto \sqrt{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \cdot \sqrt{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

6. Applied egg-rr 95.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \cdot \sqrt{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.16666666666666666, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   2. fma-udef 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

   3. *-commutative 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

   4. *-commutative 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right)} \cdot x + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

   5. associate-*l* 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

8. Applied egg-rr 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

9. Final simplification 95.9%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 7: 96.5% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.005555555555555556 (pow x 4.0)) (* x (* x 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.005555555555555556d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.005555555555555556 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Python

def code(x):
	return (-0.005555555555555556 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.005555555555555556 * (x ^ 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.005555555555555556 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.7%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   2. unpow2 95.9%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Simplified 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

   2. *-commutative 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

   3. associate-*r* 95.9%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} \]

6. Applied egg-rr 95.9%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) + -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4}} \]

7. Final simplification 95.9%

   \[\leadsto -0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 8: 96.3% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.7%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 95.6%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 95.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 95.6%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Alternative 9: 96.4% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 57.7%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 95.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 95.6%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 95.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 95.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 95.6%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

   2. unpow2 95.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

   3. associate-*l* 95.6%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

7. Simplified 95.6%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

8. Final simplification 95.6%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Developer target: 97.8% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023203 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))