Jmat.Real.erfi, branch x less than or equal to 0.5

Percentage Accurate: 99.8% → 99.9%

Time: 9.9s

Alternatives: 14

Speedup: 3.1×

• 28.8% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

\[x \leq 0.5\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\\ t_1 := \left(t_0 \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\\ \left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot t_0\right) + \frac{1}{5} \cdot t_1\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(t_1 \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 (fabs x)) (fabs x))))
   (fabs
    (*
     (/ 1.0 (sqrt PI))
     (+
      (+ (+ (* 2.0 (fabs x)) (* (/ 2.0 3.0) t_0)) (* (/ 1.0 5.0) t_1))
      (* (/ 1.0 21.0) (* (* t_1 (fabs x)) (fabs x))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (fabs(x) * fabs(x)) * fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * fabs(x)) * fabs(x);
	return fabs(((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * ((((2.0 * fabs(x)) + ((2.0 / 3.0) * t_0)) + ((1.0 / 5.0) * t_1)) + ((1.0 / 21.0) * ((t_1 * fabs(x)) * fabs(x))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (Math.abs(x) * Math.abs(x)) * Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * Math.abs(x)) * Math.abs(x);
	return Math.abs(((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * ((((2.0 * Math.abs(x)) + ((2.0 / 3.0) * t_0)) + ((1.0 / 5.0) * t_1)) + ((1.0 / 21.0) * ((t_1 * Math.abs(x)) * Math.abs(x))))));
}

Python

def code(x):
	t_0 = (math.fabs(x) * math.fabs(x)) * math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * math.fabs(x)) * math.fabs(x)
	return math.fabs(((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * ((((2.0 * math.fabs(x)) + ((2.0 / 3.0) * t_0)) + ((1.0 / 5.0) * t_1)) + ((1.0 / 21.0) * ((t_1 * math.fabs(x)) * math.fabs(x))))))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(abs(x) * abs(x)) * abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * abs(x)) * abs(x))
	return abs(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * Float64(Float64(Float64(Float64(2.0 * abs(x)) + Float64(Float64(2.0 / 3.0) * t_0)) + Float64(Float64(1.0 / 5.0) * t_1)) + Float64(Float64(1.0 / 21.0) * Float64(Float64(t_1 * abs(x)) * abs(x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = (abs(x) * abs(x)) * abs(x);
	t_1 = (t_0 * abs(x)) * abs(x);
	tmp = abs(((1.0 / sqrt(pi)) * ((((2.0 * abs(x)) + ((2.0 / 3.0) * t_0)) + ((1.0 / 5.0) * t_1)) + ((1.0 / 21.0) * ((t_1 * abs(x)) * abs(x))))));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[Abs[N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(2.0 * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(2.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(1.0 / 5.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(1.0 / 21.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$1 * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Initial Program: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\\ t_1 := \left(t_0 \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\\ \left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot t_0\right) + \frac{1}{5} \cdot t_1\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(t_1 \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))
        (t_1 (* (* t_0 (fabs x)) (fabs x))))
   (fabs
    (*
     (/ 1.0 (sqrt PI))
     (+
      (+ (+ (* 2.0 (fabs x)) (* (/ 2.0 3.0) t_0)) (* (/ 1.0 5.0) t_1))
      (* (/ 1.0 21.0) (* (* t_1 (fabs x)) (fabs x))))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (fabs(x) * fabs(x)) * fabs(x);
	double t_1 = (t_0 * fabs(x)) * fabs(x);
	return fabs(((1.0 / sqrt(((double) M_PI))) * ((((2.0 * fabs(x)) + ((2.0 / 3.0) * t_0)) + ((1.0 / 5.0) * t_1)) + ((1.0 / 21.0) * ((t_1 * fabs(x)) * fabs(x))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (Math.abs(x) * Math.abs(x)) * Math.abs(x);
	double t_1 = (t_0 * Math.abs(x)) * Math.abs(x);
	return Math.abs(((1.0 / Math.sqrt(Math.PI)) * ((((2.0 * Math.abs(x)) + ((2.0 / 3.0) * t_0)) + ((1.0 / 5.0) * t_1)) + ((1.0 / 21.0) * ((t_1 * Math.abs(x)) * Math.abs(x))))));
}

Python

def code(x):
	t_0 = (math.fabs(x) * math.fabs(x)) * math.fabs(x)
	t_1 = (t_0 * math.fabs(x)) * math.fabs(x)
	return math.fabs(((1.0 / math.sqrt(math.pi)) * ((((2.0 * math.fabs(x)) + ((2.0 / 3.0) * t_0)) + ((1.0 / 5.0) * t_1)) + ((1.0 / 21.0) * ((t_1 * math.fabs(x)) * math.fabs(x))))))

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(abs(x) * abs(x)) * abs(x))
	t_1 = Float64(Float64(t_0 * abs(x)) * abs(x))
	return abs(Float64(Float64(1.0 / sqrt(pi)) * Float64(Float64(Float64(Float64(2.0 * abs(x)) + Float64(Float64(2.0 / 3.0) * t_0)) + Float64(Float64(1.0 / 5.0) * t_1)) + Float64(Float64(1.0 / 21.0) * Float64(Float64(t_1 * abs(x)) * abs(x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = (abs(x) * abs(x)) * abs(x);
	t_1 = (t_0 * abs(x)) * abs(x);
	tmp = abs(((1.0 / sqrt(pi)) * ((((2.0 * abs(x)) + ((2.0 / 3.0) * t_0)) + ((1.0 / 5.0) * t_1)) + ((1.0 / 21.0) * ((t_1 * abs(x)) * abs(x))))));
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Abs[x], $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(N[(t$95$0 * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[Abs[N[(N[(1.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(N[(2.0 * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(2.0 / 3.0), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(1.0 / 5.0), $MachinePrecision] * t$95$1), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(1.0 / 21.0), $MachinePrecision] * N[(N[(t$95$1 * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Abs[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Alternative 1: 99.9% accurate, 3.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left|\left({\pi}^{-0.5} \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \left(0.2 \cdot {x}^{4} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fabs
  (*
   (* (pow PI -0.5) x)
   (+
    (fma 0.6666666666666666 (* x x) 2.0)
    (+ (* 0.2 (pow x 4.0)) (* 0.047619047619047616 (pow x 6.0)))))))

C

double code(double x) {
	return fabs(((pow(((double) M_PI), -0.5) * x) * (fma(0.6666666666666666, (x * x), 2.0) + ((0.2 * pow(x, 4.0)) + (0.047619047619047616 * pow(x, 6.0))))));
}

Julia

function code(x)
	return abs(Float64(Float64((pi ^ -0.5) * x) * Float64(fma(0.6666666666666666, Float64(x * x), 2.0) + Float64(Float64(0.2 * (x ^ 4.0)) + Float64(0.047619047619047616 * (x ^ 6.0))))))
end

Wolfram

code[x_] := N[Abs[N[(N[(N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision] * x), $MachinePrecision] * N[(N[(0.6666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(0.2 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.047619047619047616 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\left|x\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right|} \]
4. Step-by-step derivation

   1. div-inv 99.9%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

5. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{\left|x\right| \cdot 1}{\sqrt{\pi}}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   2. *-rgt-identity 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{\left|x\right|}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   3. unpow1 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   4. sqr-pow 33.6%

      \[\leadsto \left|\frac{\left|\color{blue}{{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   5. fabs-sqr 33.6%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   6. sqr-pow 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{{x}^{1}}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   7. unpow1 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{x}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

7. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

8. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \color{blue}{\left(0.2 \cdot {x}^{4} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)}\right)\right| \]
9. Step-by-step derivation

   1. clear-num 99.4%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{\pi}}{x}}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \left(0.2 \cdot {x}^{4} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   2. associate-/r/ 99.9%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot x\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \left(0.2 \cdot {x}^{4} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   3. pow1/2 99.9%

      \[\leadsto \left|\left(\frac{1}{\color{blue}{{\pi}^{0.5}}} \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \left(0.2 \cdot {x}^{4} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   4. pow-flip 99.9%

      \[\leadsto \left|\left(\color{blue}{{\pi}^{\left(-0.5\right)}} \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \left(0.2 \cdot {x}^{4} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   5. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left|\left({\pi}^{\color{blue}{-0.5}} \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \left(0.2 \cdot {x}^{4} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

10. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \left|\color{blue}{\left({\pi}^{-0.5} \cdot x\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \left(0.2 \cdot {x}^{4} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

11. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \left|\left({\pi}^{-0.5} \cdot x\right) \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \left(0.2 \cdot {x}^{4} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

Alternative 2: 99.4% accurate, 3.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(0.2 \cdot {x}^{4} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right) + \left(2 + 0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right| \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fabs
  (*
   (/ x (sqrt PI))
   (+
    (+ (* 0.2 (pow x 4.0)) (* 0.047619047619047616 (pow x 6.0)))
    (+ 2.0 (* 0.6666666666666666 (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	return fabs(((x / sqrt(((double) M_PI))) * (((0.2 * pow(x, 4.0)) + (0.047619047619047616 * pow(x, 6.0))) + (2.0 + (0.6666666666666666 * (x * x))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.abs(((x / Math.sqrt(Math.PI)) * (((0.2 * Math.pow(x, 4.0)) + (0.047619047619047616 * Math.pow(x, 6.0))) + (2.0 + (0.6666666666666666 * (x * x))))));
}

Python

def code(x):
	return math.fabs(((x / math.sqrt(math.pi)) * (((0.2 * math.pow(x, 4.0)) + (0.047619047619047616 * math.pow(x, 6.0))) + (2.0 + (0.6666666666666666 * (x * x))))))

Julia

function code(x)
	return abs(Float64(Float64(x / sqrt(pi)) * Float64(Float64(Float64(0.2 * (x ^ 4.0)) + Float64(0.047619047619047616 * (x ^ 6.0))) + Float64(2.0 + Float64(0.6666666666666666 * Float64(x * x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = abs(((x / sqrt(pi)) * (((0.2 * (x ^ 4.0)) + (0.047619047619047616 * (x ^ 6.0))) + (2.0 + (0.6666666666666666 * (x * x))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[Abs[N[(N[(x / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(0.2 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.047619047619047616 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(2.0 + N[(0.6666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\left|x\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right|} \]
4. Step-by-step derivation

   1. div-inv 99.9%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

5. Applied egg-rr 99.9%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]
6. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{\left|x\right| \cdot 1}{\sqrt{\pi}}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   2. *-rgt-identity 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{\left|x\right|}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   3. unpow1 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   4. sqr-pow 33.6%

      \[\leadsto \left|\frac{\left|\color{blue}{{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   5. fabs-sqr 33.6%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   6. sqr-pow 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{{x}^{1}}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   7. unpow1 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{x}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

7. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

8. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \color{blue}{\left(0.2 \cdot {x}^{4} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)}\right)\right| \]
9. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 98.1%

      \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right| \]

10. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} + \left(0.2 \cdot {x}^{4} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

11. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(0.2 \cdot {x}^{4} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right) + \left(2 + 0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right| \]

Alternative 3: 98.7% accurate, 4.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(0.047619047619047616 \cdot {x}^{6} + \left(2 + 0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right| \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fabs
  (*
   (/ x (sqrt PI))
   (+
    (* 0.047619047619047616 (pow x 6.0))
    (+ 2.0 (* 0.6666666666666666 (* x x)))))))

C

double code(double x) {
	return fabs(((x / sqrt(((double) M_PI))) * ((0.047619047619047616 * pow(x, 6.0)) + (2.0 + (0.6666666666666666 * (x * x))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.abs(((x / Math.sqrt(Math.PI)) * ((0.047619047619047616 * Math.pow(x, 6.0)) + (2.0 + (0.6666666666666666 * (x * x))))));
}

Python

def code(x):
	return math.fabs(((x / math.sqrt(math.pi)) * ((0.047619047619047616 * math.pow(x, 6.0)) + (2.0 + (0.6666666666666666 * (x * x))))))

Julia

function code(x)
	return abs(Float64(Float64(x / sqrt(pi)) * Float64(Float64(0.047619047619047616 * (x ^ 6.0)) + Float64(2.0 + Float64(0.6666666666666666 * Float64(x * x))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = abs(((x / sqrt(pi)) * ((0.047619047619047616 * (x ^ 6.0)) + (2.0 + (0.6666666666666666 * (x * x))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[Abs[N[(N[(x / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[(0.047619047619047616 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(2.0 + N[(0.6666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\left|x\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right|} \]

4. Taylor expanded in x around inf 98.1%

   \[\leadsto \left|\frac{\left|x\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \color{blue}{0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}}\right)\right| \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv 99.9%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

6. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right| \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{\left|x\right| \cdot 1}{\sqrt{\pi}}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   2. *-rgt-identity 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{\left|x\right|}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   3. unpow1 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   4. sqr-pow 33.6%

      \[\leadsto \left|\frac{\left|\color{blue}{{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   5. fabs-sqr 33.6%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   6. sqr-pow 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{{x}^{1}}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   7. unpow1 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{x}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

8. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right| \]
9. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 98.1%

      \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right| \]

10. Applied egg-rr 98.1%

    \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right| \]

11. Final simplification 98.1%

    \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(0.047619047619047616 \cdot {x}^{6} + \left(2 + 0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)\right| \]

Alternative 4: 89.6% accurate, 4.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{\frac{1}{\pi}}\\ \mathbf{if}\;x \leq 2.2:\\ \;\;\;\;\left|t_0 \cdot \left(x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right|\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left|0.047619047619047616 \cdot \left(t_0 \cdot {x}^{7}\right)\right|\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (sqrt (/ 1.0 PI))))
   (if (<= x 2.2)
     (fabs (* t_0 (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.6666666666666666))))))
     (fabs (* 0.047619047619047616 (* t_0 (pow x 7.0)))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = sqrt((1.0 / ((double) M_PI)));
	double tmp;
	if (x <= 2.2) {
		tmp = fabs((t_0 * (x * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666))))));
	} else {
		tmp = fabs((0.047619047619047616 * (t_0 * pow(x, 7.0))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.sqrt((1.0 / Math.PI));
	double tmp;
	if (x <= 2.2) {
		tmp = Math.abs((t_0 * (x * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666))))));
	} else {
		tmp = Math.abs((0.047619047619047616 * (t_0 * Math.pow(x, 7.0))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.sqrt((1.0 / math.pi))
	tmp = 0
	if x <= 2.2:
		tmp = math.fabs((t_0 * (x * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666))))))
	else:
		tmp = math.fabs((0.047619047619047616 * (t_0 * math.pow(x, 7.0))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = sqrt(Float64(1.0 / pi))
	tmp = 0.0
	if (x <= 2.2)
		tmp = abs(Float64(t_0 * Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.6666666666666666))))));
	else
		tmp = abs(Float64(0.047619047619047616 * Float64(t_0 * (x ^ 7.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = sqrt((1.0 / pi));
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2.2)
		tmp = abs((t_0 * (x * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666))))));
	else
		tmp = abs((0.047619047619047616 * (t_0 * (x ^ 7.0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 2.2], N[Abs[N[(t$95$0 * N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Abs[N[(0.047619047619047616 * N[(t$95$0 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 2.2000000000000002

   1. Initial program 99.8%

      \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]

      2. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right| \]

      3. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} + \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

      4. distribute-rgt-out 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(2 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot 2} + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      6. unpow1 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{1}} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      7. sqr-pow 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      8. fabs-sqr 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      9. sqr-pow 85.9%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      10. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{x}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      11. *-commutative 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}\right)\right| \]

      12. cube-mult 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

      13. associate-*l* 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right| \]

      14. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{1}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      15. sqr-pow 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      16. fabs-sqr 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      17. sqr-pow 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      18. unpow1 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{x}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      19. *-commutative 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|x\right| \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right| \]

   6. Simplified 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]
   7. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right) + 2\right)}\right)\right| \]

   8. Applied egg-rr 86.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right) + 2\right)}\right)\right| \]

   if 2.2000000000000002 < x

   1. Initial program 99.8%

      \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 39.1%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{0.047619047619047616 \cdot \left({x}^{7} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.2:\\ \;\;\;\;\left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right|\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left|0.047619047619047616 \cdot \left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot {x}^{7}\right)\right|\\ \end{array} \]

Alternative 5: 98.4% accurate, 4.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(2 + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right| \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fabs (* (/ x (sqrt PI)) (+ 2.0 (* 0.047619047619047616 (pow x 6.0))))))

C

double code(double x) {
	return fabs(((x / sqrt(((double) M_PI))) * (2.0 + (0.047619047619047616 * pow(x, 6.0)))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.abs(((x / Math.sqrt(Math.PI)) * (2.0 + (0.047619047619047616 * Math.pow(x, 6.0)))));
}

Python

def code(x):
	return math.fabs(((x / math.sqrt(math.pi)) * (2.0 + (0.047619047619047616 * math.pow(x, 6.0)))))

Julia

function code(x)
	return abs(Float64(Float64(x / sqrt(pi)) * Float64(2.0 + Float64(0.047619047619047616 * (x ^ 6.0)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = abs(((x / sqrt(pi)) * (2.0 + (0.047619047619047616 * (x ^ 6.0)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[Abs[N[(N[(x / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(0.047619047619047616 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

3. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\left|x\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right|} \]

4. Taylor expanded in x around inf 98.1%

   \[\leadsto \left|\frac{\left|x\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \color{blue}{0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}}\right)\right| \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv 99.9%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

6. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(\left|x\right| \cdot \frac{1}{\sqrt{\pi}}\right)} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right| \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{\left|x\right| \cdot 1}{\sqrt{\pi}}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   2. *-rgt-identity 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{\left|x\right|}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   3. unpow1 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   4. sqr-pow 33.6%

      \[\leadsto \left|\frac{\left|\color{blue}{{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}\right|}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   5. fabs-sqr 33.6%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   6. sqr-pow 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{{x}^{1}}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

   7. unpow1 99.3%

      \[\leadsto \left|\frac{\color{blue}{x}}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + \mathsf{fma}\left(0.2, {x}^{4}, 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right)\right| \]

8. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, x \cdot x, 2\right) + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right| \]

9. Taylor expanded in x around 0 97.4%

   \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{2} + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right| \]

10. Final simplification 97.4%

    \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(2 + 0.047619047619047616 \cdot {x}^{6}\right)\right| \]

Alternative 6: 89.6% accurate, 5.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\\ t_1 := x \cdot t_0\\ \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left|x \cdot \left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(2 + t_0\right)\right)\right|\\ \mathbf{elif}\;x \leq 6.5 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{t_1 \cdot t_1 - \left(x \cdot x\right) \cdot 4}{t_1 - x \cdot 2}\right|\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot t_0\right|\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x 0.6666666666666666))) (t_1 (* x t_0)))
   (if (<= x 5e-7)
     (fabs (* x (* (pow PI -0.5) (+ 2.0 t_0))))
     (if (<= x 6.5e+102)
       (fabs
        (*
         (sqrt (/ 1.0 PI))
         (/ (- (* t_1 t_1) (* (* x x) 4.0)) (- t_1 (* x 2.0)))))
       (fabs (* (/ x (sqrt PI)) t_0))))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.6666666666666666);
	double t_1 = x * t_0;
	double tmp;
	if (x <= 5e-7) {
		tmp = fabs((x * (pow(((double) M_PI), -0.5) * (2.0 + t_0))));
	} else if (x <= 6.5e+102) {
		tmp = fabs((sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * (((t_1 * t_1) - ((x * x) * 4.0)) / (t_1 - (x * 2.0)))));
	} else {
		tmp = fabs(((x / sqrt(((double) M_PI))) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.6666666666666666);
	double t_1 = x * t_0;
	double tmp;
	if (x <= 5e-7) {
		tmp = Math.abs((x * (Math.pow(Math.PI, -0.5) * (2.0 + t_0))));
	} else if (x <= 6.5e+102) {
		tmp = Math.abs((Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * (((t_1 * t_1) - ((x * x) * 4.0)) / (t_1 - (x * 2.0)))));
	} else {
		tmp = Math.abs(((x / Math.sqrt(Math.PI)) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * 0.6666666666666666)
	t_1 = x * t_0
	tmp = 0
	if x <= 5e-7:
		tmp = math.fabs((x * (math.pow(math.pi, -0.5) * (2.0 + t_0))))
	elif x <= 6.5e+102:
		tmp = math.fabs((math.sqrt((1.0 / math.pi)) * (((t_1 * t_1) - ((x * x) * 4.0)) / (t_1 - (x * 2.0)))))
	else:
		tmp = math.fabs(((x / math.sqrt(math.pi)) * t_0))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * 0.6666666666666666))
	t_1 = Float64(x * t_0)
	tmp = 0.0
	if (x <= 5e-7)
		tmp = abs(Float64(x * Float64((pi ^ -0.5) * Float64(2.0 + t_0))));
	elseif (x <= 6.5e+102)
		tmp = abs(Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(Float64(Float64(t_1 * t_1) - Float64(Float64(x * x) * 4.0)) / Float64(t_1 - Float64(x * 2.0)))));
	else
		tmp = abs(Float64(Float64(x / sqrt(pi)) * t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * 0.6666666666666666);
	t_1 = x * t_0;
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5e-7)
		tmp = abs((x * ((pi ^ -0.5) * (2.0 + t_0))));
	elseif (x <= 6.5e+102)
		tmp = abs((sqrt((1.0 / pi)) * (((t_1 * t_1) - ((x * x) * 4.0)) / (t_1 - (x * 2.0)))));
	else
		tmp = abs(((x / sqrt(pi)) * t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * t$95$0), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 5e-7], N[Abs[N[(x * N[(N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision] * N[(2.0 + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 6.5e+102], N[Abs[N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision] - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 - N[(x * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Abs[N[(N[(x / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < 4.99999999999999977e-7

   1. Initial program 99.9%

      \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 86.5%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.5%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]

      2. associate-*r* 86.5%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right| \]

      3. associate-*r* 86.5%

         \[\leadsto \left|\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} + \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

      4. distribute-rgt-out 86.5%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(2 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.5%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot 2} + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      6. unpow1 86.5%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{1}} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      7. sqr-pow 32.9%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      8. fabs-sqr 32.9%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      9. sqr-pow 85.9%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      10. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{x}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      11. *-commutative 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}\right)\right| \]

      12. cube-mult 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

      13. associate-*l* 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right| \]

      14. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{1}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      15. sqr-pow 33.1%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      16. fabs-sqr 33.1%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      17. sqr-pow 86.5%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      18. unpow1 86.5%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{x}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      19. *-commutative 86.5%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|x\right| \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right| \]

   6. Simplified 86.5%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 63.0%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-udef 5.5%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]

      3. pow1/2 5.5%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\frac{1}{\pi}\right)}^{0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      4. inv-pow 5.5%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left({\pi}^{-1}\right)}}^{0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      5. pow-pow 5.5%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\pi}^{\left(-1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      6. metadata-eval 5.5%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{\color{blue}{-0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

   8. Applied egg-rr 5.5%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 63.0%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-log1p 86.5%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]

      3. *-commutative 86.5%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right) \cdot {\pi}^{-0.5}}\right| \]

      4. associate-*l* 86.5%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.5%

         \[\leadsto \left|x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666}, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right| \]

   10. Simplified 86.5%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]
   11. Step-by-step derivation

       1. fma-udef 86.0%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) + 2\right)}\right| \]

   12. Applied egg-rr 86.5%

       \[\leadsto \left|x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) + 2\right)} \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right| \]

   if 4.99999999999999977e-7 < x < 6.5000000000000004e102

   1. Initial program 99.5%

      \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

   3. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 91.3%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 91.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]

      2. associate-*r* 91.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right| \]

      3. associate-*r* 91.3%

         \[\leadsto \left|\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} + \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

      4. distribute-rgt-out 91.0%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(2 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot 2} + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      6. unpow1 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{1}} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      7. sqr-pow 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      8. fabs-sqr 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      9. sqr-pow 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      10. unpow1 91.0%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{x}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      11. *-commutative 91.0%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}\right)\right| \]

      12. cube-mult 91.0%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

      13. associate-*l* 91.0%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right| \]

      14. unpow1 91.0%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{1}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      15. sqr-pow 91.0%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      16. fabs-sqr 91.0%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      17. sqr-pow 91.0%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      18. unpow1 91.0%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{x}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      19. *-commutative 91.0%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|x\right| \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right| \]

   6. Simplified 91.3%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]
   7. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 91.3%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right) + 2\right)}\right)\right| \]

   8. Applied egg-rr 91.3%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right) + 2\right)}\right)\right| \]
   9. Step-by-step derivation

      1. distribute-lft-in 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right)\right) + x \cdot 2\right)}\right| \]

      2. flip-+ 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right)\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}}\right| \]

      3. *-commutative 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right)\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}\right| \]

      4. *-commutative 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right) - \left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}\right| \]

      5. *-commutative 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) - \color{blue}{\left(2 \cdot x\right)} \cdot \left(x \cdot 2\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}\right| \]

      6. *-commutative 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) - \left(2 \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot x\right)}}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}\right| \]

      7. swap-sqr 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) - \color{blue}{\left(2 \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}\right| \]

      8. metadata-eval 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) - \color{blue}{4} \cdot \left(x \cdot x\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right)\right) - x \cdot 2}\right| \]

      9. *-commutative 91.0%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) - 4 \cdot \left(x \cdot x\right)}{x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot 0.6666666666666666\right)}\right) - x \cdot 2}\right| \]

   10. Applied egg-rr 91.0%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) - 4 \cdot \left(x \cdot x\right)}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) - x \cdot 2}}\right| \]

   if 6.5000000000000004e102 < x

   1. Initial program 99.8%

      \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]

      2. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right| \]

      3. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} + \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

      4. distribute-rgt-out 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(2 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot 2} + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      6. unpow1 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{1}} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      7. sqr-pow 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      8. fabs-sqr 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      9. sqr-pow 85.9%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      10. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{x}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      11. *-commutative 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}\right)\right| \]

      12. cube-mult 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

      13. associate-*l* 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right| \]

      14. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{1}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      15. sqr-pow 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      16. fabs-sqr 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      17. sqr-pow 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      18. unpow1 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{x}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      19. *-commutative 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|x\right| \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right| \]

   6. Simplified 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 63.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-udef 6.4%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]

      3. pow1/2 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\frac{1}{\pi}\right)}^{0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      4. inv-pow 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left({\pi}^{-1}\right)}}^{0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      5. pow-pow 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\pi}^{\left(-1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      6. metadata-eval 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{\color{blue}{-0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

   8. Applied egg-rr 6.4%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 63.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-log1p 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]

      3. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right) \cdot {\pi}^{-0.5}}\right| \]

      4. associate-*l* 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666}, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right| \]

   10. Simplified 86.6%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]
   11. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 63.3%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-udef 6.4%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)} - 1}\right| \]

       3. *-commutative 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \color{blue}{\left({\pi}^{-0.5} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)}\right)} - 1\right| \]

       4. associate-*r* 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot {\pi}^{-0.5}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right)} - 1\right| \]

       5. metadata-eval 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot {\pi}^{\color{blue}{\left(-0.5\right)}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       6. pow-flip 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\pi}^{0.5}}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       7. pow1/2 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\pi}}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       8. div-inv 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

   12. Applied egg-rr 6.4%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1}\right| \]
   13. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 62.8%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-log1p 86.1%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right| \]

   14. Simplified 86.1%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right| \]

   15. Taylor expanded in x around inf 27.4%

       \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right| \]
   16. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 27.4%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.6666666666666666\right)}\right| \]

       2. unpow2 27.4%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

       3. associate-*r* 27.4%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right| \]

   17. Simplified 27.4%

       \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right| \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 86.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{-7}:\\ \;\;\;\;\left|x \cdot \left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right|\\ \mathbf{elif}\;x \leq 6.5 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right) - \left(x \cdot x\right) \cdot 4}{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) - x \cdot 2}\right|\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right|\\ \end{array} \]

Alternative 7: 74.6% accurate, 6.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left|x \cdot \left({\pi}^{-0.5} \cdot \frac{t_0 \cdot t_0 - 4}{t_0 - 2}\right)\right|\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot t_0\right|\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* x (* x 0.6666666666666666))))
   (if (<= x 2e+102)
     (fabs (* x (* (pow PI -0.5) (/ (- (* t_0 t_0) 4.0) (- t_0 2.0)))))
     (fabs (* (/ x (sqrt PI)) t_0)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.6666666666666666);
	double tmp;
	if (x <= 2e+102) {
		tmp = fabs((x * (pow(((double) M_PI), -0.5) * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_0 - 2.0)))));
	} else {
		tmp = fabs(((x / sqrt(((double) M_PI))) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x * (x * 0.6666666666666666);
	double tmp;
	if (x <= 2e+102) {
		tmp = Math.abs((x * (Math.pow(Math.PI, -0.5) * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_0 - 2.0)))));
	} else {
		tmp = Math.abs(((x / Math.sqrt(Math.PI)) * t_0));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x * (x * 0.6666666666666666)
	tmp = 0
	if x <= 2e+102:
		tmp = math.fabs((x * (math.pow(math.pi, -0.5) * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_0 - 2.0)))))
	else:
		tmp = math.fabs(((x / math.sqrt(math.pi)) * t_0))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x * Float64(x * 0.6666666666666666))
	tmp = 0.0
	if (x <= 2e+102)
		tmp = abs(Float64(x * Float64((pi ^ -0.5) * Float64(Float64(Float64(t_0 * t_0) - 4.0) / Float64(t_0 - 2.0)))));
	else
		tmp = abs(Float64(Float64(x / sqrt(pi)) * t_0));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x * (x * 0.6666666666666666);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2e+102)
		tmp = abs((x * ((pi ^ -0.5) * (((t_0 * t_0) - 4.0) / (t_0 - 2.0)))));
	else
		tmp = abs(((x / sqrt(pi)) * t_0));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 2e+102], N[Abs[N[(x * N[(N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision] * N[(N[(N[(t$95$0 * t$95$0), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$0 - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Abs[N[(N[(x / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.99999999999999995e102

   1. Initial program 99.8%

      \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]

      2. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right| \]

      3. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} + \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

      4. distribute-rgt-out 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(2 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot 2} + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      6. unpow1 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{1}} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      7. sqr-pow 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      8. fabs-sqr 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      9. sqr-pow 85.9%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      10. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{x}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      11. *-commutative 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}\right)\right| \]

      12. cube-mult 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

      13. associate-*l* 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right| \]

      14. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{1}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      15. sqr-pow 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      16. fabs-sqr 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      17. sqr-pow 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      18. unpow1 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{x}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      19. *-commutative 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|x\right| \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right| \]

   6. Simplified 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 63.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-udef 6.4%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]

      3. pow1/2 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\frac{1}{\pi}\right)}^{0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      4. inv-pow 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left({\pi}^{-1}\right)}}^{0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      5. pow-pow 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\pi}^{\left(-1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      6. metadata-eval 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{\color{blue}{-0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

   8. Applied egg-rr 6.4%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 63.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-log1p 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]

      3. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right) \cdot {\pi}^{-0.5}}\right| \]

      4. associate-*l* 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666}, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right| \]

   10. Simplified 86.6%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]
   11. Step-by-step derivation

       1. fma-udef 86.1%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) + 2\right)}\right| \]

       2. flip-+ 72.5%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) - 2}}\right| \]

       3. metadata-eval 72.5%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) - \color{blue}{4}}{x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) - 2}\right| \]

   12. Applied egg-rr 73.0%

       \[\leadsto \left|x \cdot \left(\color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) - 2}} \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right| \]

   if 1.99999999999999995e102 < x

   1. Initial program 99.8%

      \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]

      2. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right| \]

      3. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} + \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

      4. distribute-rgt-out 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(2 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot 2} + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      6. unpow1 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{1}} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      7. sqr-pow 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      8. fabs-sqr 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      9. sqr-pow 85.9%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      10. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{x}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      11. *-commutative 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}\right)\right| \]

      12. cube-mult 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

      13. associate-*l* 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right| \]

      14. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{1}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      15. sqr-pow 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      16. fabs-sqr 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      17. sqr-pow 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      18. unpow1 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{x}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      19. *-commutative 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|x\right| \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right| \]

   6. Simplified 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 63.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-udef 6.4%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]

      3. pow1/2 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\frac{1}{\pi}\right)}^{0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      4. inv-pow 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left({\pi}^{-1}\right)}}^{0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      5. pow-pow 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\pi}^{\left(-1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      6. metadata-eval 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{\color{blue}{-0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

   8. Applied egg-rr 6.4%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 63.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-log1p 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]

      3. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right) \cdot {\pi}^{-0.5}}\right| \]

      4. associate-*l* 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666}, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right| \]

   10. Simplified 86.6%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]
   11. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 63.3%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-udef 6.4%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)} - 1}\right| \]

       3. *-commutative 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \color{blue}{\left({\pi}^{-0.5} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)}\right)} - 1\right| \]

       4. associate-*r* 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot {\pi}^{-0.5}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right)} - 1\right| \]

       5. metadata-eval 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot {\pi}^{\color{blue}{\left(-0.5\right)}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       6. pow-flip 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\pi}^{0.5}}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       7. pow1/2 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\pi}}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       8. div-inv 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

   12. Applied egg-rr 6.4%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1}\right| \]
   13. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 62.8%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-log1p 86.1%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right| \]

   14. Simplified 86.1%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right| \]

   15. Taylor expanded in x around inf 27.4%

       \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right| \]
   16. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 27.4%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.6666666666666666\right)}\right| \]

       2. unpow2 27.4%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

       3. associate-*r* 27.4%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right| \]

   17. Simplified 27.4%

       \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right| \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 73.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left|x \cdot \left({\pi}^{-0.5} \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) - 2}\right)\right|\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right|\\ \end{array} \]

Alternative 8: 74.1% accurate, 6.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \frac{x}{\sqrt{\pi}}\\ t_1 := x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left|t_0 \cdot \frac{t_1 \cdot t_1 - 4}{t_1 - 2}\right|\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left|t_0 \cdot t_1\right|\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (/ x (sqrt PI))) (t_1 (* x (* x 0.6666666666666666))))
   (if (<= x 2e+102)
     (fabs (* t_0 (/ (- (* t_1 t_1) 4.0) (- t_1 2.0))))
     (fabs (* t_0 t_1)))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = x / sqrt(((double) M_PI));
	double t_1 = x * (x * 0.6666666666666666);
	double tmp;
	if (x <= 2e+102) {
		tmp = fabs((t_0 * (((t_1 * t_1) - 4.0) / (t_1 - 2.0))));
	} else {
		tmp = fabs((t_0 * t_1));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = x / Math.sqrt(Math.PI);
	double t_1 = x * (x * 0.6666666666666666);
	double tmp;
	if (x <= 2e+102) {
		tmp = Math.abs((t_0 * (((t_1 * t_1) - 4.0) / (t_1 - 2.0))));
	} else {
		tmp = Math.abs((t_0 * t_1));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = x / math.sqrt(math.pi)
	t_1 = x * (x * 0.6666666666666666)
	tmp = 0
	if x <= 2e+102:
		tmp = math.fabs((t_0 * (((t_1 * t_1) - 4.0) / (t_1 - 2.0))))
	else:
		tmp = math.fabs((t_0 * t_1))
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(x / sqrt(pi))
	t_1 = Float64(x * Float64(x * 0.6666666666666666))
	tmp = 0.0
	if (x <= 2e+102)
		tmp = abs(Float64(t_0 * Float64(Float64(Float64(t_1 * t_1) - 4.0) / Float64(t_1 - 2.0))));
	else
		tmp = abs(Float64(t_0 * t_1));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = x / sqrt(pi);
	t_1 = x * (x * 0.6666666666666666);
	tmp = 0.0;
	if (x <= 2e+102)
		tmp = abs((t_0 * (((t_1 * t_1) - 4.0) / (t_1 - 2.0))));
	else
		tmp = abs((t_0 * t_1));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(x * N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[x, 2e+102], N[Abs[N[(t$95$0 * N[(N[(N[(t$95$1 * t$95$1), $MachinePrecision] - 4.0), $MachinePrecision] / N[(t$95$1 - 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Abs[N[(t$95$0 * t$95$1), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.99999999999999995e102

   1. Initial program 99.8%

      \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]

      2. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right| \]

      3. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} + \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

      4. distribute-rgt-out 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(2 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot 2} + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      6. unpow1 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{1}} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      7. sqr-pow 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      8. fabs-sqr 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      9. sqr-pow 85.9%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      10. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{x}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      11. *-commutative 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}\right)\right| \]

      12. cube-mult 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

      13. associate-*l* 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right| \]

      14. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{1}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      15. sqr-pow 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      16. fabs-sqr 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      17. sqr-pow 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      18. unpow1 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{x}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      19. *-commutative 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|x\right| \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right| \]

   6. Simplified 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 63.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-udef 6.4%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]

      3. pow1/2 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\frac{1}{\pi}\right)}^{0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      4. inv-pow 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left({\pi}^{-1}\right)}}^{0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      5. pow-pow 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\pi}^{\left(-1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      6. metadata-eval 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{\color{blue}{-0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

   8. Applied egg-rr 6.4%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 63.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-log1p 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]

      3. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right) \cdot {\pi}^{-0.5}}\right| \]

      4. associate-*l* 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666}, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right| \]

   10. Simplified 86.6%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]
   11. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 63.3%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-udef 6.4%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)} - 1}\right| \]

       3. *-commutative 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \color{blue}{\left({\pi}^{-0.5} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)}\right)} - 1\right| \]

       4. associate-*r* 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot {\pi}^{-0.5}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right)} - 1\right| \]

       5. metadata-eval 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot {\pi}^{\color{blue}{\left(-0.5\right)}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       6. pow-flip 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\pi}^{0.5}}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       7. pow1/2 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\pi}}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       8. div-inv 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

   12. Applied egg-rr 6.4%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1}\right| \]
   13. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 62.8%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-log1p 86.1%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right| \]

   14. Simplified 86.1%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right| \]
   15. Step-by-step derivation

       1. fma-udef 86.1%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) + 2\right)}\right| \]

       2. flip-+ 72.5%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) - 2 \cdot 2}{x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) - 2}}\right| \]

       3. metadata-eval 72.5%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) - \color{blue}{4}}{x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) - 2}\right| \]

   16. Applied egg-rr 72.5%

       \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) - 2}}\right| \]

   if 1.99999999999999995e102 < x

   1. Initial program 99.8%

      \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]

      2. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right| \]

      3. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} + \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

      4. distribute-rgt-out 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(2 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot 2} + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      6. unpow1 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{1}} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      7. sqr-pow 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      8. fabs-sqr 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      9. sqr-pow 85.9%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      10. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{x}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      11. *-commutative 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}\right)\right| \]

      12. cube-mult 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

      13. associate-*l* 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right| \]

      14. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{1}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      15. sqr-pow 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      16. fabs-sqr 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      17. sqr-pow 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      18. unpow1 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{x}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      19. *-commutative 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|x\right| \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right| \]

   6. Simplified 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 63.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-udef 6.4%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]

      3. pow1/2 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\frac{1}{\pi}\right)}^{0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      4. inv-pow 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left({\pi}^{-1}\right)}}^{0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      5. pow-pow 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\pi}^{\left(-1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      6. metadata-eval 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{\color{blue}{-0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

   8. Applied egg-rr 6.4%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 63.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-log1p 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]

      3. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right) \cdot {\pi}^{-0.5}}\right| \]

      4. associate-*l* 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666}, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right| \]

   10. Simplified 86.6%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]
   11. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 63.3%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-udef 6.4%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)} - 1}\right| \]

       3. *-commutative 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \color{blue}{\left({\pi}^{-0.5} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)}\right)} - 1\right| \]

       4. associate-*r* 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot {\pi}^{-0.5}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right)} - 1\right| \]

       5. metadata-eval 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot {\pi}^{\color{blue}{\left(-0.5\right)}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       6. pow-flip 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\pi}^{0.5}}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       7. pow1/2 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\pi}}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       8. div-inv 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

   12. Applied egg-rr 6.4%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1}\right| \]
   13. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 62.8%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-log1p 86.1%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right| \]

   14. Simplified 86.1%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right| \]

   15. Taylor expanded in x around inf 27.4%

       \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right| \]
   16. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 27.4%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.6666666666666666\right)}\right| \]

       2. unpow2 27.4%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

       3. associate-*r* 27.4%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right| \]

   17. Simplified 27.4%

       \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right| \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 72.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;\left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right) - 4}{x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) - 2}\right|\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right|\\ \end{array} \]

Alternative 9: 89.6% accurate, 6.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right| \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fabs (* (sqrt (/ 1.0 PI)) (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.6666666666666666)))))))

C

double code(double x) {
	return fabs((sqrt((1.0 / ((double) M_PI))) * (x * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.abs((Math.sqrt((1.0 / Math.PI)) * (x * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666))))));
}

Python

def code(x):
	return math.fabs((math.sqrt((1.0 / math.pi)) * (x * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666))))))

Julia

function code(x)
	return abs(Float64(sqrt(Float64(1.0 / pi)) * Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.6666666666666666))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = abs((sqrt((1.0 / pi)) * (x * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[Abs[N[(N[Sqrt[N[(1.0 / Pi), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

4. Taylor expanded in x around 0 86.6%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]

   2. associate-*r* 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right| \]

   3. associate-*r* 86.6%

      \[\leadsto \left|\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} + \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

   4. distribute-rgt-out 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(2 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}\right| \]

   5. *-commutative 86.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot 2} + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   6. unpow1 86.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{1}} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   7. sqr-pow 33.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   8. fabs-sqr 33.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   9. sqr-pow 85.9%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   10. unpow1 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{x}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   11. *-commutative 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}\right)\right| \]

   12. cube-mult 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

   13. associate-*l* 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right| \]

   14. unpow1 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{1}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   15. sqr-pow 33.8%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   16. fabs-sqr 33.8%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   17. sqr-pow 86.6%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   18. unpow1 86.6%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{x}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   19. *-commutative 86.6%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|x\right| \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right| \]

6. Simplified 86.6%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]
7. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 86.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right) + 2\right)}\right)\right| \]

8. Applied egg-rr 86.6%

   \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.6666666666666666 \cdot x\right) + 2\right)}\right)\right| \]

9. Final simplification 86.6%

   \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right| \]

Alternative 10: 89.6% accurate, 6.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left|x \cdot \left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right| \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fabs (* x (* (pow PI -0.5) (+ 2.0 (* x (* x 0.6666666666666666)))))))

C

double code(double x) {
	return fabs((x * (pow(((double) M_PI), -0.5) * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666))))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.abs((x * (Math.pow(Math.PI, -0.5) * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666))))));
}

Python

def code(x):
	return math.fabs((x * (math.pow(math.pi, -0.5) * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666))))))

Julia

function code(x)
	return abs(Float64(x * Float64((pi ^ -0.5) * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.6666666666666666))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = abs((x * ((pi ^ -0.5) * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666))))));
end

Wolfram

code[x_] := N[Abs[N[(x * N[(N[Power[Pi, -0.5], $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

4. Taylor expanded in x around 0 86.6%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]

   2. associate-*r* 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right| \]

   3. associate-*r* 86.6%

      \[\leadsto \left|\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} + \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

   4. distribute-rgt-out 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(2 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}\right| \]

   5. *-commutative 86.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot 2} + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   6. unpow1 86.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{1}} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   7. sqr-pow 33.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   8. fabs-sqr 33.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   9. sqr-pow 85.9%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   10. unpow1 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{x}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   11. *-commutative 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}\right)\right| \]

   12. cube-mult 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

   13. associate-*l* 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right| \]

   14. unpow1 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{1}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   15. sqr-pow 33.8%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   16. fabs-sqr 33.8%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   17. sqr-pow 86.6%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   18. unpow1 86.6%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{x}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   19. *-commutative 86.6%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|x\right| \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right| \]

6. Simplified 86.6%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]
7. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 63.3%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

   2. expm1-udef 6.4%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]

   3. pow1/2 6.4%

      \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\frac{1}{\pi}\right)}^{0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

   4. inv-pow 6.4%

      \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left({\pi}^{-1}\right)}}^{0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

   5. pow-pow 6.4%

      \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\pi}^{\left(-1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

   6. metadata-eval 6.4%

      \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{\color{blue}{-0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

8. Applied egg-rr 6.4%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]
9. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 63.3%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

   2. expm1-log1p 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]

   3. *-commutative 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right) \cdot {\pi}^{-0.5}}\right| \]

   4. associate-*l* 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]

   5. *-commutative 86.6%

      \[\leadsto \left|x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666}, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right| \]

10. Simplified 86.6%

    \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]
11. Step-by-step derivation

    1. fma-udef 86.1%

       \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) + 2\right)}\right| \]

12. Applied egg-rr 86.6%

    \[\leadsto \left|x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) + 2\right)} \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right| \]

13. Final simplification 86.6%

    \[\leadsto \left|x \cdot \left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right)\right| \]

Alternative 11: 67.7% accurate, 6.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.75:\\ \;\;\;\;\left|x \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}\right|\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right|\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1.75)
   (fabs (* x (/ 2.0 (sqrt PI))))
   (fabs (* (/ x (sqrt PI)) (* x (* x 0.6666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.75) {
		tmp = fabs((x * (2.0 / sqrt(((double) M_PI)))));
	} else {
		tmp = fabs(((x / sqrt(((double) M_PI))) * (x * (x * 0.6666666666666666))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1.75) {
		tmp = Math.abs((x * (2.0 / Math.sqrt(Math.PI))));
	} else {
		tmp = Math.abs(((x / Math.sqrt(Math.PI)) * (x * (x * 0.6666666666666666))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1.75:
		tmp = math.fabs((x * (2.0 / math.sqrt(math.pi))))
	else:
		tmp = math.fabs(((x / math.sqrt(math.pi)) * (x * (x * 0.6666666666666666))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1.75)
		tmp = abs(Float64(x * Float64(2.0 / sqrt(pi))));
	else
		tmp = abs(Float64(Float64(x / sqrt(pi)) * Float64(x * Float64(x * 0.6666666666666666))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1.75)
		tmp = abs((x * (2.0 / sqrt(pi))));
	else
		tmp = abs(((x / sqrt(pi)) * (x * (x * 0.6666666666666666))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1.75], N[Abs[N[(x * N[(2.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Abs[N[(N[(x / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(x * N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 1.75

   1. Initial program 99.8%

      \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 64.8%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 65.1%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

   6. Simplified 65.1%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 62.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-udef 6.0%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)} - 1}\right| \]

      3. *-commutative 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot 2\right)} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)} - 1\right| \]

      4. pow1/2 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{\pi}\right)}^{0.5}}\right)} - 1\right| \]

      5. inv-pow 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\color{blue}{\left({\pi}^{-1}\right)}}^{0.5}\right)} - 1\right| \]

      6. pow-pow 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{{\pi}^{\left(-1 \cdot 0.5\right)}}\right)} - 1\right| \]

      7. metadata-eval 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{\color{blue}{-0.5}}\right)} - 1\right| \]

   8. Applied egg-rr 6.0%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)} - 1}\right| \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 62.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-log1p 65.1%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}}\right| \]

      3. associate-*l* 64.8%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]

   10. Simplified 64.8%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]
   11. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 62.6%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-udef 6.0%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)} - 1}\right| \]

       3. *-commutative 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \color{blue}{\left({\pi}^{-0.5} \cdot 2\right)}\right)} - 1\right| \]

       4. associate-*r* 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot {\pi}^{-0.5}\right) \cdot 2}\right)} - 1\right| \]

       5. metadata-eval 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot {\pi}^{\color{blue}{\left(-0.5\right)}}\right) \cdot 2\right)} - 1\right| \]

       6. pow-flip 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\pi}^{0.5}}}\right) \cdot 2\right)} - 1\right| \]

       7. pow1/2 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\pi}}}\right) \cdot 2\right)} - 1\right| \]

       8. div-inv 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot 2\right)} - 1\right| \]

   12. Applied egg-rr 6.0%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2\right)} - 1}\right| \]
   13. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 62.1%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-log1p 64.3%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2}\right| \]

       3. associate-*l/ 64.6%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

   14. Simplified 64.6%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]
   15. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 62.1%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-udef 6.0%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}\right)} - 1}\right| \]

       3. *-commutative 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{\sqrt{\pi}}\right)} - 1\right| \]

       4. *-un-lft-identity 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{\pi}}}\right)} - 1\right| \]

       5. times-frac 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{2}{1} \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}}\right)} - 1\right| \]

       6. metadata-eval 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}\right)} - 1\right| \]

   16. Applied egg-rr 6.0%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(2 \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}\right)} - 1}\right| \]
   17. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 62.1%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(2 \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-log1p 64.3%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

       3. *-commutative 64.3%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2}\right| \]

       4. associate-*l/ 64.6%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

       5. associate-*r/ 64.8%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

   18. Simplified 64.8%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

   if 1.75 < x

   1. Initial program 99.8%

      \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
   5. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]

      2. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right| \]

      3. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \left|\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} + \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

      4. distribute-rgt-out 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(2 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot 2} + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      6. unpow1 86.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{1}} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      7. sqr-pow 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      8. fabs-sqr 33.6%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      9. sqr-pow 85.9%

         \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      10. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{x}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

      11. *-commutative 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}\right)\right| \]

      12. cube-mult 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

      13. associate-*l* 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right| \]

      14. unpow1 85.9%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{1}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      15. sqr-pow 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      16. fabs-sqr 33.8%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      17. sqr-pow 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      18. unpow1 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{x}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

      19. *-commutative 86.6%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|x\right| \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right| \]

   6. Simplified 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 63.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-udef 6.4%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]

      3. pow1/2 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\frac{1}{\pi}\right)}^{0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      4. inv-pow 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left({\pi}^{-1}\right)}}^{0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      5. pow-pow 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\pi}^{\left(-1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

      6. metadata-eval 6.4%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{\color{blue}{-0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

   8. Applied egg-rr 6.4%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 63.3%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-log1p 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]

      3. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right) \cdot {\pi}^{-0.5}}\right| \]

      4. associate-*l* 86.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]

      5. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \left|x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666}, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right| \]

   10. Simplified 86.6%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]
   11. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 63.3%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-udef 6.4%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)} - 1}\right| \]

       3. *-commutative 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \color{blue}{\left({\pi}^{-0.5} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)}\right)} - 1\right| \]

       4. associate-*r* 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot {\pi}^{-0.5}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right)} - 1\right| \]

       5. metadata-eval 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot {\pi}^{\color{blue}{\left(-0.5\right)}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       6. pow-flip 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\pi}^{0.5}}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       7. pow1/2 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\pi}}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

       8. div-inv 6.4%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

   12. Applied egg-rr 6.4%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1}\right| \]
   13. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 62.8%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-log1p 86.1%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right| \]

   14. Simplified 86.1%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right| \]

   15. Taylor expanded in x around inf 27.4%

       \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}\right| \]
   16. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 27.4%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left({x}^{2} \cdot 0.6666666666666666\right)}\right| \]

       2. unpow2 27.4%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

       3. associate-*r* 27.4%

          \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right| \]

   17. Simplified 27.4%

       \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)}\right| \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 1.75:\\ \;\;\;\;\left|x \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}\right|\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right|\\ \end{array} \]

Alternative 12: 89.1% accurate, 6.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (fabs (* (/ x (sqrt PI)) (+ 2.0 (* x (* x 0.6666666666666666))))))

C

double code(double x) {
	return fabs(((x / sqrt(((double) M_PI))) * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666)))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.abs(((x / Math.sqrt(Math.PI)) * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666)))));
}

Python

def code(x):
	return math.fabs(((x / math.sqrt(math.pi)) * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666)))))

Julia

function code(x)
	return abs(Float64(Float64(x / sqrt(pi)) * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.6666666666666666)))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = abs(((x / sqrt(pi)) * (2.0 + (x * (x * 0.6666666666666666)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[Abs[N[(N[(x / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

4. Taylor expanded in x around 0 86.6%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]

   2. associate-*r* 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}} + 0.6666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right| \]

   3. associate-*r* 86.6%

      \[\leadsto \left|\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}} + \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

   4. distribute-rgt-out 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(2 \cdot x + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)}\right| \]

   5. *-commutative 86.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{x \cdot 2} + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   6. unpow1 86.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{1}} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   7. sqr-pow 33.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   8. fabs-sqr 33.6%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   9. sqr-pow 85.9%

      \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   10. unpow1 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|\color{blue}{x}\right| \cdot 2 + 0.6666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)\right| \]

   11. *-commutative 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.6666666666666666}\right)\right| \]

   12. cube-mult 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot 0.6666666666666666\right)\right| \]

   13. associate-*l* 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)}\right)\right| \]

   14. unpow1 85.9%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{{x}^{1}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   15. sqr-pow 33.8%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left({x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   16. fabs-sqr 33.8%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \color{blue}{\left|{x}^{\left(\frac{1}{2}\right)} \cdot {x}^{\left(\frac{1}{2}\right)}\right|} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   17. sqr-pow 86.6%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{{x}^{1}}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   18. unpow1 86.6%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|\color{blue}{x}\right| \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

   19. *-commutative 86.6%

       \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(\left|x\right| \cdot 2 + \left|x\right| \cdot \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right| \]

6. Simplified 86.6%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]
7. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 63.3%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

   2. expm1-udef 6.4%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\frac{1}{\pi}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]

   3. pow1/2 6.4%

      \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\left(\frac{1}{\pi}\right)}^{0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

   4. inv-pow 6.4%

      \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\color{blue}{\left({\pi}^{-1}\right)}}^{0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

   5. pow-pow 6.4%

      \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{\pi}^{\left(-1 \cdot 0.5\right)}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

   6. metadata-eval 6.4%

      \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{\color{blue}{-0.5}} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1\right| \]

8. Applied egg-rr 6.4%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)} - 1}\right| \]
9. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 63.3%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left({\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)\right)\right)}\right| \]

   2. expm1-log1p 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{{\pi}^{-0.5} \cdot \left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right)}\right| \]

   3. *-commutative 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(x \cdot \mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right)\right) \cdot {\pi}^{-0.5}}\right| \]

   4. associate-*l* 86.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, 0.6666666666666666 \cdot x, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]

   5. *-commutative 86.6%

      \[\leadsto \left|x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, \color{blue}{x \cdot 0.6666666666666666}, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right| \]

10. Simplified 86.6%

    \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]
11. Step-by-step derivation

    1. expm1-log1p-u 63.3%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)\right)}\right| \]

    2. expm1-udef 6.4%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)} - 1}\right| \]

    3. *-commutative 6.4%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \color{blue}{\left({\pi}^{-0.5} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)}\right)} - 1\right| \]

    4. associate-*r* 6.4%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot {\pi}^{-0.5}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right)} - 1\right| \]

    5. metadata-eval 6.4%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot {\pi}^{\color{blue}{\left(-0.5\right)}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

    6. pow-flip 6.4%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\pi}^{0.5}}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

    7. pow1/2 6.4%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\pi}}}\right) \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

    8. div-inv 6.4%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1\right| \]

12. Applied egg-rr 6.4%

    \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)} - 1}\right| \]
13. Step-by-step derivation

    1. expm1-def 62.8%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)\right)\right)}\right| \]

    2. expm1-log1p 86.1%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right| \]

14. Simplified 86.1%

    \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.6666666666666666, 2\right)}\right| \]
15. Step-by-step derivation

    1. fma-udef 86.1%

       \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) + 2\right)}\right| \]

16. Applied egg-rr 86.1%

    \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right) + 2\right)}\right| \]

17. Final simplification 86.1%

    \[\leadsto \left|\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.6666666666666666\right)\right)\right| \]

Alternative 13: 67.7% accurate, 6.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 10^{+118}:\\ \;\;\;\;\left|x \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}\right|\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left|\sqrt{\frac{x \cdot x}{\frac{\pi}{4}}}\right|\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 1e+118)
   (fabs (* x (/ 2.0 (sqrt PI))))
   (fabs (sqrt (/ (* x x) (/ PI 4.0))))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1e+118) {
		tmp = fabs((x * (2.0 / sqrt(((double) M_PI)))));
	} else {
		tmp = fabs(sqrt(((x * x) / (((double) M_PI) / 4.0))));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 1e+118) {
		tmp = Math.abs((x * (2.0 / Math.sqrt(Math.PI))));
	} else {
		tmp = Math.abs(Math.sqrt(((x * x) / (Math.PI / 4.0))));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 1e+118:
		tmp = math.fabs((x * (2.0 / math.sqrt(math.pi))))
	else:
		tmp = math.fabs(math.sqrt(((x * x) / (math.pi / 4.0))))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 1e+118)
		tmp = abs(Float64(x * Float64(2.0 / sqrt(pi))));
	else
		tmp = abs(sqrt(Float64(Float64(x * x) / Float64(pi / 4.0))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 1e+118)
		tmp = abs((x * (2.0 / sqrt(pi))));
	else
		tmp = abs(sqrt(((x * x) / (pi / 4.0))));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 1e+118], N[Abs[N[(x * N[(2.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], N[Abs[N[Sqrt[N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[(Pi / 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 9.99999999999999967e117

   1. Initial program 99.8%

      \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 64.8%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 65.1%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

   6. Simplified 65.1%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 62.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-udef 6.0%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)} - 1}\right| \]

      3. *-commutative 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot 2\right)} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)} - 1\right| \]

      4. pow1/2 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{\pi}\right)}^{0.5}}\right)} - 1\right| \]

      5. inv-pow 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\color{blue}{\left({\pi}^{-1}\right)}}^{0.5}\right)} - 1\right| \]

      6. pow-pow 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{{\pi}^{\left(-1 \cdot 0.5\right)}}\right)} - 1\right| \]

      7. metadata-eval 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{\color{blue}{-0.5}}\right)} - 1\right| \]

   8. Applied egg-rr 6.0%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)} - 1}\right| \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 62.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-log1p 65.1%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}}\right| \]

      3. associate-*l* 64.8%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]

   10. Simplified 64.8%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]
   11. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 62.6%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-udef 6.0%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)} - 1}\right| \]

       3. *-commutative 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \color{blue}{\left({\pi}^{-0.5} \cdot 2\right)}\right)} - 1\right| \]

       4. associate-*r* 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot {\pi}^{-0.5}\right) \cdot 2}\right)} - 1\right| \]

       5. metadata-eval 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot {\pi}^{\color{blue}{\left(-0.5\right)}}\right) \cdot 2\right)} - 1\right| \]

       6. pow-flip 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\pi}^{0.5}}}\right) \cdot 2\right)} - 1\right| \]

       7. pow1/2 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\pi}}}\right) \cdot 2\right)} - 1\right| \]

       8. div-inv 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot 2\right)} - 1\right| \]

   12. Applied egg-rr 6.0%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2\right)} - 1}\right| \]
   13. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 62.1%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-log1p 64.3%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2}\right| \]

       3. associate-*l/ 64.6%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

   14. Simplified 64.6%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]
   15. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 62.1%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-udef 6.0%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}\right)} - 1}\right| \]

       3. *-commutative 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{\sqrt{\pi}}\right)} - 1\right| \]

       4. *-un-lft-identity 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{\pi}}}\right)} - 1\right| \]

       5. times-frac 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{2}{1} \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}}\right)} - 1\right| \]

       6. metadata-eval 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}\right)} - 1\right| \]

   16. Applied egg-rr 6.0%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(2 \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}\right)} - 1}\right| \]
   17. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 62.1%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(2 \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-log1p 64.3%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

       3. *-commutative 64.3%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2}\right| \]

       4. associate-*l/ 64.6%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

       5. associate-*r/ 64.8%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

   18. Simplified 64.8%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

   if 9.99999999999999967e117 < x

   1. Initial program 99.8%

      \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

   3. Simplified 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

   4. Taylor expanded in x around 0 64.8%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 65.1%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

   6. Simplified 65.1%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u 62.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-udef 6.0%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)} - 1}\right| \]

      3. *-commutative 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot 2\right)} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)} - 1\right| \]

      4. pow1/2 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{\pi}\right)}^{0.5}}\right)} - 1\right| \]

      5. inv-pow 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\color{blue}{\left({\pi}^{-1}\right)}}^{0.5}\right)} - 1\right| \]

      6. pow-pow 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{{\pi}^{\left(-1 \cdot 0.5\right)}}\right)} - 1\right| \]

      7. metadata-eval 6.0%

         \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{\color{blue}{-0.5}}\right)} - 1\right| \]

   8. Applied egg-rr 6.0%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)} - 1}\right| \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 62.6%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)}\right| \]

      2. expm1-log1p 65.1%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}}\right| \]

      3. associate-*l* 64.8%

         \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]

   10. Simplified 64.8%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]
   11. Step-by-step derivation

       1. expm1-log1p-u 62.6%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-udef 6.0%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)} - 1}\right| \]

       3. *-commutative 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \color{blue}{\left({\pi}^{-0.5} \cdot 2\right)}\right)} - 1\right| \]

       4. associate-*r* 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot {\pi}^{-0.5}\right) \cdot 2}\right)} - 1\right| \]

       5. metadata-eval 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot {\pi}^{\color{blue}{\left(-0.5\right)}}\right) \cdot 2\right)} - 1\right| \]

       6. pow-flip 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\pi}^{0.5}}}\right) \cdot 2\right)} - 1\right| \]

       7. pow1/2 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\pi}}}\right) \cdot 2\right)} - 1\right| \]

       8. div-inv 6.0%

          \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot 2\right)} - 1\right| \]

   12. Applied egg-rr 6.0%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2\right)} - 1}\right| \]
   13. Step-by-step derivation

       1. expm1-def 62.1%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2\right)\right)}\right| \]

       2. expm1-log1p 64.3%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2}\right| \]

       3. associate-*l/ 64.6%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

   14. Simplified 64.6%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]
   15. Step-by-step derivation

       1. add-sqr-sqrt 33.0%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}} \cdot \sqrt{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}}}\right| \]

       2. sqrt-unprod 48.2%

          \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}} \cdot \frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}}}\right| \]

       3. frac-times 48.2%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\color{blue}{\frac{\left(x \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot 2\right)}{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}}}}\right| \]

       4. *-commutative 48.2%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{\color{blue}{\left(2 \cdot x\right)} \cdot \left(x \cdot 2\right)}{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}}}\right| \]

       5. *-commutative 48.2%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{\left(2 \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot x\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}}}\right| \]

       6. swap-sqr 48.2%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}}{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}}}\right| \]

       7. metadata-eval 48.2%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{\color{blue}{4} \cdot \left(x \cdot x\right)}{\sqrt{\pi} \cdot \sqrt{\pi}}}\right| \]

       8. add-sqr-sqrt 48.3%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{4 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{\pi}}}\right| \]

   16. Applied egg-rr 48.3%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{4 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\pi}}}\right| \]
   17. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 48.3%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\frac{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 4}}{\pi}}\right| \]

       2. associate-/l* 48.3%

          \[\leadsto \left|\sqrt{\color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{\pi}{4}}}}\right| \]

   18. Simplified 48.3%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\sqrt{\frac{x \cdot x}{\frac{\pi}{4}}}}\right| \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 64.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 10^{+118}:\\ \;\;\;\;\left|x \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}\right|\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left|\sqrt{\frac{x \cdot x}{\frac{\pi}{4}}}\right|\\ \end{array} \]

Alternative 14: 67.7% accurate, 6.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left|x \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}\right| \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (fabs (* x (/ 2.0 (sqrt PI)))))

C

double code(double x) {
	return fabs((x * (2.0 / sqrt(((double) M_PI)))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.abs((x * (2.0 / Math.sqrt(Math.PI))));
}

Python

def code(x):
	return math.fabs((x * (2.0 / math.sqrt(math.pi))))

Julia

function code(x)
	return abs(Float64(x * Float64(2.0 / sqrt(pi))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = abs((x * (2.0 / sqrt(pi))));
end

Wolfram

code[x_] := N[Abs[N[(x * N[(2.0 / N[Sqrt[Pi], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left|\frac{1}{\sqrt{\pi}} \cdot \left(\left(\left(2 \cdot \left|x\right| + \frac{2}{3} \cdot \left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{5} \cdot \left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right) + \frac{1}{21} \cdot \left(\left(\left(\left(\left(\left(\left|x\right| \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right) \cdot \left|x\right|\right)\right)\right| \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left|\frac{\mathsf{fma}\left(2, x, \mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.047619047619047616, {x}^{7}, 0.2 \cdot {x}^{5}\right)\right)\right)}{\sqrt{\pi}}\right|} \]

4. Taylor expanded in x around 0 64.8%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \left(x \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)}\right| \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 65.1%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]

6. Simplified 65.1%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}}\right| \]
7. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 62.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)\right)}\right| \]

   2. expm1-udef 6.0%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\left(2 \cdot x\right) \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)} - 1}\right| \]

   3. *-commutative 6.0%

      \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot 2\right)} \cdot \sqrt{\frac{1}{\pi}}\right)} - 1\right| \]

   4. pow1/2 6.0%

      \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{{\left(\frac{1}{\pi}\right)}^{0.5}}\right)} - 1\right| \]

   5. inv-pow 6.0%

      \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\color{blue}{\left({\pi}^{-1}\right)}}^{0.5}\right)} - 1\right| \]

   6. pow-pow 6.0%

      \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot \color{blue}{{\pi}^{\left(-1 \cdot 0.5\right)}}\right)} - 1\right| \]

   7. metadata-eval 6.0%

      \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{\color{blue}{-0.5}}\right)} - 1\right| \]

8. Applied egg-rr 6.0%

   \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)} - 1}\right| \]
9. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 62.6%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)}\right| \]

   2. expm1-log1p 65.1%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{\left(x \cdot 2\right) \cdot {\pi}^{-0.5}}\right| \]

   3. associate-*l* 64.8%

      \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]

10. Simplified 64.8%

    \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)}\right| \]
11. Step-by-step derivation

    1. expm1-log1p-u 62.6%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)\right)}\right| \]

    2. expm1-udef 6.0%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(2 \cdot {\pi}^{-0.5}\right)\right)} - 1}\right| \]

    3. *-commutative 6.0%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(x \cdot \color{blue}{\left({\pi}^{-0.5} \cdot 2\right)}\right)} - 1\right| \]

    4. associate-*r* 6.0%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot {\pi}^{-0.5}\right) \cdot 2}\right)} - 1\right| \]

    5. metadata-eval 6.0%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot {\pi}^{\color{blue}{\left(-0.5\right)}}\right) \cdot 2\right)} - 1\right| \]

    6. pow-flip 6.0%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \color{blue}{\frac{1}{{\pi}^{0.5}}}\right) \cdot 2\right)} - 1\right| \]

    7. pow1/2 6.0%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\left(x \cdot \frac{1}{\color{blue}{\sqrt{\pi}}}\right) \cdot 2\right)} - 1\right| \]

    8. div-inv 6.0%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}}} \cdot 2\right)} - 1\right| \]

12. Applied egg-rr 6.0%

    \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2\right)} - 1}\right| \]
13. Step-by-step derivation

    1. expm1-def 62.1%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2\right)\right)}\right| \]

    2. expm1-log1p 64.3%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2}\right| \]

    3. associate-*l/ 64.6%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

14. Simplified 64.6%

    \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]
15. Step-by-step derivation

    1. expm1-log1p-u 62.1%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}\right)\right)}\right| \]

    2. expm1-udef 6.0%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}\right)} - 1}\right| \]

    3. *-commutative 6.0%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{\sqrt{\pi}}\right)} - 1\right| \]

    4. *-un-lft-identity 6.0%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot x}{\color{blue}{1 \cdot \sqrt{\pi}}}\right)} - 1\right| \]

    5. times-frac 6.0%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\frac{2}{1} \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}}\right)} - 1\right| \]

    6. metadata-eval 6.0%

       \[\leadsto \left|e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{2} \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}\right)} - 1\right| \]

16. Applied egg-rr 6.0%

    \[\leadsto \left|\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(2 \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}\right)} - 1}\right| \]
17. Step-by-step derivation

    1. expm1-def 62.1%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(2 \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}\right)\right)}\right| \]

    2. expm1-log1p 64.3%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{2 \cdot \frac{x}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

    3. *-commutative 64.3%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x}{\sqrt{\pi}} \cdot 2}\right| \]

    4. associate-*l/ 64.6%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{\frac{x \cdot 2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

    5. associate-*r/ 64.8%

       \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

18. Simplified 64.8%

    \[\leadsto \left|\color{blue}{x \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}}\right| \]

19. Final simplification 64.8%

    \[\leadsto \left|x \cdot \frac{2}{\sqrt{\pi}}\right| \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023201 
(FPCore (x)
  :name "Jmat.Real.erfi, branch x less than or equal to 0.5"
  :precision binary64
  :pre (<= x 0.5)
  (fabs (* (/ 1.0 (sqrt PI)) (+ (+ (+ (* 2.0 (fabs x)) (* (/ 2.0 3.0) (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1.0 5.0) (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))) (* (/ 1.0 21.0) (* (* (* (* (* (* (fabs x) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)) (fabs x)))))))