normal distribution

Percentage Accurate: 99.4% → 99.6%

Time: 11.0s

Alternatives: 3

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(0 \leq u1 \land u1 \leq 1\right) \land \left(0 \leq u2 \land u2 \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 0.5)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (((1.0 / 6.0) * math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 0.5)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (((1.0 / 6.0) * ((-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Initial Program: 99.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+
  (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2)))
  0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * pow((-2.0 * log(u1)), 0.5)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (((1.0 / 6.0) * Math.pow((-2.0 * Math.log(u1)), 0.5)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (((1.0 / 6.0) * math.pow((-2.0 * math.log(u1)), 0.5)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(Float64(Float64(1.0 / 6.0) * (Float64(-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (((1.0 / 6.0) * ((-2.0 * log(u1)) ^ 0.5)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[(N[(1.0 / 6.0), $MachinePrecision] * N[Power[N[(-2.0 * N[Log[u1], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 0.5], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+ (* (sqrt (* (log u1) -0.05555555555555555)) (cos (* (* 2.0 PI) u2))) 0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return (sqrt((log(u1) * -0.05555555555555555)) * cos(((2.0 * ((double) M_PI)) * u2))) + 0.5;
}

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return (Math.sqrt((Math.log(u1) * -0.05555555555555555)) * Math.cos(((2.0 * Math.PI) * u2))) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return (math.sqrt((math.log(u1) * -0.05555555555555555)) * math.cos(((2.0 * math.pi) * u2))) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(Float64(sqrt(Float64(log(u1) * -0.05555555555555555)) * cos(Float64(Float64(2.0 * pi) * u2))) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = (sqrt((log(u1) * -0.05555555555555555)) * cos(((2.0 * pi) * u2))) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[(N[Sqrt[N[(N[Log[u1], $MachinePrecision] * -0.05555555555555555), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[Cos[N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] * u2), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.3%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}} \cdot \sqrt{\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   2. sqrt-unprod 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   3. pow1/2 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{\left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\sqrt{-2 \cdot \log u1}}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   4. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   5. pow1/2 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \color{blue}{\sqrt{-2 \cdot \log u1}}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   6. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \frac{1}{6}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   7. swap-sqr 99.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   8. add-sqr-sqrt 99.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(-2 \cdot \log u1\right)} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   9. metadata-eval 99.6%

      \[\leadsto \sqrt{\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(\color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \frac{1}{6}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   10. metadata-eval 99.6%

       \[\leadsto \sqrt{\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   11. metadata-eval 99.6%

       \[\leadsto \sqrt{\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

3. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(-2 \cdot \log u1\right) \cdot 0.027777777777777776}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
4. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\log u1 \cdot -2\right)} \cdot 0.027777777777777776} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   2. associate-*l* 99.6%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log u1 \cdot \left(-2 \cdot 0.027777777777777776\right)}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   3. metadata-eval 99.6%

      \[\leadsto \sqrt{\log u1 \cdot \color{blue}{-0.05555555555555555}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

5. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555}} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

6. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto \sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

Alternative 2: 98.4% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.5 + \sqrt{\log \left({u1}^{-0.05555555555555555}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+ 0.5 (sqrt (log (pow u1 -0.05555555555555555)))))

C

double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + sqrt(log(pow(u1, -0.05555555555555555)));
}

Fortran

real(8) function code(u1, u2)
    real(8), intent (in) :: u1
    real(8), intent (in) :: u2
    code = 0.5d0 + sqrt(log((u1 ** (-0.05555555555555555d0))))
end function

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return 0.5 + Math.sqrt(Math.log(Math.pow(u1, -0.05555555555555555)));
}

Python

def code(u1, u2):
	return 0.5 + math.sqrt(math.log(math.pow(u1, -0.05555555555555555)))

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(0.5 + sqrt(log((u1 ^ -0.05555555555555555))))
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = 0.5 + sqrt(log((u1 ^ -0.05555555555555555)));
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(0.5 + N[Sqrt[N[Log[N[Power[u1, -0.05555555555555555], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.3%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot \frac{1}{6}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   2. associate-*l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\right)} + 0.5 \]

   3. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}, \frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right), 0.5\right)} \]

   4. unpow1/2 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{-2 \cdot \log u1}}, \frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right), 0.5\right) \]

   5. metadata-eval 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}, \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right), 0.5\right) \]

   6. associate-*l* 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}, 0.16666666666666666 \cdot \cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}, 0.5\right) \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}, 0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right), 0.5\right)} \]

4. Taylor expanded in u2 around 0 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}, 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{1}, 0.5\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}, \color{blue}{0.16666666666666666}, 0.5\right) \]

   2. fma-udef 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot 0.16666666666666666 + 0.5} \]

   3. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}} + 0.5 \]

   4. flip-+ 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5}} \]

   5. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \frac{\left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot 0.16666666666666666\right)} - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   6. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot 0.16666666666666666\right) - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   7. swap-sqr 98.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   8. add-sqr-sqrt 99.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-2 \cdot \log u1\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   9. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\log u1 \cdot -2\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   10. metadata-eval 99.0%

       \[\leadsto \frac{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776} - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   11. metadata-eval 99.0%

       \[\leadsto \frac{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776 - \color{blue}{0.25}}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   12. *-commutative 99.0%

       \[\leadsto \frac{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776 - 0.25}{\color{blue}{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot 0.16666666666666666} - 0.5} \]

   13. *-commutative 99.0%

       \[\leadsto \frac{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776 - 0.25}{\sqrt{\color{blue}{\log u1 \cdot -2}} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776 - 0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-sub 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} - \frac{0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5}} \]

   2. add-sqr-sqrt 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776} \cdot \sqrt{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776}}}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} - \frac{0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

   3. pow2 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776}\right)}^{2}}}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} - \frac{0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

   4. sqrt-prod 98.9%

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot \sqrt{0.027777777777777776}\right)}}^{2}}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} - \frac{0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

   5. metadata-eval 98.9%

      \[\leadsto \frac{{\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right)}^{2}}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} - \frac{0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

   6. pow2 98.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} - \frac{0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

   7. div-sub 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666\right) - 0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5}} \]

   8. metadata-eval 99.0%

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666\right) - \color{blue}{0.5 \cdot 0.5}}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

   9. flip-+ 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 + 0.5} \]

8. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555} + 0.5} \]
9. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left(e^{\log u1 \cdot -0.05555555555555555}\right)}} + 0.5 \]

   2. exp-to-pow 99.3%

      \[\leadsto \sqrt{\log \color{blue}{\left({u1}^{-0.05555555555555555}\right)}} + 0.5 \]

10. Applied egg-rr 99.3%

    \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\log \left({u1}^{-0.05555555555555555}\right)}} + 0.5 \]

11. Final simplification 99.3%

    \[\leadsto 0.5 + \sqrt{\log \left({u1}^{-0.05555555555555555}\right)} \]

Alternative 3: 98.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555} + 0.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (u1 u2)
 :precision binary64
 (+ (sqrt (* (log u1) -0.05555555555555555)) 0.5))

C

double code(double u1, double u2) {
	return sqrt((log(u1) * -0.05555555555555555)) + 0.5;
}

Fortran

real(8) function code(u1, u2)
    real(8), intent (in) :: u1
    real(8), intent (in) :: u2
    code = sqrt((log(u1) * (-0.05555555555555555d0))) + 0.5d0
end function

Java

public static double code(double u1, double u2) {
	return Math.sqrt((Math.log(u1) * -0.05555555555555555)) + 0.5;
}

Python

def code(u1, u2):
	return math.sqrt((math.log(u1) * -0.05555555555555555)) + 0.5

Julia

function code(u1, u2)
	return Float64(sqrt(Float64(log(u1) * -0.05555555555555555)) + 0.5)
end

MATLAB

function tmp = code(u1, u2)
	tmp = sqrt((log(u1) * -0.05555555555555555)) + 0.5;
end

Wolfram

code[u1_, u2_] := N[(N[Sqrt[N[(N[Log[u1], $MachinePrecision] * -0.05555555555555555), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + 0.5), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.3%

   \[\left(\frac{1}{6} \cdot {\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}\right) \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]
2. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot \frac{1}{6}\right)} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right) + 0.5 \]

   2. associate-*l* 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5} \cdot \left(\frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right)\right)} + 0.5 \]

   3. fma-def 99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({\left(-2 \cdot \log u1\right)}^{0.5}, \frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right), 0.5\right)} \]

   4. unpow1/2 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\color{blue}{\sqrt{-2 \cdot \log u1}}, \frac{1}{6} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right), 0.5\right) \]

   5. metadata-eval 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}, \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot \cos \left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot u2\right), 0.5\right) \]

   6. associate-*l* 99.4%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}, 0.16666666666666666 \cdot \cos \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right)}, 0.5\right) \]

3. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}, 0.16666666666666666 \cdot \cos \left(2 \cdot \left(\pi \cdot u2\right)\right), 0.5\right)} \]

4. Taylor expanded in u2 around 0 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}, 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{1}, 0.5\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1}, \color{blue}{0.16666666666666666}, 0.5\right) \]

   2. fma-udef 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot 0.16666666666666666 + 0.5} \]

   3. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}} + 0.5 \]

   4. flip-+ 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5}} \]

   5. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \frac{\left(0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot 0.16666666666666666\right)} - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   6. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot 0.16666666666666666\right) - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   7. swap-sqr 98.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   8. add-sqr-sqrt 99.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(-2 \cdot \log u1\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   9. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\log u1 \cdot -2\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right) - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   10. metadata-eval 99.0%

       \[\leadsto \frac{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776} - 0.5 \cdot 0.5}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   11. metadata-eval 99.0%

       \[\leadsto \frac{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776 - \color{blue}{0.25}}{0.16666666666666666 \cdot \sqrt{-2 \cdot \log u1} - 0.5} \]

   12. *-commutative 99.0%

       \[\leadsto \frac{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776 - 0.25}{\color{blue}{\sqrt{-2 \cdot \log u1} \cdot 0.16666666666666666} - 0.5} \]

   13. *-commutative 99.0%

       \[\leadsto \frac{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776 - 0.25}{\sqrt{\color{blue}{\log u1 \cdot -2}} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

6. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776 - 0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. div-sub 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} - \frac{0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5}} \]

   2. add-sqr-sqrt 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\sqrt{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776} \cdot \sqrt{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776}}}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} - \frac{0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

   3. pow2 98.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{{\left(\sqrt{\left(\log u1 \cdot -2\right) \cdot 0.027777777777777776}\right)}^{2}}}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} - \frac{0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

   4. sqrt-prod 98.9%

      \[\leadsto \frac{{\color{blue}{\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot \sqrt{0.027777777777777776}\right)}}^{2}}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} - \frac{0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

   5. metadata-eval 98.9%

      \[\leadsto \frac{{\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right)}^{2}}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} - \frac{0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

   6. pow2 98.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666\right)}}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} - \frac{0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

   7. div-sub 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666\right) - 0.25}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5}} \]

   8. metadata-eval 99.0%

      \[\leadsto \frac{\left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666\right) - \color{blue}{0.5 \cdot 0.5}}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 - 0.5} \]

   9. flip-+ 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log u1 \cdot -2} \cdot 0.16666666666666666 + 0.5} \]

8. Applied egg-rr 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555} + 0.5} \]

9. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \sqrt{\log u1 \cdot -0.05555555555555555} + 0.5 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023201 
(FPCore (u1 u2)
  :name "normal distribution"
  :precision binary64
  :pre (and (and (<= 0.0 u1) (<= u1 1.0)) (and (<= 0.0 u2) (<= u2 1.0)))
  (+ (* (* (/ 1.0 6.0) (pow (* -2.0 (log u1)) 0.5)) (cos (* (* 2.0 PI) u2))) 0.5))