Octave 3.8, oct_fill_randg

Percentage Accurate: 99.8% → 99.9%

Time: 9.0s

Alternatives: 8

Speedup: 1.1×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a - \frac{1}{3}\\ t_0 \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot t_0}} \cdot rand\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- a (/ 1.0 3.0))))
   (* t_0 (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 t_0))) rand)))))

C

double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: t_0
    t_0 = a - (1.0d0 / 3.0d0)
    code = t_0 * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * t_0))) * rand))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Python

def code(a, rand):
	t_0 = a - (1.0 / 3.0)
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand))

Julia

function code(a, rand)
	t_0 = Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))
	return Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * t_0))) * rand)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	tmp = t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := Block[{t$95$0 = N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 99.8% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := a - \frac{1}{3}\\ t_0 \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot t_0}} \cdot rand\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- a (/ 1.0 3.0))))
   (* t_0 (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 t_0))) rand)))))

C

double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: t_0
    t_0 = a - (1.0d0 / 3.0d0)
    code = t_0 * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * t_0))) * rand))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
}

Python

def code(a, rand):
	t_0 = a - (1.0 / 3.0)
	return t_0 * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * t_0))) * rand))

Julia

function code(a, rand)
	t_0 = Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))
	return Float64(t_0 * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * t_0))) * rand)))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	t_0 = a - (1.0 / 3.0);
	tmp = t_0 * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * t_0))) * rand));
end

Wolfram

code[a_, rand_] := Block[{t$95$0 = N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(t$95$0 * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * t$95$0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 99.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a + rand \cdot \sqrt{-0.037037037037037035 + 0.1111111111111111 \cdot a}\right) - 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (-
  (+ a (* rand (sqrt (+ -0.037037037037037035 (* 0.1111111111111111 a)))))
  0.3333333333333333))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a + (rand * sqrt((-0.037037037037037035 + (0.1111111111111111 * a))))) - 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (rand * sqrt(((-0.037037037037037035d0) + (0.1111111111111111d0 * a))))) - 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + (rand * Math.sqrt((-0.037037037037037035 + (0.1111111111111111 * a))))) - 0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return (a + (rand * math.sqrt((-0.037037037037037035 + (0.1111111111111111 * a))))) - 0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + Float64(rand * sqrt(Float64(-0.037037037037037035 + Float64(0.1111111111111111 * a))))) - 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + (rand * sqrt((-0.037037037037037035 + (0.1111111111111111 * a))))) - 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a + N[(rand * N[Sqrt[N[(-0.037037037037037035 + N[(0.1111111111111111 * a), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   5. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   6. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   7. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.7%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}\right)} \cdot rand\right) \]

   2. sqrt-unprod 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

   3. frac-times 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   5. add-sqr-sqrt 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   6. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

   7. distribute-rgt-in 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 + -0.3333333333333333 \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   8. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{a \cdot 9 + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

   9. fma-udef 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]

5. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. fma-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 - 3}}} \cdot rand\right) \]

   3. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a} - 3}} \cdot rand\right) \]

   4. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a + \left(-3\right)}}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

   6. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{9 \cdot -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

   7. distribute-lft-in 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

   8. associate-/r* 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{9}}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

   9. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{a + -0.3333333333333333}} \cdot rand\right) \]

7. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

8. Taylor expanded in rand around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333} \]
9. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp 53.1%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{\log \left(e^{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   2. associate-*r* 53.1%

      \[\leadsto \left(\log \left(e^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand}}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   3. sub-neg 53.1%

      \[\leadsto \left(\log \left(e^{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}\right) \cdot rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   4. metadata-eval 53.1%

      \[\leadsto \left(\log \left(e^{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}\right) \cdot rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   5. +-commutative 53.1%

      \[\leadsto \left(\log \left(e^{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}\right) \cdot rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   6. exp-prod 13.7%

      \[\leadsto \left(\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}}\right)}^{rand}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   7. +-commutative 13.7%

      \[\leadsto \left(\log \left({\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}}}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   8. metadata-eval 13.7%

      \[\leadsto \left(\log \left({\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333\right)}}}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   9. sub-neg 13.7%

      \[\leadsto \left(\log \left({\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a - 0.3333333333333333}}}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   10. exp-prod 13.7%

       \[\leadsto \left(\log \left({\color{blue}{\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)}\right)}}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   11. sub-neg 13.7%

       \[\leadsto \left(\log \left({\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}\right)}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   12. metadata-eval 13.7%

       \[\leadsto \left(\log \left({\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}\right)}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   13. +-commutative 13.7%

       \[\leadsto \left(\log \left({\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}\right)}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

10. Applied egg-rr 13.7%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{\log \left({\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}\right)}^{rand}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]
11. Step-by-step derivation

    1. log-pow 14.8%

       \[\leadsto \left(\color{blue}{rand \cdot \log \left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    2. log-pow 99.8%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \log \left(e^{0.3333333333333333}\right)\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    3. rem-log-exp 99.8%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    4. *-commutative 99.8%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

12. Simplified 99.8%

    \[\leadsto \left(\color{blue}{rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]
13. Step-by-step derivation

    1. add-sqr-sqrt 99.7%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    2. sqrt-unprod 99.8%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    3. *-commutative 99.8%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    4. +-commutative 99.8%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    5. metadata-eval 99.8%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333\right)}} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    6. sub-neg 99.8%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{a - 0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    7. *-commutative 99.8%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot 0.3333333333333333\right)}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    8. +-commutative 99.8%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    9. metadata-eval 99.8%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt{a + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333\right)}} \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    10. sub-neg 99.8%

        \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{a - 0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    11. swap-sqr 99.8%

        \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    12. add-sqr-sqrt 99.9%

        \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(a - 0.3333333333333333\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    13. sub-neg 99.9%

        \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    14. metadata-eval 99.9%

        \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    15. +-commutative 99.9%

        \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + a\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    16. metadata-eval 99.9%

        \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \color{blue}{0.1111111111111111}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

14. Applied egg-rr 99.9%

    \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot 0.1111111111111111}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]
15. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 99.9%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{0.1111111111111111 \cdot \left(-0.3333333333333333 + a\right)}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    2. distribute-lft-in 99.9%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{0.1111111111111111 \cdot -0.3333333333333333 + 0.1111111111111111 \cdot a}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

    3. metadata-eval 99.9%

       \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{-0.037037037037037035} + 0.1111111111111111 \cdot a} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

16. Simplified 99.9%

    \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\sqrt{-0.037037037037037035 + 0.1111111111111111 \cdot a}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

17. Final simplification 99.9%

    \[\leadsto \left(a + rand \cdot \sqrt{-0.037037037037037035 + 0.1111111111111111 \cdot a}\right) - 0.3333333333333333 \]

Alternative 2: 92.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -6.2 \cdot 10^{+73} \lor \neg \left(rand \leq 2.4 \cdot 10^{+80}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (if (or (<= rand -6.2e+73) (not (<= rand 2.4e+80)))
   (* 0.3333333333333333 (* rand (sqrt (- a 0.3333333333333333))))
   (- a 0.3333333333333333)))

C

double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if ((rand <= -6.2e+73) || !(rand <= 2.4e+80)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: tmp
    if ((rand <= (-6.2d+73)) .or. (.not. (rand <= 2.4d+80))) then
        tmp = 0.3333333333333333d0 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333d0)))
    else
        tmp = a - 0.3333333333333333d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if ((rand <= -6.2e+73) || !(rand <= 2.4e+80)) {
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * Math.sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, rand):
	tmp = 0
	if (rand <= -6.2e+73) or not (rand <= 2.4e+80):
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * math.sqrt((a - 0.3333333333333333)))
	else:
		tmp = a - 0.3333333333333333
	return tmp

Julia

function code(a, rand)
	tmp = 0.0
	if ((rand <= -6.2e+73) || !(rand <= 2.4e+80))
		tmp = Float64(0.3333333333333333 * Float64(rand * sqrt(Float64(a - 0.3333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(a - 0.3333333333333333);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, rand)
	tmp = 0.0;
	if ((rand <= -6.2e+73) || ~((rand <= 2.4e+80)))
		tmp = 0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333)));
	else
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := If[Or[LessEqual[rand, -6.2e+73], N[Not[LessEqual[rand, 2.4e+80]], $MachinePrecision]], N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if rand < -6.1999999999999999e73 or 2.39999999999999979e80 < rand

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}\right)} \cdot rand\right) \]

      2. sqrt-unprod 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

      3. frac-times 99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. add-sqr-sqrt 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

      7. distribute-rgt-in 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 + -0.3333333333333333 \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{a \cdot 9 + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

      9. fma-udef 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. fma-neg 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 - 3}}} \cdot rand\right) \]

      3. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a} - 3}} \cdot rand\right) \]

      4. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a + \left(-3\right)}}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{9 \cdot -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

      7. distribute-lft-in 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

      8. associate-/r* 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{9}}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{a + -0.3333333333333333}} \cdot rand\right) \]

   7. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

   8. Taylor expanded in rand around inf 86.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)} \]

   if -6.1999999999999999e73 < rand < 2.39999999999999979e80

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-\left(-\left(a - \frac{1}{3}\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right)}\right) \]

      7. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand}\right) \]

      8. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      9. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

      11. distribute-lft-in 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

      13. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around 0 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 92.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -6.2 \cdot 10^{+73} \lor \neg \left(rand \leq 2.4 \cdot 10^{+80}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 3: 93.0% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2.5 \cdot 10^{+73} \lor \neg \left(rand \leq 2.3 \cdot 10^{+80}\right):\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{0.1111111111111111 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (if (or (<= rand -2.5e+73) (not (<= rand 2.3e+80)))
   (* rand (sqrt (* 0.1111111111111111 (+ a -0.3333333333333333))))
   (- a 0.3333333333333333)))

C

double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if ((rand <= -2.5e+73) || !(rand <= 2.3e+80)) {
		tmp = rand * sqrt((0.1111111111111111 * (a + -0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: tmp
    if ((rand <= (-2.5d+73)) .or. (.not. (rand <= 2.3d+80))) then
        tmp = rand * sqrt((0.1111111111111111d0 * (a + (-0.3333333333333333d0))))
    else
        tmp = a - 0.3333333333333333d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if ((rand <= -2.5e+73) || !(rand <= 2.3e+80)) {
		tmp = rand * Math.sqrt((0.1111111111111111 * (a + -0.3333333333333333)));
	} else {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, rand):
	tmp = 0
	if (rand <= -2.5e+73) or not (rand <= 2.3e+80):
		tmp = rand * math.sqrt((0.1111111111111111 * (a + -0.3333333333333333)))
	else:
		tmp = a - 0.3333333333333333
	return tmp

Julia

function code(a, rand)
	tmp = 0.0
	if ((rand <= -2.5e+73) || !(rand <= 2.3e+80))
		tmp = Float64(rand * sqrt(Float64(0.1111111111111111 * Float64(a + -0.3333333333333333))));
	else
		tmp = Float64(a - 0.3333333333333333);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, rand)
	tmp = 0.0;
	if ((rand <= -2.5e+73) || ~((rand <= 2.3e+80)))
		tmp = rand * sqrt((0.1111111111111111 * (a + -0.3333333333333333)));
	else
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := If[Or[LessEqual[rand, -2.5e+73], N[Not[LessEqual[rand, 2.3e+80]], $MachinePrecision]], N[(rand * N[Sqrt[N[(0.1111111111111111 * N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if rand < -2.49999999999999988e73 or 2.30000000000000004e80 < rand

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}\right)} \cdot rand\right) \]

      2. sqrt-unprod 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

      3. frac-times 99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. add-sqr-sqrt 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

      7. distribute-rgt-in 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 + -0.3333333333333333 \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{a \cdot 9 + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

      9. fma-udef 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. fma-neg 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 - 3}}} \cdot rand\right) \]

      3. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a} - 3}} \cdot rand\right) \]

      4. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a + \left(-3\right)}}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{9 \cdot -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

      7. distribute-lft-in 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

      8. associate-/r* 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{9}}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{a + -0.3333333333333333}} \cdot rand\right) \]

   7. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

   8. Taylor expanded in rand around inf 86.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. add-log-exp 30.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\log \left(e^{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      2. associate-*r* 30.8%

         \[\leadsto \left(\log \left(e^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand}}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      3. sub-neg 30.8%

         \[\leadsto \left(\log \left(e^{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}\right) \cdot rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      4. metadata-eval 30.8%

         \[\leadsto \left(\log \left(e^{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}\right) \cdot rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      5. +-commutative 30.8%

         \[\leadsto \left(\log \left(e^{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}\right) \cdot rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      6. exp-prod 30.8%

         \[\leadsto \left(\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}}\right)}^{rand}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      7. +-commutative 30.8%

         \[\leadsto \left(\log \left({\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}}}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      8. metadata-eval 30.8%

         \[\leadsto \left(\log \left({\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333\right)}}}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      9. sub-neg 30.8%

         \[\leadsto \left(\log \left({\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a - 0.3333333333333333}}}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      10. exp-prod 30.8%

          \[\leadsto \left(\log \left({\color{blue}{\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)}\right)}}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      11. sub-neg 30.8%

          \[\leadsto \left(\log \left({\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}\right)}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      12. metadata-eval 30.8%

          \[\leadsto \left(\log \left({\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}\right)}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      13. +-commutative 30.8%

          \[\leadsto \left(\log \left({\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}\right)}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   10. Applied egg-rr 30.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\log \left({\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}\right)}^{rand}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. log-pow 32.8%

          \[\leadsto \left(\color{blue}{rand \cdot \log \left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       2. log-pow 99.6%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \log \left(e^{0.3333333333333333}\right)\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       3. rem-log-exp 99.6%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       4. *-commutative 99.6%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   12. Simplified 88.3%

       \[\leadsto \color{blue}{rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. add-sqr-sqrt 99.3%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       2. sqrt-unprod 99.6%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       3. *-commutative 99.6%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       4. +-commutative 99.6%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       5. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333\right)}} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       6. sub-neg 99.6%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{a - 0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       7. *-commutative 99.6%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot 0.3333333333333333\right)}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       8. +-commutative 99.6%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       9. metadata-eval 99.6%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt{a + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333\right)}} \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       10. sub-neg 99.6%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{a - 0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       11. swap-sqr 99.6%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       12. add-sqr-sqrt 99.7%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(a - 0.3333333333333333\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       13. sub-neg 99.7%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       14. metadata-eval 99.7%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       15. +-commutative 99.7%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + a\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       16. metadata-eval 99.7%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \color{blue}{0.1111111111111111}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   14. Applied egg-rr 88.4%

       \[\leadsto rand \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot 0.1111111111111111}} \]

   if -2.49999999999999988e73 < rand < 2.30000000000000004e80

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-\left(-\left(a - \frac{1}{3}\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right)}\right) \]

      7. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand}\right) \]

      8. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      9. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

      11. distribute-lft-in 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

      13. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around 0 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2.5 \cdot 10^{+73} \lor \neg \left(rand \leq 2.3 \cdot 10^{+80}\right):\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{0.1111111111111111 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 4: 92.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -3 \cdot 10^{+68}:\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{0.1111111111111111 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 2.2 \cdot 10^{+80}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (if (<= rand -3e+68)
   (* rand (sqrt (* 0.1111111111111111 (+ a -0.3333333333333333))))
   (if (<= rand 2.2e+80)
     (- a 0.3333333333333333)
     (* (sqrt (+ a -0.3333333333333333)) (* rand 0.3333333333333333)))))

C

double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if (rand <= -3e+68) {
		tmp = rand * sqrt((0.1111111111111111 * (a + -0.3333333333333333)));
	} else if (rand <= 2.2e+80) {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = sqrt((a + -0.3333333333333333)) * (rand * 0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    real(8) :: tmp
    if (rand <= (-3d+68)) then
        tmp = rand * sqrt((0.1111111111111111d0 * (a + (-0.3333333333333333d0))))
    else if (rand <= 2.2d+80) then
        tmp = a - 0.3333333333333333d0
    else
        tmp = sqrt((a + (-0.3333333333333333d0))) * (rand * 0.3333333333333333d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	double tmp;
	if (rand <= -3e+68) {
		tmp = rand * Math.sqrt((0.1111111111111111 * (a + -0.3333333333333333)));
	} else if (rand <= 2.2e+80) {
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	} else {
		tmp = Math.sqrt((a + -0.3333333333333333)) * (rand * 0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(a, rand):
	tmp = 0
	if rand <= -3e+68:
		tmp = rand * math.sqrt((0.1111111111111111 * (a + -0.3333333333333333)))
	elif rand <= 2.2e+80:
		tmp = a - 0.3333333333333333
	else:
		tmp = math.sqrt((a + -0.3333333333333333)) * (rand * 0.3333333333333333)
	return tmp

Julia

function code(a, rand)
	tmp = 0.0
	if (rand <= -3e+68)
		tmp = Float64(rand * sqrt(Float64(0.1111111111111111 * Float64(a + -0.3333333333333333))));
	elseif (rand <= 2.2e+80)
		tmp = Float64(a - 0.3333333333333333);
	else
		tmp = Float64(sqrt(Float64(a + -0.3333333333333333)) * Float64(rand * 0.3333333333333333));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(a, rand)
	tmp = 0.0;
	if (rand <= -3e+68)
		tmp = rand * sqrt((0.1111111111111111 * (a + -0.3333333333333333)));
	elseif (rand <= 2.2e+80)
		tmp = a - 0.3333333333333333;
	else
		tmp = sqrt((a + -0.3333333333333333)) * (rand * 0.3333333333333333);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := If[LessEqual[rand, -3e+68], N[(rand * N[Sqrt[N[(0.1111111111111111 * N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[rand, 2.2e+80], N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * N[(rand * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if rand < -3.0000000000000002e68

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}\right)} \cdot rand\right) \]

      2. sqrt-unprod 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

      3. frac-times 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. add-sqr-sqrt 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

      7. distribute-rgt-in 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 + -0.3333333333333333 \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{a \cdot 9 + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

      9. fma-udef 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.6%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. fma-neg 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 - 3}}} \cdot rand\right) \]

      3. *-commutative 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a} - 3}} \cdot rand\right) \]

      4. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a + \left(-3\right)}}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{9 \cdot -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

      7. distribute-lft-in 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

      8. associate-/r* 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{9}}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.7%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{a + -0.3333333333333333}} \cdot rand\right) \]

   7. Simplified 99.7%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

   8. Taylor expanded in rand around inf 79.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. add-log-exp 19.8%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\log \left(e^{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      2. associate-*r* 19.8%

         \[\leadsto \left(\log \left(e^{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand}}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      3. sub-neg 19.8%

         \[\leadsto \left(\log \left(e^{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}\right) \cdot rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      4. metadata-eval 19.8%

         \[\leadsto \left(\log \left(e^{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}\right) \cdot rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      5. +-commutative 19.8%

         \[\leadsto \left(\log \left(e^{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}\right) \cdot rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      6. exp-prod 19.8%

         \[\leadsto \left(\log \color{blue}{\left({\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}}\right)}^{rand}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      7. +-commutative 19.8%

         \[\leadsto \left(\log \left({\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}}}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      8. metadata-eval 19.8%

         \[\leadsto \left(\log \left({\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333\right)}}}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      9. sub-neg 19.8%

         \[\leadsto \left(\log \left({\left(e^{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a - 0.3333333333333333}}}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      10. exp-prod 19.8%

          \[\leadsto \left(\log \left({\color{blue}{\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)}\right)}}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      11. sub-neg 19.8%

          \[\leadsto \left(\log \left({\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}\right)}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      12. metadata-eval 19.8%

          \[\leadsto \left(\log \left({\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}\right)}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

      13. +-commutative 19.8%

          \[\leadsto \left(\log \left({\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}\right)}\right)}^{rand}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   10. Applied egg-rr 19.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\log \left({\left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}\right)}^{rand}\right)} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. log-pow 24.1%

          \[\leadsto \left(\color{blue}{rand \cdot \log \left({\left(e^{0.3333333333333333}\right)}^{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       2. log-pow 99.5%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \log \left(e^{0.3333333333333333}\right)\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       3. rem-log-exp 99.5%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       4. *-commutative 99.5%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   12. Simplified 83.3%

       \[\leadsto \color{blue}{rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} \]
   13. Step-by-step derivation

       1. add-sqr-sqrt 99.3%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       2. sqrt-unprod 99.5%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       3. *-commutative 99.5%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       4. +-commutative 99.5%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       5. metadata-eval 99.5%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333\right)}} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       6. sub-neg 99.5%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{a - 0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       7. *-commutative 99.5%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot 0.3333333333333333\right)}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       8. +-commutative 99.5%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       9. metadata-eval 99.5%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt{a + \color{blue}{\left(-0.3333333333333333\right)}} \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       10. sub-neg 99.5%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{a - 0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       11. swap-sqr 99.5%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       12. add-sqr-sqrt 99.6%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(a - 0.3333333333333333\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       13. sub-neg 99.6%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       14. metadata-eval 99.6%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       15. +-commutative 99.6%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + a\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

       16. metadata-eval 99.6%

           \[\leadsto \left(rand \cdot \sqrt{\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot \color{blue}{0.1111111111111111}} + a\right) - 0.3333333333333333 \]

   14. Applied egg-rr 83.4%

       \[\leadsto rand \cdot \color{blue}{\sqrt{\left(-0.3333333333333333 + a\right) \cdot 0.1111111111111111}} \]

   if -3.0000000000000002e68 < rand < 2.20000000000000003e80

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-\left(-\left(a - \frac{1}{3}\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. sub-neg 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      6. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right)}\right) \]

      7. remove-double-neg 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand}\right) \]

      8. associate-*l/ 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      9. *-lft-identity 100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

      10. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

      11. distribute-lft-in 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

      13. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

      14. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around 0 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]

   if 2.20000000000000003e80 < rand

   1. Initial program 99.5%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 99.2%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}\right)} \cdot rand\right) \]

      2. sqrt-unprod 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

      3. frac-times 99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

      4. metadata-eval 99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. add-sqr-sqrt 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      6. *-commutative 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

      7. distribute-rgt-in 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 + -0.3333333333333333 \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      8. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{a \cdot 9 + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

      9. fma-udef 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]

   5. Applied egg-rr 99.5%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]
   6. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. fma-neg 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 - 3}}} \cdot rand\right) \]

      3. *-commutative 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a} - 3}} \cdot rand\right) \]

      4. sub-neg 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a + \left(-3\right)}}} \cdot rand\right) \]

      5. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{9 \cdot -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

      7. distribute-lft-in 99.5%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

      8. associate-/r* 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{9}}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

      9. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{a + -0.3333333333333333}} \cdot rand\right) \]

   7. Simplified 99.6%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

   8. Taylor expanded in rand around 0 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate--l+ 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + \left(a - 0.3333333333333333\right)} \]

      2. associate-*r* 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand} + \left(a - 0.3333333333333333\right) \]

      3. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand + \color{blue}{\left(a + \left(-0.3333333333333333\right)\right)} \]

      4. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand + \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

      5. fma-def 99.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}, rand, a + -0.3333333333333333\right)} \]

      6. sub-neg 99.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}, rand, a + -0.3333333333333333\right) \]

      7. metadata-eval 99.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}, rand, a + -0.3333333333333333\right) \]

      8. +-commutative 99.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, rand, a + -0.3333333333333333\right) \]

      9. +-commutative 99.6%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, rand, \color{blue}{-0.3333333333333333 + a}\right) \]

   10. Simplified 99.6%

       \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, rand, -0.3333333333333333 + a\right)} \]

   11. Taylor expanded in rand around inf 92.7%

       \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. associate-*r* 92.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand} \]

       2. sub-neg 92.6%

          \[\leadsto \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}\right) \cdot rand \]

       3. metadata-eval 92.6%

          \[\leadsto \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}\right) \cdot rand \]

       4. +-commutative 92.6%

          \[\leadsto \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}\right) \cdot rand \]

       5. *-commutative 92.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot rand \]

       6. associate-*r* 92.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} \]

   13. Simplified 92.8%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 93.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -3 \cdot 10^{+68}:\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{0.1111111111111111 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 2.2 \cdot 10^{+80}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5: 98.9% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(1 + rand \cdot \sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a}}\right) \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (+ 1.0 (* rand (sqrt (/ 0.1111111111111111 a))))
  (+ a -0.3333333333333333)))

C

double code(double a, double rand) {
	return (1.0 + (rand * sqrt((0.1111111111111111 / a)))) * (a + -0.3333333333333333);
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (1.0d0 + (rand * sqrt((0.1111111111111111d0 / a)))) * (a + (-0.3333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (1.0 + (rand * Math.sqrt((0.1111111111111111 / a)))) * (a + -0.3333333333333333);
}

Python

def code(a, rand):
	return (1.0 + (rand * math.sqrt((0.1111111111111111 / a)))) * (a + -0.3333333333333333)

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(1.0 + Float64(rand * sqrt(Float64(0.1111111111111111 / a)))) * Float64(a + -0.3333333333333333))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (1.0 + (rand * sqrt((0.1111111111111111 / a)))) * (a + -0.3333333333333333);
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(1.0 + N[(rand * N[Sqrt[N[(0.1111111111111111 / a), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(a + -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   5. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   6. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   7. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.7%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}\right)} \cdot rand\right) \]

   2. sqrt-unprod 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

   3. frac-times 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   5. add-sqr-sqrt 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   6. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

   7. distribute-rgt-in 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 + -0.3333333333333333 \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   8. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{a \cdot 9 + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

   9. fma-udef 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]

5. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. fma-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 - 3}}} \cdot rand\right) \]

   3. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a} - 3}} \cdot rand\right) \]

   4. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a + \left(-3\right)}}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

   6. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{9 \cdot -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

   7. distribute-lft-in 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

   8. associate-/r* 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{9}}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

   9. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{a + -0.3333333333333333}} \cdot rand\right) \]

7. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

8. Taylor expanded in a around inf 99.0%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{0.1111111111111111}{a}}} \cdot rand\right) \]

9. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(1 + rand \cdot \sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a}}\right) \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right) \]

Alternative 6: 99.8% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (-
  (+ a (* 0.3333333333333333 (* rand (sqrt (- a 0.3333333333333333)))))
  0.3333333333333333))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a + (0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333))))) - 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a + (0.3333333333333333d0 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333d0))))) - 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a + (0.3333333333333333 * (rand * Math.sqrt((a - 0.3333333333333333))))) - 0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return (a + (0.3333333333333333 * (rand * math.sqrt((a - 0.3333333333333333))))) - 0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a + Float64(0.3333333333333333 * Float64(rand * sqrt(Float64(a - 0.3333333333333333))))) - 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a + (0.3333333333333333 * (rand * sqrt((a - 0.3333333333333333))))) - 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a + N[(0.3333333333333333 * N[(rand * N[Sqrt[N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   5. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   6. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   7. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 99.7%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot \sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}\right)} \cdot rand\right) \]

   2. sqrt-unprod 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

   3. frac-times 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{1 \cdot 1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{1}}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9} \cdot \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   5. add-sqr-sqrt 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   6. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

   7. distribute-rgt-in 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 + -0.3333333333333333 \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   8. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{a \cdot 9 + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

   9. fma-udef 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]

5. Applied egg-rr 99.8%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, -3\right)}}} \cdot rand\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\mathsf{fma}\left(a, 9, \color{blue}{-3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. fma-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{a \cdot 9 - 3}}} \cdot rand\right) \]

   3. *-commutative 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a} - 3}} \cdot rand\right) \]

   4. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot a + \left(-3\right)}}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}} \cdot rand\right) \]

   6. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{9 \cdot a + \color{blue}{9 \cdot -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

   7. distribute-lft-in 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{1}{\color{blue}{9 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}}} \cdot rand\right) \]

   8. associate-/r* 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\color{blue}{\frac{\frac{1}{9}}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

   9. metadata-eval 99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \sqrt{\frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{a + -0.3333333333333333}} \cdot rand\right) \]

7. Simplified 99.9%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\sqrt{\frac{0.1111111111111111}{a + -0.3333333333333333}}} \cdot rand\right) \]

8. Taylor expanded in rand around 0 99.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333} \]

9. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto \left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\right) - 0.3333333333333333 \]

Alternative 7: 63.2% accurate, 39.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a - 0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand) :precision binary64 (- a 0.3333333333333333))

C

double code(double a, double rand) {
	return a - 0.3333333333333333;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = a - 0.3333333333333333d0
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return a - 0.3333333333333333;
}

Python

def code(a, rand):
	return a - 0.3333333333333333

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(a - 0.3333333333333333)
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = a - 0.3333333333333333;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. remove-double-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\left(-\left(a - \frac{1}{3}\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. remove-double-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. remove-double-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right)}\right) \]

   7. remove-double-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand}\right) \]

   8. associate-*l/ 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   9. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   10. sub-neg 99.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   11. distribute-lft-in 99.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval 99.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. metadata-eval 99.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

4. Taylor expanded in rand around 0 65.5%

   \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]

5. Final simplification 65.5%

   \[\leadsto a - 0.3333333333333333 \]

Alternative 8: 62.4% accurate, 119.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ a \end{array} \]

FPCore

(FPCore (a rand) :precision binary64 a)

C

double code(double a, double rand) {
	return a;
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = a
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return a;
}

Python

def code(a, rand):
	return a

Julia

function code(a, rand)
	return a
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = a;
end

Wolfram

code[a_, rand_] := a

Derivation

1. Initial program 99.8%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. remove-double-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\left(-\left(a - \frac{1}{3}\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. remove-double-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval 99.8%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. remove-double-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right)}\right) \]

   7. remove-double-neg 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand}\right) \]

   8. associate-*l/ 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   9. *-lft-identity 99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   10. sub-neg 99.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   11. distribute-lft-in 99.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   12. metadata-eval 99.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval 99.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. metadata-eval 99.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

3. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

4. Taylor expanded in a around inf 64.7%

   \[\leadsto \color{blue}{a} \]

5. Final simplification 64.7%

   \[\leadsto a \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023200 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))