bug500, discussion (missed optimization)

Percentage Accurate: 52.6% → 97.3%

Time: 16.8s

Alternatives: 6

Speedup: 40.6×

• could not determine a ground truth

  1. x = -1.2622120488680481e+107

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 52.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log (/ (sinh x) x)))

C

double code(double x) {
	return log((sinh(x) / x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = log((sinh(x) / x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log((Math.sinh(x) / x));
}

Python

def code(x):
	return math.log((math.sinh(x) / x))

Julia

function code(x)
	return log(Float64(sinh(x) / x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = log((sinh(x) / x));
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 97.3% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{log1p}\left(\left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (log1p
  (+
   (+
    (* (pow x 4.0) 0.008333333333333333)
    (* (pow x 6.0) 0.0001984126984126984))
   (* 0.16666666666666666 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return log1p((((pow(x, 4.0) * 0.008333333333333333) + (pow(x, 6.0) * 0.0001984126984126984)) + (0.16666666666666666 * (x * x))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log1p((((Math.pow(x, 4.0) * 0.008333333333333333) + (Math.pow(x, 6.0) * 0.0001984126984126984)) + (0.16666666666666666 * (x * x))));
}

Python

def code(x):
	return math.log1p((((math.pow(x, 4.0) * 0.008333333333333333) + (math.pow(x, 6.0) * 0.0001984126984126984)) + (0.16666666666666666 * (x * x))))

Julia

function code(x)
	return log1p(Float64(Float64(Float64((x ^ 4.0) * 0.008333333333333333) + Float64((x ^ 6.0) * 0.0001984126984126984)) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))))
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[1 + N[(N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0001984126984126984), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 56.0%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. log1p-expm1-u 56.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\log \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   2. expm1-udef 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{e^{\log \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)} - 1}\right) \]

   3. add-exp-log 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   4. associate-+r+ 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right) + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} - 1\right) \]

   5. pow2 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right) - 1\right) \]

   6. fma-udef 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)} + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right) - 1\right) \]

   7. +-commutative 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6}\right)}\right) - 1\right) \]

   8. *-commutative 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \left(\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333} + 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6}\right)\right) - 1\right) \]

   9. fma-def 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6}\right)}\right) - 1\right) \]

   10. *-commutative 56.0%

       \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, \color{blue}{{x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984}\right)\right) - 1\right) \]

4. Applied egg-rr 56.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)\right) - 1\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)} - 1\right) \]

   2. associate--l+ 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) - 1\right)}\right) \]

   3. rem-exp-log 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \left(\color{blue}{e^{\log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)}} - 1\right)\right) \]

   4. expm1-def 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)\right)}\right) \]

   5. fma-def 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \mathsf{expm1}\left(\log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)}\right)\right) \]

   6. +-commutative 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \mathsf{expm1}\left(\log \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

   7. log1p-def 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

   8. expm1-log1p 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \]

6. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 96.7%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

9. Final simplification 96.7%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

Alternative 2: 97.1% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left({x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + {x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* 0.16666666666666666 (* x x))
  (+
   (* (pow x 4.0) -0.005555555555555556)
   (* (pow x 6.0) 0.0003527336860670194))))

C

double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + ((pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + (pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.16666666666666666d0 * (x * x)) + (((x ** 4.0d0) * (-0.005555555555555556d0)) + ((x ** 6.0d0) * 0.0003527336860670194d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + ((Math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + (Math.pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194));
}

Python

def code(x):
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + ((math.pow(x, 4.0) * -0.005555555555555556) + (math.pow(x, 6.0) * 0.0003527336860670194))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)) + Float64(Float64((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + Float64((x ^ 6.0) * 0.0003527336860670194)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.16666666666666666 * (x * x)) + (((x ^ 4.0) * -0.005555555555555556) + ((x ^ 6.0) * 0.0003527336860670194));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.005555555555555556), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.0003527336860670194), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 96.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   2. sqrt-unprod 76.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)}} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   3. pow2 76.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   4. pow2 76.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   5. *-commutative 76.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   6. *-commutative 76.4%

      \[\leadsto \sqrt{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)}} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   7. swap-sqr 76.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   8. pow2 76.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{\left(x \cdot x\right)}^{2}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   9. pow-prod-down 76.5%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   10. pow-sqr 76.5%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   11. metadata-eval 76.5%

       \[\leadsto \sqrt{{x}^{\color{blue}{4}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   12. metadata-eval 76.5%

       \[\leadsto \sqrt{{x}^{4} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

4. Applied egg-rr 76.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{4} \cdot 0.027777777777777776}} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. sqrt-prod 76.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{4}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776}} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   2. sqrt-pow1 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{\left(\frac{4}{2}\right)}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   3. metadata-eval 96.5%

      \[\leadsto {x}^{\color{blue}{2}} \cdot \sqrt{0.027777777777777776} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   4. pow2 96.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot \sqrt{0.027777777777777776} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

   5. metadata-eval 96.5%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.16666666666666666} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

6. Applied egg-rr 96.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + \left(-0.005555555555555556 \cdot {x}^{4} + 0.0003527336860670194 \cdot {x}^{6}\right) \]

7. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + \left({x}^{4} \cdot -0.005555555555555556 + {x}^{6} \cdot 0.0003527336860670194\right) \]

Alternative 3: 97.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{log1p}\left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (log1p
  (+ (* (pow x 4.0) 0.008333333333333333) (* 0.16666666666666666 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return log1p(((pow(x, 4.0) * 0.008333333333333333) + (0.16666666666666666 * (x * x))));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log1p(((Math.pow(x, 4.0) * 0.008333333333333333) + (0.16666666666666666 * (x * x))));
}

Python

def code(x):
	return math.log1p(((math.pow(x, 4.0) * 0.008333333333333333) + (0.16666666666666666 * (x * x))))

Julia

function code(x)
	return log1p(Float64(Float64((x ^ 4.0) * 0.008333333333333333) + Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))))
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[1 + N[(N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision] + N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 56.0%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. log1p-expm1-u 56.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\log \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   2. expm1-udef 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{e^{\log \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)} - 1}\right) \]

   3. add-exp-log 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   4. associate-+r+ 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right) + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} - 1\right) \]

   5. pow2 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right) - 1\right) \]

   6. fma-udef 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)} + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right) - 1\right) \]

   7. +-commutative 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6}\right)}\right) - 1\right) \]

   8. *-commutative 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \left(\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333} + 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6}\right)\right) - 1\right) \]

   9. fma-def 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6}\right)}\right) - 1\right) \]

   10. *-commutative 56.0%

       \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, \color{blue}{{x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984}\right)\right) - 1\right) \]

4. Applied egg-rr 56.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)\right) - 1\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)} - 1\right) \]

   2. associate--l+ 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) - 1\right)}\right) \]

   3. rem-exp-log 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \left(\color{blue}{e^{\log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)}} - 1\right)\right) \]

   4. expm1-def 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)\right)}\right) \]

   5. fma-def 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \mathsf{expm1}\left(\log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)}\right)\right) \]

   6. +-commutative 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \mathsf{expm1}\left(\log \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

   7. log1p-def 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

   8. expm1-log1p 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \]

6. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

7. Taylor expanded in x around 0 96.5%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

8. Final simplification 96.5%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

Alternative 4: 96.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log1p (* 0.16666666666666666 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return log1p((0.16666666666666666 * (x * x)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log1p((0.16666666666666666 * (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return math.log1p((0.16666666666666666 * (x * x)))

Julia

function code(x)
	return log1p(Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)))
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[1 + N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 55.7%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 55.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, 1\right)\right)} \]

   2. unpow2 55.7%

      \[\leadsto \log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, 1\right)\right) \]

4. Simplified 55.7%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-un-lft-identity 55.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)} \]

   2. log-prod 55.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\log 1 + \log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)} \]

   3. metadata-eval 55.7%

      \[\leadsto \color{blue}{0} + \log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right) \]

6. Applied egg-rr 55.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0 + \log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-lft-identity 55.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)} \]

   2. fma-def 55.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)} \]

   3. +-commutative 55.7%

      \[\leadsto \log \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

   4. log1p-def 96.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

8. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

9. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

Alternative 5: 96.6% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (log1p (* x (* x 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return log1p((x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Java

public static double code(double x) {
	return Math.log1p((x * (x * 0.16666666666666666)));
}

Python

def code(x):
	return math.log1p((x * (x * 0.16666666666666666)))

Julia

function code(x)
	return log1p(Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

Wolfram

code[x_] := N[Log[1 + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 56.0%

   \[\leadsto \log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. log1p-expm1-u 56.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\log \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)\right)\right)} \]

   2. expm1-udef 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{e^{\log \left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)} - 1}\right) \]

   3. add-exp-log 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(1 + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)\right)} - 1\right) \]

   4. associate-+r+ 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + 1\right) + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} - 1\right) \]

   5. pow2 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + 1\right) + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right) - 1\right) \]

   6. fma-udef 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)} + \left(0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6} + 0.008333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right) - 1\right) \]

   7. +-commutative 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \color{blue}{\left(0.008333333333333333 \cdot {x}^{4} + 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6}\right)}\right) - 1\right) \]

   8. *-commutative 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \left(\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.008333333333333333} + 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6}\right)\right) - 1\right) \]

   9. fma-def 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, 0.0001984126984126984 \cdot {x}^{6}\right)}\right) - 1\right) \]

   10. *-commutative 56.0%

       \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, \color{blue}{{x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984}\right)\right) - 1\right) \]

4. Applied egg-rr 56.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)\right) - 1\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 56.0%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)} - 1\right) \]

   2. associate--l+ 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right) - 1\right)}\right) \]

   3. rem-exp-log 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \left(\color{blue}{e^{\log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)}} - 1\right)\right) \]

   4. expm1-def 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\log \left(\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, 1\right)\right)\right)}\right) \]

   5. fma-def 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \mathsf{expm1}\left(\log \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + 1\right)}\right)\right) \]

   6. +-commutative 56.4%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \mathsf{expm1}\left(\log \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

   7. log1p-def 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\mathsf{log1p}\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)\right) \]

   8. expm1-log1p 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right) \]

6. Simplified 96.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.008333333333333333, {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]
7. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 96.7%

      \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

8. Applied egg-rr 96.7%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left({x}^{4} \cdot 0.008333333333333333 + {x}^{6} \cdot 0.0001984126984126984\right)} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \]

9. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}\right) \]

    2. unpow2 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) \]

    3. associate-*r* 96.3%

       \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

11. Simplified 96.3%

    \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

12. Final simplification 96.3%

    \[\leadsto \mathsf{log1p}\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \]

Alternative 6: 96.6% accurate, 40.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.3%

   \[\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right) \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 96.3%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Developer target: 98.0% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.085:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(\mathsf{fma}\left(-2.6455026455026456 \cdot 10^{-5}, x \cdot x, 0.0003527336860670194\right), x \cdot x, -0.005555555555555556\right), x \cdot x, 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\log \left(\frac{\sinh x}{x}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (< (fabs x) 0.085)
   (*
    (* x x)
    (fma
     (fma
      (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194)
      (* x x)
      -0.005555555555555556)
     (* x x)
     0.16666666666666666))
   (log (/ (sinh x) x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (fabs(x) < 0.085) {
		tmp = (x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, (x * x), 0.0003527336860670194), (x * x), -0.005555555555555556), (x * x), 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = log((sinh(x) / x));
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (abs(x) < 0.085)
		tmp = Float64(Float64(x * x) * fma(fma(fma(-2.6455026455026456e-5, Float64(x * x), 0.0003527336860670194), Float64(x * x), -0.005555555555555556), Float64(x * x), 0.16666666666666666));
	else
		tmp = log(Float64(sinh(x) / x));
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[Less[N[Abs[x], $MachinePrecision], 0.085], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(N[(-2.6455026455026456e-5 * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.0003527336860670194), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + -0.005555555555555556), $MachinePrecision] * N[(x * x), $MachinePrecision] + 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Log[N[(N[Sinh[x], $MachinePrecision] / x), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023200 
(FPCore (x)
  :name "bug500, discussion (missed optimization)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.085) (* (* x x) (fma (fma (fma -2.6455026455026456e-5 (* x x) 0.0003527336860670194) (* x x) -0.005555555555555556) (* x x) 0.16666666666666666)) (log (/ (sinh x) x)))

  (log (/ (sinh x) x)))