UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 98.9%

Time: 22.5s

Alternatives: 10

Speedup: 0.9×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 98.9% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_1 := maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\\ \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, \left(maxCos \cdot t_1\right) \cdot \left(ux + -1\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos t_0, xi, \sin t_0 \cdot yi\right), t_1 \cdot zi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))) (t_1 (* maxCos (- ux (* ux ux)))))
   (fma
    (sqrt (fma ux (* (* maxCos t_1) (+ ux -1.0)) 1.0))
    (fma (cos t_0) xi (* (sin t_0) yi))
    (* t_1 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	float t_1 = maxCos * (ux - (ux * ux));
	return fmaf(sqrtf(fmaf(ux, ((maxCos * t_1) * (ux + -1.0f)), 1.0f)), fmaf(cosf(t_0), xi, (sinf(t_0) * yi)), (t_1 * zi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	t_1 = Float32(maxCos * Float32(ux - Float32(ux * ux)))
	return fma(sqrt(fma(ux, Float32(Float32(maxCos * t_1) * Float32(ux + Float32(-1.0))), Float32(1.0))), fma(cos(t_0), xi, Float32(sin(t_0) * yi)), Float32(t_1 * zi))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right)\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right), \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi\right)} \]

4. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right), \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi\right) \]

Alternative 2: 98.9% accurate, 0.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\\ t_1 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_2 := \sqrt{1 + \left(ux \cdot t_0\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_1 \cdot t_2, xi, \sin t_1 \cdot \left(yi \cdot t_2\right)\right) + t_0 \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* maxCos (- 1.0 ux)))
        (t_1 (* uy (* 2.0 PI)))
        (t_2 (sqrt (+ 1.0 (* (* ux t_0) (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))))
   (+ (fma (* (cos t_1) t_2) xi (* (sin t_1) (* yi t_2))) (* t_0 (* ux zi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = maxCos * (1.0f - ux);
	float t_1 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	float t_2 = sqrtf((1.0f + ((ux * t_0) * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f))))));
	return fmaf((cosf(t_1) * t_2), xi, (sinf(t_1) * (yi * t_2))) + (t_0 * (ux * zi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux))
	t_1 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	t_2 = sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(ux * t_0) * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0)))))))
	return Float32(fma(Float32(cos(t_1) * t_2), xi, Float32(sin(t_1) * Float32(yi * t_2))) + Float32(t_0 * Float32(ux * zi)))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(\sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot yi\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right)} \]

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}, xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \left(yi \cdot \sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right) \]

Alternative 3: 98.8% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\\ \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + zi \cdot t_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* maxCos (- 1.0 ux)))))
   (+
    (+
     (*
      xi
      (*
       (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))
       (cos (* PI (* uy 2.0)))))
     (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI)))))
    (* zi t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (maxCos * (1.0f - ux));
	return ((xi * (sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))) * cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))))) + (yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))))) + (zi * t_0);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))))) + Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))))) + Float32(zi * t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (maxCos * (single(1.0) - ux));
	tmp = ((xi * (sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))) * cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))))) + (yi * sin((single(2.0) * (uy * single(pi)))))) + (zi * t_0);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \]

Alternative 4: 98.7% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* maxCos (- 1.0 ux))))
  (+
   (* (sin (* uy (* 2.0 PI))) yi)
   (*
    xi
    (*
     (cos (* PI (* uy 2.0)))
     (sqrt (- 1.0 (* (* ux ux) (* maxCos maxCos)))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * (maxCos * (1.0f - ux)))) + ((sinf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * yi) + (xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - ((ux * ux) * (maxCos * maxCos)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)))) + Float32(Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * yi) + Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(ux * ux) * Float32(maxCos * maxCos))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * (maxCos * (single(1.0) - ux)))) + ((sin((uy * (single(2.0) * single(pi)))) * yi) + (xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - ((ux * ux) * (maxCos * maxCos)))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
3. Step-by-step derivation

   1. add-sqr-sqrt 97.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. add-sqr-sqrt 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \color{blue}{\sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(\left(uy \cdot \pi\right) \cdot 2\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   5. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + yi \cdot \sin \left(uy \cdot \color{blue}{\left(2 \cdot \pi\right)}\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   6. add-cube-cbrt 98.5%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\sqrt[3]{yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt[3]{yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   7. pow3 98.5%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{yi \cdot \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{3}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)}\right)}^{3}}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 98.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + {\left(\sqrt[3]{yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)}\right)}^{3}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. unpow2 91.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 91.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + {\left(\sqrt[3]{yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)}\right)}^{3}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
8. Step-by-step derivation

   1. rem-cube-cbrt 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot yi}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. *-commutative 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right)} \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*r* 98.8%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

10. Final simplification 98.8%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi + xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

Alternative 5: 89.6% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\\ zi \cdot t_0 + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* maxCos (- 1.0 ux)))))
   (+
    (* zi t_0)
    (+
     (*
      xi
      (*
       (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))
       (cos (* PI (* uy 2.0)))))
     (* 2.0 (* yi (* uy PI)))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (maxCos * (1.0f - ux));
	return (zi * t_0) + ((xi * (sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))) * cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))))) + (2.0f * (yi * (uy * ((float) M_PI)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)))
	return Float32(Float32(zi * t_0) + Float32(Float32(xi * Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(yi * Float32(uy * Float32(pi))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (maxCos * (single(1.0) - ux));
	tmp = (zi * t_0) + ((xi * (sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))) * cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))))) + (single(2.0) * (yi * (uy * single(pi)))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Taylor expanded in uy around 0 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 91.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. count-2 91.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in uy around 0 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 91.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. *-commutative 91.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(yi \cdot uy\right)} \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. associate-*r* 91.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \color{blue}{\left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Simplified 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Final simplification 91.6%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

Alternative 6: 89.6% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\\ zi \cdot t_0 + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + t_0 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + \left(uy + uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* maxCos (- 1.0 ux)))))
   (+
    (* zi t_0)
    (+
     (*
      xi
      (*
       (sqrt (+ 1.0 (* t_0 (* ux (* maxCos (+ ux -1.0))))))
       (cos (* PI (* uy 2.0)))))
     (* (+ uy uy) (* PI yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * (maxCos * (1.0f - ux));
	return (zi * t_0) + ((xi * (sqrtf((1.0f + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + -1.0f)))))) * cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))))) + ((uy + uy) * (((float) M_PI) * yi)));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)))
	return Float32(Float32(zi * t_0) + Float32(Float32(xi * Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(t_0 * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(ux + Float32(-1.0))))))) * cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))))) + Float32(Float32(uy + uy) * Float32(Float32(pi) * yi))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * (maxCos * (single(1.0) - ux));
	tmp = (zi * t_0) + ((xi * (sqrt((single(1.0) + (t_0 * (ux * (maxCos * (ux + single(-1.0))))))) * cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))))) + ((uy + uy) * (single(pi) * yi)));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Taylor expanded in uy around 0 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 91.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. count-2 91.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Final simplification 91.6%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + \left(uy + uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \]

Alternative 7: 89.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) + \left(uy + uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    xi
    (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* (* ux ux) (* maxCos maxCos))))))
   (* (+ uy uy) (* PI yi)))
  (* zi (- (* ux maxCos) (* maxCos (* ux ux))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - ((ux * ux) * (maxCos * maxCos)))))) + ((uy + uy) * (((float) M_PI) * yi))) + (zi * ((ux * maxCos) - (maxCos * (ux * ux))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(ux * ux) * Float32(maxCos * maxCos)))))) + Float32(Float32(uy + uy) * Float32(Float32(pi) * yi))) + Float32(zi * Float32(Float32(ux * maxCos) - Float32(maxCos * Float32(ux * ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - ((ux * ux) * (maxCos * maxCos)))))) + ((uy + uy) * (single(pi) * yi))) + (zi * ((ux * maxCos) - (maxCos * (ux * ux))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Taylor expanded in uy around 0 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 91.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. count-2 91.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 91.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 91.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 91.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Simplified 91.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Taylor expanded in ux around 0 91.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + maxCos \cdot ux\right)} \cdot zi \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-commutative 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux + -1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right)\right)} \cdot zi \]

    2. mul-1-neg 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux + \color{blue}{\left(-maxCos \cdot {ux}^{2}\right)}\right) \cdot zi \]

    3. unsub-neg 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux - maxCos \cdot {ux}^{2}\right)} \cdot zi \]

    4. unpow2 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(maxCos \cdot ux - maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot zi \]

11. Simplified 91.4%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux - maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

12. Final simplification 91.4%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) + \left(uy + uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos - maxCos \cdot \left(ux \cdot ux\right)\right) \]

Alternative 8: 89.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* maxCos (- 1.0 ux))))
  (+
   (*
    xi
    (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* (* ux ux) (* maxCos maxCos))))))
   (* 2.0 (* yi (* uy PI))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * (maxCos * (1.0f - ux)))) + ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - ((ux * ux) * (maxCos * maxCos)))))) + (2.0f * (yi * (uy * ((float) M_PI)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(Float32(1.0) - ux)))) + Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(ux * ux) * Float32(maxCos * maxCos)))))) + Float32(Float32(2.0) * Float32(yi * Float32(uy * Float32(pi))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * (maxCos * (single(1.0) - ux)))) + ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - ((ux * ux) * (maxCos * maxCos)))))) + (single(2.0) * (yi * (uy * single(pi)))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Taylor expanded in uy around 0 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 91.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. count-2 91.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 91.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 91.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 91.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Simplified 91.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Taylor expanded in uy around 0 91.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*r* 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(uy \cdot yi\right) \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

    2. *-commutative 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(yi \cdot uy\right)} \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

    3. associate-*r* 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + 2 \cdot \color{blue}{\left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

11. Simplified 91.4%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

12. Final simplification 91.4%

    \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) \]

Alternative 9: 89.5% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) + \left(uy + uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    xi
    (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* (* ux ux) (* maxCos maxCos))))))
   (* (+ uy uy) (* PI yi)))
  (* zi (* maxCos (* ux (- 1.0 ux))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - ((ux * ux) * (maxCos * maxCos)))))) + ((uy + uy) * (((float) M_PI) * yi))) + (zi * (maxCos * (ux * (1.0f - ux))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(ux * ux) * Float32(maxCos * maxCos)))))) + Float32(Float32(uy + uy) * Float32(Float32(pi) * yi))) + Float32(zi * Float32(maxCos * Float32(ux * Float32(Float32(1.0) - ux)))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - ((ux * ux) * (maxCos * maxCos)))))) + ((uy + uy) * (single(pi) * yi))) + (zi * (maxCos * (ux * (single(1.0) - ux))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Taylor expanded in uy around 0 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 91.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. count-2 91.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 91.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 91.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 91.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Simplified 91.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Taylor expanded in ux around 0 91.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(maxCos \cdot {ux}^{2}\right) + maxCos \cdot ux\right)} \cdot zi \]
10. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\color{blue}{\left(-maxCos \cdot {ux}^{2}\right)} + maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

    2. unpow2 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(-maxCos \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}\right) + maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

    3. associate-*r* 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(-\color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot ux}\right) + maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

    4. distribute-rgt-neg-in 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(-ux\right)} + maxCos \cdot ux\right) \cdot zi \]

    5. *-rgt-identity 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(-ux\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot 1}\right) \cdot zi \]

    6. distribute-lft-in 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \left(\left(-ux\right) + 1\right)\right)} \cdot zi \]

    7. +-commutative 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(1 + \left(-ux\right)\right)}\right) \cdot zi \]

    8. sub-neg 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(maxCos \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(1 - ux\right)}\right) \cdot zi \]

    9. *-commutative 91.4%

       \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

    10. associate-*r* 91.4%

        \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)} \cdot zi \]

    11. *-commutative 91.4%

        \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)} \cdot ux\right) \cdot zi \]

    12. associate-*l* 91.4%

        \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

11. Simplified 91.4%

    \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot ux\right)\right)} \cdot zi \]

12. Final simplification 91.4%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) + \left(uy + uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + zi \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \]

Alternative 10: 86.8% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) + \left(uy + uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    xi
    (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* (* ux ux) (* maxCos maxCos))))))
   (* (+ uy uy) (* PI yi)))
  (* zi (* ux maxCos))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - ((ux * ux) * (maxCos * maxCos)))))) + ((uy + uy) * (((float) M_PI) * yi))) + (zi * (ux * maxCos));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(ux * ux) * Float32(maxCos * maxCos)))))) + Float32(Float32(uy + uy) * Float32(Float32(pi) * yi))) + Float32(zi * Float32(ux * maxCos)))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - ((ux * ux) * (maxCos * maxCos)))))) + ((uy + uy) * (single(pi) * yi))) + (zi * (ux * maxCos));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Taylor expanded in uy around 0 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 91.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. count-2 91.6%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy + uy\right)} \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Simplified 91.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

6. Taylor expanded in ux around 0 91.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
7. Step-by-step derivation

   1. unpow2 91.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)} \cdot {ux}^{2}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 91.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Simplified 91.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

9. Taylor expanded in ux around 0 88.9%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(uy + uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right) + \color{blue}{\left(maxCos \cdot ux\right)} \cdot zi \]

10. Final simplification 88.9%

    \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right) + \left(uy + uy\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot maxCos\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023195 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))