Data.Array.Repa.Algorithms.Pixel:doubleRmsOfRGB8 from repa-algorithms-3.4.0.1

Percentage Accurate: 44.0% → 99.4%

Time: 6.1s

Alternatives: 8

Speedup: 0.6×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (sqrt (/ (+ (+ (* x x) (* y y)) (* z z)) 3.0)))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    code = sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z) {
	return Math.sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0));
}

Python

def code(x, y, z):
	return math.sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0))

Julia

function code(x, y, z)
	return sqrt(Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) + Float64(y * y)) + Float64(z * z)) / 3.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z)
	tmp = sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := N[Sqrt[N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(z * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Initial Program: 44.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (sqrt (/ (+ (+ (* x x) (* y y)) (* z z)) 3.0)))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    code = sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0d0))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z) {
	return Math.sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0));
}

Python

def code(x, y, z):
	return math.sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0))

Julia

function code(x, y, z)
	return sqrt(Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) + Float64(y * y)) + Float64(z * z)) / 3.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z)
	tmp = sqrt(((((x * x) + (y * y)) + (z * z)) / 3.0));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := N[Sqrt[N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(z * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \mathsf{hypot}\left(z, y\right)\right)}{\sqrt{3}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z) :precision binary64 (/ (hypot x (hypot z y)) (sqrt 3.0)))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return hypot(x, hypot(z, y)) / sqrt(3.0);
}

Java

public static double code(double x, double y, double z) {
	return Math.hypot(x, Math.hypot(z, y)) / Math.sqrt(3.0);
}

Python

def code(x, y, z):
	return math.hypot(x, math.hypot(z, y)) / math.sqrt(3.0)

Julia

function code(x, y, z)
	return Float64(hypot(x, hypot(z, y)) / sqrt(3.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z)
	tmp = hypot(x, hypot(z, y)) / sqrt(3.0);
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := N[(N[Sqrt[x ^ 2 + N[Sqrt[z ^ 2 + y ^ 2], $MachinePrecision] ^ 2], $MachinePrecision] / N[Sqrt[3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 46.9%

   \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]
2. Step-by-step derivation

   1. sqrt-div 46.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}}{\sqrt{3}}} \]

   2. div-inv 46.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \]

   3. associate-+l+ 46.4%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{x \cdot x + \left(y \cdot y + z \cdot z\right)}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]

   4. add-sqr-sqrt 46.4%

      \[\leadsto \sqrt{x \cdot x + \color{blue}{\sqrt{y \cdot y + z \cdot z} \cdot \sqrt{y \cdot y + z \cdot z}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]

   5. hypot-def 59.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{hypot}\left(x, \sqrt{y \cdot y + z \cdot z}\right)} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]

   6. hypot-def 98.6%

      \[\leadsto \mathsf{hypot}\left(x, \color{blue}{\mathsf{hypot}\left(y, z\right)}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]

3. Applied egg-rr 98.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{hypot}\left(x, \mathsf{hypot}\left(y, z\right)\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*r/ 99.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{hypot}\left(x, \mathsf{hypot}\left(y, z\right)\right) \cdot 1}{\sqrt{3}}} \]

   2. *-rgt-identity 99.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{hypot}\left(x, \mathsf{hypot}\left(y, z\right)\right)}}{\sqrt{3}} \]

   3. hypot-def 59.4%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \color{blue}{\sqrt{y \cdot y + z \cdot z}}\right)}{\sqrt{3}} \]

   4. unpow2 59.4%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \sqrt{y \cdot y + \color{blue}{{z}^{2}}}\right)}{\sqrt{3}} \]

   5. +-commutative 59.4%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \sqrt{\color{blue}{{z}^{2} + y \cdot y}}\right)}{\sqrt{3}} \]

   6. unpow2 59.4%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \sqrt{{z}^{2} + \color{blue}{{y}^{2}}}\right)}{\sqrt{3}} \]

   7. unpow2 59.4%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \sqrt{\color{blue}{z \cdot z} + {y}^{2}}\right)}{\sqrt{3}} \]

   8. unpow2 59.4%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \sqrt{z \cdot z + \color{blue}{y \cdot y}}\right)}{\sqrt{3}} \]

   9. hypot-def 99.3%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \color{blue}{\mathsf{hypot}\left(z, y\right)}\right)}{\sqrt{3}} \]

5. Simplified 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{hypot}\left(x, \mathsf{hypot}\left(z, y\right)\right)}{\sqrt{3}}} \]

6. Final simplification 99.3%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \mathsf{hypot}\left(z, y\right)\right)}{\sqrt{3}} \]

Alternative 2: 70.4% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(y, x\right)\\ \mathbf{if}\;z \leq 4.1 \cdot 10^{-70}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.26 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{x \cdot x + z \cdot z}{3}}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 2.3 \cdot 10^{+163}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sqrt 0.3333333333333333) (hypot y x))))
   (if (<= z 4.1e-70)
     t_0
     (if (<= z 1.26e+148)
       (sqrt (/ (+ (* x x) (* z z)) 3.0))
       (if (<= z 2.3e+163) t_0 (* z (sqrt 0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = sqrt(0.3333333333333333) * hypot(y, x);
	double tmp;
	if (z <= 4.1e-70) {
		tmp = t_0;
	} else if (z <= 1.26e+148) {
		tmp = sqrt((((x * x) + (z * z)) / 3.0));
	} else if (z <= 2.3e+163) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = z * sqrt(0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = Math.sqrt(0.3333333333333333) * Math.hypot(y, x);
	double tmp;
	if (z <= 4.1e-70) {
		tmp = t_0;
	} else if (z <= 1.26e+148) {
		tmp = Math.sqrt((((x * x) + (z * z)) / 3.0));
	} else if (z <= 2.3e+163) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = z * Math.sqrt(0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y, z):
	t_0 = math.sqrt(0.3333333333333333) * math.hypot(y, x)
	tmp = 0
	if z <= 4.1e-70:
		tmp = t_0
	elif z <= 1.26e+148:
		tmp = math.sqrt((((x * x) + (z * z)) / 3.0))
	elif z <= 2.3e+163:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = z * math.sqrt(0.3333333333333333)
	return tmp

Julia

function code(x, y, z)
	t_0 = Float64(sqrt(0.3333333333333333) * hypot(y, x))
	tmp = 0.0
	if (z <= 4.1e-70)
		tmp = t_0;
	elseif (z <= 1.26e+148)
		tmp = sqrt(Float64(Float64(Float64(x * x) + Float64(z * z)) / 3.0));
	elseif (z <= 2.3e+163)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(z * sqrt(0.3333333333333333));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y, z)
	t_0 = sqrt(0.3333333333333333) * hypot(y, x);
	tmp = 0.0;
	if (z <= 4.1e-70)
		tmp = t_0;
	elseif (z <= 1.26e+148)
		tmp = sqrt((((x * x) + (z * z)) / 3.0));
	elseif (z <= 2.3e+163)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = z * sqrt(0.3333333333333333);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision] * N[Sqrt[y ^ 2 + x ^ 2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 4.1e-70], t$95$0, If[LessEqual[z, 1.26e+148], N[Sqrt[N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(z * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[z, 2.3e+163], t$95$0, N[(z * N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if z < 4.09999999999999977e-70 or 1.25999999999999997e148 < z < 2.30000000000000002e163

   1. Initial program 49.5%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in z around 0 37.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{y}^{2} + {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 37.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{{y}^{2} + {x}^{2}}} \]

      2. unpow2 37.7%

         \[\leadsto \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{\color{blue}{y \cdot y} + {x}^{2}} \]

      3. unpow2 37.7%

         \[\leadsto \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{y \cdot y + \color{blue}{x \cdot x}} \]

      4. hypot-def 72.7%

         \[\leadsto \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\mathsf{hypot}\left(y, x\right)} \]

   4. Simplified 72.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(y, x\right)} \]

   if 4.09999999999999977e-70 < z < 1.25999999999999997e148

   1. Initial program 63.9%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in x around inf 46.7%

      \[\leadsto \sqrt{\frac{\color{blue}{{x}^{2}} + z \cdot z}{3}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 46.7%

         \[\leadsto \sqrt{\frac{\color{blue}{x \cdot x} + z \cdot z}{3}} \]

   4. Simplified 46.7%

      \[\leadsto \sqrt{\frac{\color{blue}{x \cdot x} + z \cdot z}{3}} \]

   if 2.30000000000000002e163 < z

   1. Initial program 7.1%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in z around inf 84.4%

      \[\leadsto \color{blue}{z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 69.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 4.1 \cdot 10^{-70}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(y, x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.26 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{x \cdot x + z \cdot z}{3}}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 2.3 \cdot 10^{+163}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(y, x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 67.3% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(z, x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z) :precision binary64 (* (sqrt 0.3333333333333333) (hypot z x)))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return sqrt(0.3333333333333333) * hypot(z, x);
}

Java

public static double code(double x, double y, double z) {
	return Math.sqrt(0.3333333333333333) * Math.hypot(z, x);
}

Python

def code(x, y, z):
	return math.sqrt(0.3333333333333333) * math.hypot(z, x)

Julia

function code(x, y, z)
	return Float64(sqrt(0.3333333333333333) * hypot(z, x))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z)
	tmp = sqrt(0.3333333333333333) * hypot(z, x);
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := N[(N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision] * N[Sqrt[z ^ 2 + x ^ 2], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 46.9%

   \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

2. Taylor expanded in y around 0 32.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{z}^{2} + {x}^{2}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 32.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{{z}^{2} + {x}^{2}}} \]

   2. unpow2 32.7%

      \[\leadsto \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{\color{blue}{z \cdot z} + {x}^{2}} \]

   3. unpow2 32.7%

      \[\leadsto \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \sqrt{z \cdot z + \color{blue}{x \cdot x}} \]

   4. hypot-def 70.3%

      \[\leadsto \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\mathsf{hypot}\left(z, x\right)} \]

4. Simplified 70.3%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(z, x\right)} \]

5. Final simplification 70.3%

   \[\leadsto \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \mathsf{hypot}\left(z, x\right) \]

Alternative 4: 31.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)\\ \mathbf{if}\;z \leq 2.15 \cdot 10^{-71}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;z \leq 7.8 \cdot 10^{+147}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{x \cdot x + z \cdot z}{3}}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 3.5 \cdot 10^{+163}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sqrt 0.3333333333333333) (- x))))
   (if (<= z 2.15e-71)
     t_0
     (if (<= z 7.8e+147)
       (sqrt (/ (+ (* x x) (* z z)) 3.0))
       (if (<= z 3.5e+163) t_0 (* z (sqrt 0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = sqrt(0.3333333333333333) * -x;
	double tmp;
	if (z <= 2.15e-71) {
		tmp = t_0;
	} else if (z <= 7.8e+147) {
		tmp = sqrt((((x * x) + (z * z)) / 3.0));
	} else if (z <= 3.5e+163) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = z * sqrt(0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sqrt(0.3333333333333333d0) * -x
    if (z <= 2.15d-71) then
        tmp = t_0
    else if (z <= 7.8d+147) then
        tmp = sqrt((((x * x) + (z * z)) / 3.0d0))
    else if (z <= 3.5d+163) then
        tmp = t_0
    else
        tmp = z * sqrt(0.3333333333333333d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = Math.sqrt(0.3333333333333333) * -x;
	double tmp;
	if (z <= 2.15e-71) {
		tmp = t_0;
	} else if (z <= 7.8e+147) {
		tmp = Math.sqrt((((x * x) + (z * z)) / 3.0));
	} else if (z <= 3.5e+163) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = z * Math.sqrt(0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y, z):
	t_0 = math.sqrt(0.3333333333333333) * -x
	tmp = 0
	if z <= 2.15e-71:
		tmp = t_0
	elif z <= 7.8e+147:
		tmp = math.sqrt((((x * x) + (z * z)) / 3.0))
	elif z <= 3.5e+163:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = z * math.sqrt(0.3333333333333333)
	return tmp

Julia

function code(x, y, z)
	t_0 = Float64(sqrt(0.3333333333333333) * Float64(-x))
	tmp = 0.0
	if (z <= 2.15e-71)
		tmp = t_0;
	elseif (z <= 7.8e+147)
		tmp = sqrt(Float64(Float64(Float64(x * x) + Float64(z * z)) / 3.0));
	elseif (z <= 3.5e+163)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(z * sqrt(0.3333333333333333));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y, z)
	t_0 = sqrt(0.3333333333333333) * -x;
	tmp = 0.0;
	if (z <= 2.15e-71)
		tmp = t_0;
	elseif (z <= 7.8e+147)
		tmp = sqrt((((x * x) + (z * z)) / 3.0));
	elseif (z <= 3.5e+163)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = z * sqrt(0.3333333333333333);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision] * (-x)), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 2.15e-71], t$95$0, If[LessEqual[z, 7.8e+147], N[Sqrt[N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(z * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[z, 3.5e+163], t$95$0, N[(z * N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if z < 2.1499999999999998e-71 or 7.80000000000000033e147 < z < 3.5000000000000003e163

   1. Initial program 49.5%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in x around -inf 20.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 20.8%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sqrt{0.3333333333333333} \cdot x} \]

      2. distribute-rgt-neg-in 20.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)} \]

   4. Simplified 20.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)} \]

   if 2.1499999999999998e-71 < z < 7.80000000000000033e147

   1. Initial program 63.9%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in x around inf 46.7%

      \[\leadsto \sqrt{\frac{\color{blue}{{x}^{2}} + z \cdot z}{3}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 46.7%

         \[\leadsto \sqrt{\frac{\color{blue}{x \cdot x} + z \cdot z}{3}} \]

   4. Simplified 46.7%

      \[\leadsto \sqrt{\frac{\color{blue}{x \cdot x} + z \cdot z}{3}} \]

   if 3.5000000000000003e163 < z

   1. Initial program 7.1%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in z around inf 84.4%

      \[\leadsto \color{blue}{z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 32.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 2.15 \cdot 10^{-71}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 7.8 \cdot 10^{+147}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\frac{x \cdot x + z \cdot z}{3}}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 3.5 \cdot 10^{+163}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 29.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)\\ \mathbf{if}\;z \leq 2.1 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.15 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;\frac{z}{\sqrt{3}}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 6.2 \cdot 10^{+162}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sqrt 0.3333333333333333) (- x))))
   (if (<= z 2.1e-16)
     t_0
     (if (<= z 1.15e+148)
       (/ z (sqrt 3.0))
       (if (<= z 6.2e+162) t_0 (* z (sqrt 0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = sqrt(0.3333333333333333) * -x;
	double tmp;
	if (z <= 2.1e-16) {
		tmp = t_0;
	} else if (z <= 1.15e+148) {
		tmp = z / sqrt(3.0);
	} else if (z <= 6.2e+162) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = z * sqrt(0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sqrt(0.3333333333333333d0) * -x
    if (z <= 2.1d-16) then
        tmp = t_0
    else if (z <= 1.15d+148) then
        tmp = z / sqrt(3.0d0)
    else if (z <= 6.2d+162) then
        tmp = t_0
    else
        tmp = z * sqrt(0.3333333333333333d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = Math.sqrt(0.3333333333333333) * -x;
	double tmp;
	if (z <= 2.1e-16) {
		tmp = t_0;
	} else if (z <= 1.15e+148) {
		tmp = z / Math.sqrt(3.0);
	} else if (z <= 6.2e+162) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = z * Math.sqrt(0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y, z):
	t_0 = math.sqrt(0.3333333333333333) * -x
	tmp = 0
	if z <= 2.1e-16:
		tmp = t_0
	elif z <= 1.15e+148:
		tmp = z / math.sqrt(3.0)
	elif z <= 6.2e+162:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = z * math.sqrt(0.3333333333333333)
	return tmp

Julia

function code(x, y, z)
	t_0 = Float64(sqrt(0.3333333333333333) * Float64(-x))
	tmp = 0.0
	if (z <= 2.1e-16)
		tmp = t_0;
	elseif (z <= 1.15e+148)
		tmp = Float64(z / sqrt(3.0));
	elseif (z <= 6.2e+162)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(z * sqrt(0.3333333333333333));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y, z)
	t_0 = sqrt(0.3333333333333333) * -x;
	tmp = 0.0;
	if (z <= 2.1e-16)
		tmp = t_0;
	elseif (z <= 1.15e+148)
		tmp = z / sqrt(3.0);
	elseif (z <= 6.2e+162)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = z * sqrt(0.3333333333333333);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision] * (-x)), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 2.1e-16], t$95$0, If[LessEqual[z, 1.15e+148], N[(z / N[Sqrt[3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[z, 6.2e+162], t$95$0, N[(z * N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if z < 2.1000000000000001e-16 or 1.15e148 < z < 6.1999999999999999e162

   1. Initial program 50.2%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in x around -inf 20.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 20.6%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sqrt{0.3333333333333333} \cdot x} \]

      2. distribute-rgt-neg-in 20.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)} \]

   4. Simplified 20.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)} \]

   if 2.1000000000000001e-16 < z < 1.15e148

   1. Initial program 63.6%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sqrt-div 63.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sqrt{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}}{\sqrt{3}}} \]

      2. div-inv 63.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \]

      3. associate-+l+ 63.0%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{x \cdot x + \left(y \cdot y + z \cdot z\right)}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]

      4. add-sqr-sqrt 63.0%

         \[\leadsto \sqrt{x \cdot x + \color{blue}{\sqrt{y \cdot y + z \cdot z} \cdot \sqrt{y \cdot y + z \cdot z}}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]

      5. hypot-def 80.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{hypot}\left(x, \sqrt{y \cdot y + z \cdot z}\right)} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]

      6. hypot-def 98.6%

         \[\leadsto \mathsf{hypot}\left(x, \color{blue}{\mathsf{hypot}\left(y, z\right)}\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \]

   3. Applied egg-rr 98.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{hypot}\left(x, \mathsf{hypot}\left(y, z\right)\right) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{hypot}\left(x, \mathsf{hypot}\left(y, z\right)\right) \cdot 1}{\sqrt{3}}} \]

      2. *-rgt-identity 99.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{hypot}\left(x, \mathsf{hypot}\left(y, z\right)\right)}}{\sqrt{3}} \]

      3. hypot-def 81.4%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \color{blue}{\sqrt{y \cdot y + z \cdot z}}\right)}{\sqrt{3}} \]

      4. unpow2 81.4%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \sqrt{y \cdot y + \color{blue}{{z}^{2}}}\right)}{\sqrt{3}} \]

      5. +-commutative 81.4%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \sqrt{\color{blue}{{z}^{2} + y \cdot y}}\right)}{\sqrt{3}} \]

      6. unpow2 81.4%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \sqrt{{z}^{2} + \color{blue}{{y}^{2}}}\right)}{\sqrt{3}} \]

      7. unpow2 81.4%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \sqrt{\color{blue}{z \cdot z} + {y}^{2}}\right)}{\sqrt{3}} \]

      8. unpow2 81.4%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \sqrt{z \cdot z + \color{blue}{y \cdot y}}\right)}{\sqrt{3}} \]

      9. hypot-def 99.5%

         \[\leadsto \frac{\mathsf{hypot}\left(x, \color{blue}{\mathsf{hypot}\left(z, y\right)}\right)}{\sqrt{3}} \]

   5. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\mathsf{hypot}\left(x, \mathsf{hypot}\left(z, y\right)\right)}{\sqrt{3}}} \]

   6. Taylor expanded in z around inf 52.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{z}{\sqrt{3}}} \]

   if 6.1999999999999999e162 < z

   1. Initial program 7.1%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in z around inf 84.4%

      \[\leadsto \color{blue}{z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 32.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 2.1 \cdot 10^{-16}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.15 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;\frac{z}{\sqrt{3}}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 6.2 \cdot 10^{+162}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 29.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)\\ \mathbf{if}\;z \leq 1.8 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.26 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;\sqrt{z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333\right)}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 6.2 \cdot 10^{+162}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sqrt 0.3333333333333333) (- x))))
   (if (<= z 1.8e-14)
     t_0
     (if (<= z 1.26e+148)
       (sqrt (* z (* z 0.3333333333333333)))
       (if (<= z 6.2e+162) t_0 (* z (sqrt 0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = sqrt(0.3333333333333333) * -x;
	double tmp;
	if (z <= 1.8e-14) {
		tmp = t_0;
	} else if (z <= 1.26e+148) {
		tmp = sqrt((z * (z * 0.3333333333333333)));
	} else if (z <= 6.2e+162) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = z * sqrt(0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sqrt(0.3333333333333333d0) * -x
    if (z <= 1.8d-14) then
        tmp = t_0
    else if (z <= 1.26d+148) then
        tmp = sqrt((z * (z * 0.3333333333333333d0)))
    else if (z <= 6.2d+162) then
        tmp = t_0
    else
        tmp = z * sqrt(0.3333333333333333d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = Math.sqrt(0.3333333333333333) * -x;
	double tmp;
	if (z <= 1.8e-14) {
		tmp = t_0;
	} else if (z <= 1.26e+148) {
		tmp = Math.sqrt((z * (z * 0.3333333333333333)));
	} else if (z <= 6.2e+162) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = z * Math.sqrt(0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y, z):
	t_0 = math.sqrt(0.3333333333333333) * -x
	tmp = 0
	if z <= 1.8e-14:
		tmp = t_0
	elif z <= 1.26e+148:
		tmp = math.sqrt((z * (z * 0.3333333333333333)))
	elif z <= 6.2e+162:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = z * math.sqrt(0.3333333333333333)
	return tmp

Julia

function code(x, y, z)
	t_0 = Float64(sqrt(0.3333333333333333) * Float64(-x))
	tmp = 0.0
	if (z <= 1.8e-14)
		tmp = t_0;
	elseif (z <= 1.26e+148)
		tmp = sqrt(Float64(z * Float64(z * 0.3333333333333333)));
	elseif (z <= 6.2e+162)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(z * sqrt(0.3333333333333333));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y, z)
	t_0 = sqrt(0.3333333333333333) * -x;
	tmp = 0.0;
	if (z <= 1.8e-14)
		tmp = t_0;
	elseif (z <= 1.26e+148)
		tmp = sqrt((z * (z * 0.3333333333333333)));
	elseif (z <= 6.2e+162)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = z * sqrt(0.3333333333333333);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision] * (-x)), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 1.8e-14], t$95$0, If[LessEqual[z, 1.26e+148], N[Sqrt[N[(z * N[(z * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[z, 6.2e+162], t$95$0, N[(z * N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if z < 1.7999999999999999e-14 or 1.25999999999999997e148 < z < 6.1999999999999999e162

   1. Initial program 50.2%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in x around -inf 20.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 20.6%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sqrt{0.3333333333333333} \cdot x} \]

      2. distribute-rgt-neg-in 20.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)} \]

   4. Simplified 20.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)} \]

   if 1.7999999999999999e-14 < z < 1.25999999999999997e148

   1. Initial program 63.6%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in z around inf 52.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {z}^{2}}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 52.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{z}^{2} \cdot 0.3333333333333333}} \]

      2. unpow2 52.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(z \cdot z\right)} \cdot 0.3333333333333333} \]

      3. associate-*l* 52.7%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333\right)}} \]

   4. Simplified 52.7%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333\right)}} \]

   if 6.1999999999999999e162 < z

   1. Initial program 7.1%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in z around inf 84.4%

      \[\leadsto \color{blue}{z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 32.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 1.8 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.26 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;\sqrt{z \cdot \left(z \cdot 0.3333333333333333\right)}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 6.2 \cdot 10^{+162}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\\ \end{array} \]

Alternative 7: 29.6% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)\\ \mathbf{if}\;z \leq 1.8 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.26 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333 \cdot \left(z \cdot z\right)}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 8.2 \cdot 10^{+162}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (sqrt 0.3333333333333333) (- x))))
   (if (<= z 1.8e-14)
     t_0
     (if (<= z 1.26e+148)
       (sqrt (* 0.3333333333333333 (* z z)))
       (if (<= z 8.2e+162) t_0 (* z (sqrt 0.3333333333333333)))))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = sqrt(0.3333333333333333) * -x;
	double tmp;
	if (z <= 1.8e-14) {
		tmp = t_0;
	} else if (z <= 1.26e+148) {
		tmp = sqrt((0.3333333333333333 * (z * z)));
	} else if (z <= 8.2e+162) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = z * sqrt(0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = sqrt(0.3333333333333333d0) * -x
    if (z <= 1.8d-14) then
        tmp = t_0
    else if (z <= 1.26d+148) then
        tmp = sqrt((0.3333333333333333d0 * (z * z)))
    else if (z <= 8.2d+162) then
        tmp = t_0
    else
        tmp = z * sqrt(0.3333333333333333d0)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z) {
	double t_0 = Math.sqrt(0.3333333333333333) * -x;
	double tmp;
	if (z <= 1.8e-14) {
		tmp = t_0;
	} else if (z <= 1.26e+148) {
		tmp = Math.sqrt((0.3333333333333333 * (z * z)));
	} else if (z <= 8.2e+162) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = z * Math.sqrt(0.3333333333333333);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y, z):
	t_0 = math.sqrt(0.3333333333333333) * -x
	tmp = 0
	if z <= 1.8e-14:
		tmp = t_0
	elif z <= 1.26e+148:
		tmp = math.sqrt((0.3333333333333333 * (z * z)))
	elif z <= 8.2e+162:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = z * math.sqrt(0.3333333333333333)
	return tmp

Julia

function code(x, y, z)
	t_0 = Float64(sqrt(0.3333333333333333) * Float64(-x))
	tmp = 0.0
	if (z <= 1.8e-14)
		tmp = t_0;
	elseif (z <= 1.26e+148)
		tmp = sqrt(Float64(0.3333333333333333 * Float64(z * z)));
	elseif (z <= 8.2e+162)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = Float64(z * sqrt(0.3333333333333333));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y, z)
	t_0 = sqrt(0.3333333333333333) * -x;
	tmp = 0.0;
	if (z <= 1.8e-14)
		tmp = t_0;
	elseif (z <= 1.26e+148)
		tmp = sqrt((0.3333333333333333 * (z * z)));
	elseif (z <= 8.2e+162)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = z * sqrt(0.3333333333333333);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision] * (-x)), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[z, 1.8e-14], t$95$0, If[LessEqual[z, 1.26e+148], N[Sqrt[N[(0.3333333333333333 * N[(z * z), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], If[LessEqual[z, 8.2e+162], t$95$0, N[(z * N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if z < 1.7999999999999999e-14 or 1.25999999999999997e148 < z < 8.1999999999999998e162

   1. Initial program 50.2%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in x around -inf 20.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sqrt{0.3333333333333333} \cdot x\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 20.6%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sqrt{0.3333333333333333} \cdot x} \]

      2. distribute-rgt-neg-in 20.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)} \]

   4. Simplified 20.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)} \]

   if 1.7999999999999999e-14 < z < 1.25999999999999997e148

   1. Initial program 63.6%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in z around inf 52.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {z}^{2}}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 52.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{z}^{2} \cdot 0.3333333333333333}} \]

      2. unpow2 52.8%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(z \cdot z\right)} \cdot 0.3333333333333333} \]

   4. Simplified 52.8%

      \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(z \cdot z\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]

   if 8.1999999999999998e162 < z

   1. Initial program 7.1%

      \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

   2. Taylor expanded in z around inf 84.4%

      \[\leadsto \color{blue}{z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 32.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z \leq 1.8 \cdot 10^{-14}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)\\ \mathbf{elif}\;z \leq 1.26 \cdot 10^{+148}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333 \cdot \left(z \cdot z\right)}\\ \mathbf{elif}\;z \leq 8.2 \cdot 10^{+162}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot \left(-x\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}\\ \end{array} \]

Alternative 8: 18.3% accurate, 1.1× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ z \cdot \sqrt{0.3333333333333333} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z) :precision binary64 (* z (sqrt 0.3333333333333333)))

C

double code(double x, double y, double z) {
	return z * sqrt(0.3333333333333333);
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    code = z * sqrt(0.3333333333333333d0)
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z) {
	return z * Math.sqrt(0.3333333333333333);
}

Python

def code(x, y, z):
	return z * math.sqrt(0.3333333333333333)

Julia

function code(x, y, z)
	return Float64(z * sqrt(0.3333333333333333))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z)
	tmp = z * sqrt(0.3333333333333333);
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := N[(z * N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 46.9%

   \[\sqrt{\frac{\left(x \cdot x + y \cdot y\right) + z \cdot z}{3}} \]

2. Taylor expanded in z around inf 19.4%

   \[\leadsto \color{blue}{z \cdot \sqrt{0.3333333333333333}} \]

3. Final simplification 19.4%

   \[\leadsto z \cdot \sqrt{0.3333333333333333} \]

Developer target: 61.3% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;z < -6.396479394109776 \cdot 10^{+136}:\\ \;\;\;\;\frac{-z}{\sqrt{3}}\\ \mathbf{elif}\;z < 7.320293694404182 \cdot 10^{+117}:\\ \;\;\;\;\frac{\sqrt{\left(z \cdot z + x \cdot x\right) + y \cdot y}}{\sqrt{3}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{0.3333333333333333} \cdot z\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z)
 :precision binary64
 (if (< z -6.396479394109776e+136)
   (/ (- z) (sqrt 3.0))
   (if (< z 7.320293694404182e+117)
     (/ (sqrt (+ (+ (* z z) (* x x)) (* y y))) (sqrt 3.0))
     (* (sqrt 0.3333333333333333) z))))

C

double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if (z < -6.396479394109776e+136) {
		tmp = -z / sqrt(3.0);
	} else if (z < 7.320293694404182e+117) {
		tmp = sqrt((((z * z) + (x * x)) + (y * y))) / sqrt(3.0);
	} else {
		tmp = sqrt(0.3333333333333333) * z;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8) :: tmp
    if (z < (-6.396479394109776d+136)) then
        tmp = -z / sqrt(3.0d0)
    else if (z < 7.320293694404182d+117) then
        tmp = sqrt((((z * z) + (x * x)) + (y * y))) / sqrt(3.0d0)
    else
        tmp = sqrt(0.3333333333333333d0) * z
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z) {
	double tmp;
	if (z < -6.396479394109776e+136) {
		tmp = -z / Math.sqrt(3.0);
	} else if (z < 7.320293694404182e+117) {
		tmp = Math.sqrt((((z * z) + (x * x)) + (y * y))) / Math.sqrt(3.0);
	} else {
		tmp = Math.sqrt(0.3333333333333333) * z;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y, z):
	tmp = 0
	if z < -6.396479394109776e+136:
		tmp = -z / math.sqrt(3.0)
	elif z < 7.320293694404182e+117:
		tmp = math.sqrt((((z * z) + (x * x)) + (y * y))) / math.sqrt(3.0)
	else:
		tmp = math.sqrt(0.3333333333333333) * z
	return tmp

Julia

function code(x, y, z)
	tmp = 0.0
	if (z < -6.396479394109776e+136)
		tmp = Float64(Float64(-z) / sqrt(3.0));
	elseif (z < 7.320293694404182e+117)
		tmp = Float64(sqrt(Float64(Float64(Float64(z * z) + Float64(x * x)) + Float64(y * y))) / sqrt(3.0));
	else
		tmp = Float64(sqrt(0.3333333333333333) * z);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y, z)
	tmp = 0.0;
	if (z < -6.396479394109776e+136)
		tmp = -z / sqrt(3.0);
	elseif (z < 7.320293694404182e+117)
		tmp = sqrt((((z * z) + (x * x)) + (y * y))) / sqrt(3.0);
	else
		tmp = sqrt(0.3333333333333333) * z;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_, z_] := If[Less[z, -6.396479394109776e+136], N[((-z) / N[Sqrt[3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[Less[z, 7.320293694404182e+117], N[(N[Sqrt[N[(N[(N[(z * z), $MachinePrecision] + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / N[Sqrt[3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sqrt[0.3333333333333333], $MachinePrecision] * z), $MachinePrecision]]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023195 
(FPCore (x y z)
  :name "Data.Array.Repa.Algorithms.Pixel:doubleRmsOfRGB8 from repa-algorithms-3.4.0.1"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< z -6.396479394109776e+136) (/ (- z) (sqrt 3.0)) (if (< z 7.320293694404182e+117) (/ (sqrt (+ (+ (* z z) (* x x)) (* y y))) (sqrt 3.0)) (* (sqrt 0.3333333333333333) z)))

  (sqrt (/ (+ (+ (* x x) (* y y)) (* z z)) 3.0)))