UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 98.9% → 99.0%

Time: 22.6s

Alternatives: 8

Speedup: 1.0×

Specification

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Initial Program: 98.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\\ t_1 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ t_2 := \left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\\ \left(\left(\cos t_2 \cdot t_1\right) \cdot xi + \left(\sin t_2 \cdot t_1\right) \cdot yi\right) + t_0 \cdot zi \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))
        (t_1 (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0))))
        (t_2 (* (* uy 2.0) PI)))
   (+ (+ (* (* (cos t_2) t_1) xi) (* (* (sin t_2) t_1) yi)) (* t_0 zi))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ((1.0f - ux) * maxCos) * ux;
	float t_1 = sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0)));
	float t_2 = (uy * 2.0f) * ((float) M_PI);
	return (((cosf(t_2) * t_1) * xi) + ((sinf(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux)
	t_1 = sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0)))
	t_2 = Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(t_2) * t_1) * xi) + Float32(Float32(sin(t_2) * t_1) * yi)) + Float32(t_0 * zi))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ((single(1.0) - ux) * maxCos) * ux;
	t_1 = sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0)));
	t_2 = (uy * single(2.0)) * single(pi);
	tmp = (((cos(t_2) * t_1) * xi) + ((sin(t_2) * t_1) * yi)) + (t_0 * zi);
end

Alternative 1: 99.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi + \sin t_0 \cdot yi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (fma
    ux
    (* (- 1.0 ux) (* maxCos zi))
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (* maxCos (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0))))))))
     (+ (* (cos t_0) xi) (* (sin t_0) yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return fmaf(ux, ((1.0f - ux) * (maxCos * zi)), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * (maxCos * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f)))))))) * ((cosf(t_0) * xi) + (sinf(t_0) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return fma(ux, Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * zi)), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) * Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(sin(t_0) * yi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

4. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

Alternative 2: 98.9% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + zi \cdot t_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))))
   (+
    (+
     (* xi (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0)))))
     (* yi (sin (* 2.0 (* uy PI)))))
    (* zi t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	return ((xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0))))) + (yi * sinf((2.0f * (uy * ((float) M_PI)))))) + (zi * t_0);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	return Float32(Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))) + Float32(yi * sin(Float32(Float32(2.0) * Float32(uy * Float32(pi)))))) + Float32(zi * t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	tmp = ((xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0))))) + (yi * sin((single(2.0) * (uy * single(pi)))))) + (zi * t_0);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Taylor expanded in ux around 0 99.0%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Final simplification 99.0%

   \[\leadsto \left(xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \]

Alternative 3: 90.4% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  ux
  (* (- 1.0 ux) (* maxCos zi))
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (* maxCos (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0))))))))
   (+ (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) xi) (* (* uy 2.0) (* PI yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(ux, ((1.0f - ux) * (maxCos * zi)), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * (maxCos * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f)))))))) * ((cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * xi) + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(ux, Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * zi)), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) * Float32(Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * xi) + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi)))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

7. Final simplification 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 4: 90.2% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi + t_0 \cdot yi\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (fma
    ux
    (* (- 1.0 ux) (* maxCos zi))
    (*
     (sqrt (- 1.0 (* ux (* ux (* maxCos maxCos)))))
     (+ (* (cos t_0) xi) (* t_0 yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return fmaf(ux, ((1.0f - ux) * (maxCos * zi)), (sqrtf((1.0f - (ux * (ux * (maxCos * maxCos))))) * ((cosf(t_0) * xi) + (t_0 * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return fma(ux, Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * zi)), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * maxCos))))) * Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(t_0 * yi))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 90.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{1}\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 89.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. expm1-udef 64.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)} - 1\right)}\right)\right) \]

   3. *-commutative 64.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)} - 1\right)\right)\right) \]

   4. associate-*r* 64.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) \cdot yi}\right)} - 1\right)\right)\right) \]

   5. *-commutative 64.5%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)} \cdot yi\right)} - 1\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 64.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot yi\right)} - 1\right)}\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. expm1-def 89.6%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]

    2. expm1-log1p 90.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot yi}\right)\right) \]

    3. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}\right)\right) \]

    4. associate-*r* 90.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + yi \cdot \color{blue}{\left(\left(\pi \cdot 2\right) \cdot uy\right)}\right)\right) \]

    5. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + yi \cdot \left(\color{blue}{\left(2 \cdot \pi\right)} \cdot uy\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + yi \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]

11. Simplified 90.1%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]

12. Final simplification 90.1%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

Alternative 5: 90.2% accurate, 1.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  ux
  (* (- 1.0 ux) (* maxCos zi))
  (*
   (sqrt (- 1.0 (* ux (* ux (* maxCos maxCos)))))
   (+ (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) xi) (* (* 2.0 PI) (* uy yi))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(ux, ((1.0f - ux) * (maxCos * zi)), (sqrtf((1.0f - (ux * (ux * (maxCos * maxCos))))) * ((cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * xi) + ((2.0f * ((float) M_PI)) * (uy * yi)))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(ux, Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * zi)), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * maxCos))))) * Float32(Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * xi) + Float32(Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)) * Float32(uy * yi)))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 90.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{1}\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. log1p-expm1-u 89.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right)}\right)\right) \]

   2. *-commutative 89.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot yi\right)}\right)\right)\right)\right) \]

   3. associate-*r* 89.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right) \cdot yi}\right)\right)\right)\right) \]

   4. *-commutative 89.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)} \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 89.6%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot yi\right)\right)}\right)\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. log1p-expm1-u 90.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right) \cdot yi}\right)\right) \]

    2. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{yi \cdot \left(\pi \cdot \left(2 \cdot uy\right)\right)}\right)\right) \]

    3. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + yi \cdot \color{blue}{\left(\left(2 \cdot uy\right) \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

    4. *-commutative 90.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + yi \cdot \left(\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right)} \cdot \pi\right)\right)\right) \]

    5. associate-*l* 90.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + yi \cdot \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]

    6. associate-*r* 90.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(yi \cdot uy\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 90.1%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(yi \cdot uy\right) \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

12. Final simplification 90.1%

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \]

Alternative 6: 87.4% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \mathsf{fma}\left(ux, maxCos \cdot zi, \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  ux
  (* maxCos zi)
  (*
   (+ (* (cos (* uy (* 2.0 PI))) xi) (* (* uy 2.0) (* PI yi)))
   (sqrt (- 1.0 (* ux (* ux (* maxCos maxCos))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(ux, (maxCos * zi), (((cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))) * xi) + ((uy * 2.0f) * (((float) M_PI) * yi))) * sqrtf((1.0f - (ux * (ux * (maxCos * maxCos)))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(ux, Float32(maxCos * zi), Float32(Float32(Float32(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))) * xi) + Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(Float32(pi) * yi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * maxCos)))))))
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]

4. Taylor expanded in uy around 0 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{2 \cdot \left(uy \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 90.2%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

6. Simplified 90.2%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)}\right)\right) \]

7. Taylor expanded in ux around 0 90.1%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \color{blue}{1}\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \]

8. Taylor expanded in ux around 0 88.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \color{blue}{maxCos \cdot zi}, \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot 1\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(2 \cdot uy\right) \cdot \left(yi \cdot \pi\right)\right)\right) \]

9. Final simplification 88.3%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, maxCos \cdot zi, \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}\right) \]

Alternative 7: 60.3% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + zi \cdot t_0 \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos))))
   (+
    (* xi (* (cos (* PI (* uy 2.0))) (sqrt (- 1.0 (* t_0 t_0)))))
    (* zi t_0))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = ux * ((1.0f - ux) * maxCos);
	return (xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - (t_0 * t_0))))) + (zi * t_0);
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))
	return Float32(Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(t_0 * t_0))))) + Float32(zi * t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos);
	tmp = (xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - (t_0 * t_0))))) + (zi * t_0);
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. add-cube-cbrt 98.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)} \cdot \sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. pow3 98.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)}^{3}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*r* 98.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi}}\right)}^{3}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Applied egg-rr 98.3%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi}\right)}^{3}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Taylor expanded in uy around 0 58.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{0}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Final simplification 58.6%

   \[\leadsto xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)}\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \]

Alternative 8: 60.2% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (* zi (* ux (* (- 1.0 ux) maxCos)))
  (*
   xi
   (*
    (cos (* PI (* uy 2.0)))
    (sqrt (- 1.0 (* (* ux maxCos) (* ux maxCos))))))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (zi * (ux * ((1.0f - ux) * maxCos))) + (xi * (cosf((((float) M_PI) * (uy * 2.0f))) * sqrtf((1.0f - ((ux * maxCos) * (ux * maxCos))))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(zi * Float32(ux * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos))) + Float32(xi * Float32(cos(Float32(Float32(pi) * Float32(uy * Float32(2.0)))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * maxCos)))))))
end

MATLAB

function tmp = code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	tmp = (zi * (ux * ((single(1.0) - ux) * maxCos))) + (xi * (cos((single(pi) * (uy * single(2.0)))) * sqrt((single(1.0) - ((ux * maxCos) * (ux * maxCos))))));
end

Derivation

1. Initial program 99.0%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. add-cube-cbrt 98.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)} \cdot \sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. pow3 98.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)}^{3}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. associate-*r* 98.3%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left({\left(\sqrt[3]{\color{blue}{\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi}}\right)}^{3}\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Applied egg-rr 98.3%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi}\right)}^{3}\right)} \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

4. Taylor expanded in uy around 0 58.6%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \color{blue}{0}\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

5. Taylor expanded in ux around 0 58.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{maxCos}^{2} \cdot {ux}^{2}}}\right) \cdot xi + 0\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 58.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{{ux}^{2} \cdot {maxCos}^{2}}}\right) \cdot xi + 0\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   2. unpow2 58.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot ux\right)} \cdot {maxCos}^{2}}\right) \cdot xi + 0\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   3. unpow2 58.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \color{blue}{\left(maxCos \cdot maxCos\right)}}\right) \cdot xi + 0\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

   4. unswap-sqr 58.4%

      \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}}\right) \cdot xi + 0\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

7. Simplified 58.4%

   \[\leadsto \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \color{blue}{\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}}\right) \cdot xi + 0\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

8. Final simplification 58.4%

   \[\leadsto zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) + xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)}\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023194 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))