2-ancestry mixing, negative discriminant

Percentage Accurate: 98.4% → 98.2%

Time: 6.7s

Alternatives: 5

Speedup: 1.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos((((2.0 * ((double) M_PI)) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos((((2.0 * Math.PI) / 3.0) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos((((2.0 * math.pi) / 3.0) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(Float64(2.0 * pi) / 3.0) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos((((2.0 * pi) / 3.0) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(N[(2.0 * Pi), $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 98.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\\ 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{t_0}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \left(2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot t_0\right)\right)\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (cos
          (fma 0.3333333333333333 (acos (/ g h)) (* 0.6666666666666666 PI)))))
   (*
    2.0
    (*
     3.0
     (+
      (log (cbrt (cbrt (exp t_0))))
      (* 0.3333333333333333 (* 2.0 (* 0.3333333333333333 t_0))))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = cos(fma(0.3333333333333333, acos((g / h)), (0.6666666666666666 * ((double) M_PI))));
	return 2.0 * (3.0 * (log(cbrt(cbrt(exp(t_0)))) + (0.3333333333333333 * (2.0 * (0.3333333333333333 * t_0)))));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = cos(fma(0.3333333333333333, acos(Float64(g / h)), Float64(0.6666666666666666 * pi)))
	return Float64(2.0 * Float64(3.0 * Float64(log(cbrt(cbrt(exp(t_0)))) + Float64(0.3333333333333333 * Float64(2.0 * Float64(0.3333333333333333 * t_0))))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(3.0 * N[(N[Log[N[Power[N[Power[N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[(2.0 * N[(0.3333333333333333 * t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\log \left(e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}\right)} \]

   2. add-cube-cbrt 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)} \]

   3. log-prod 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. log-prod 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. count-2 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   3. distribute-lft1-in 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(2 + 1\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{3} \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   5. fma-udef 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}}\right)\right) \]

   6. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right)\right) \]

   7. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}\right)\right) \]

   8. fma-udef 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right)\right) \]

7. Simplified 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 95.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \color{blue}{\left({\left(e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}\right) \]

   2. add-cube-cbrt 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left({\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}}^{0.3333333333333333}\right)\right) \]

   3. unpow-prod-down 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}\right) \]

   4. pow1/3 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}}\right)\right) \]

   5. log-prod 95.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + \log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right)\right)}\right) \]

9. Applied egg-rr 95.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(\log \left({\left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + \log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right)\right)}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-commutative 95.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right) + \log \left({\left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)\right)}\right) \]

    2. fma-udef 95.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}}\right) + \log \left({\left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative 95.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right) + \log \left({\left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

    4. fma-def 95.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}}\right) + \log \left({\left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

    5. log-pow 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right) + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

11. Simplified 98.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \left(2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

12. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \left(2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 2: 98.2% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\\ 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{t_0}}}\right) + t_0 \cdot 0.2222222222222222\right)\right) \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (let* ((t_0
         (cos
          (fma 0.3333333333333333 (acos (/ g h)) (* 0.6666666666666666 PI)))))
   (*
    2.0
    (* 3.0 (+ (log (cbrt (cbrt (exp t_0)))) (* t_0 0.2222222222222222))))))

C

double code(double g, double h) {
	double t_0 = cos(fma(0.3333333333333333, acos((g / h)), (0.6666666666666666 * ((double) M_PI))));
	return 2.0 * (3.0 * (log(cbrt(cbrt(exp(t_0)))) + (t_0 * 0.2222222222222222)));
}

Julia

function code(g, h)
	t_0 = cos(fma(0.3333333333333333, acos(Float64(g / h)), Float64(0.6666666666666666 * pi)))
	return Float64(2.0 * Float64(3.0 * Float64(log(cbrt(cbrt(exp(t_0)))) + Float64(t_0 * 0.2222222222222222))))
end

Wolfram

code[g_, h_] := Block[{t$95$0 = N[Cos[N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]}, N[(2.0 * N[(3.0 * N[(N[Log[N[Power[N[Power[N[Exp[t$95$0], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision], 1/3], $MachinePrecision]], $MachinePrecision] + N[(t$95$0 * 0.2222222222222222), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\log \left(e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}\right)} \]

   2. add-cube-cbrt 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)} \]

   3. log-prod 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. log-prod 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. count-2 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   3. distribute-lft1-in 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(2 + 1\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{3} \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   5. fma-udef 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}}\right)\right) \]

   6. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right)\right) \]

   7. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}\right)\right) \]

   8. fma-udef 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right)\right) \]

7. Simplified 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. pow1/3 95.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \color{blue}{\left({\left(e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}\right) \]

   2. add-cube-cbrt 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left({\color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}}^{0.3333333333333333}\right)\right) \]

   3. unpow-prod-down 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \color{blue}{\left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot {\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}\right) \]

   4. pow1/3 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{0.3333333333333333} \cdot \color{blue}{\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}}\right)\right) \]

   5. log-prod 95.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(\log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + \log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right)\right)}\right) \]

9. Applied egg-rr 95.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(\log \left({\left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right) + \log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right)\right)}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. +-commutative 95.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right) + \log \left({\left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)\right)}\right) \]

    2. fma-udef 95.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}}\right) + \log \left({\left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

    3. *-commutative 95.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right) + \log \left({\left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

    4. fma-def 95.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}}\right) + \log \left({\left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{2}\right)}^{0.3333333333333333}\right)\right)\right) \]

    5. log-pow 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right) + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \log \left({\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)}^{2}\right)}\right)\right) \]

11. Simplified 98.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right) + 0.3333333333333333 \cdot \left(2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)\right)}\right) \]

12. Taylor expanded in g around 0 98.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right) + \color{blue}{0.2222222222222222 \cdot \cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}\right)\right) \]
13. Step-by-step derivation

    1. fma-def 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right) + 0.2222222222222222 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]

14. Simplified 98.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right) + \color{blue}{0.2222222222222222 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)\right) \]

15. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\log \left(\sqrt[3]{\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right) + \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) \cdot 0.2222222222222222\right)\right) \]

Alternative 3: 98.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) + 1\right) + -1\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (*
   3.0
   (+
    (+
     (*
      0.3333333333333333
      (cos
       (+ (* 0.6666666666666666 PI) (* 0.3333333333333333 (acos (/ g h))))))
     1.0)
    -1.0))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * (3.0 * (((0.3333333333333333 * cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (0.3333333333333333 * acos((g / h)))))) + 1.0) + -1.0));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * (3.0 * (((0.3333333333333333 * Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (0.3333333333333333 * Math.acos((g / h)))))) + 1.0) + -1.0));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * (3.0 * (((0.3333333333333333 * math.cos(((0.6666666666666666 * math.pi) + (0.3333333333333333 * math.acos((g / h)))))) + 1.0) + -1.0))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * Float64(3.0 * Float64(Float64(Float64(0.3333333333333333 * cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(g / h)))))) + 1.0) + -1.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * (3.0 * (((0.3333333333333333 * cos(((0.6666666666666666 * pi) + (0.3333333333333333 * acos((g / h)))))) + 1.0) + -1.0));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[(3.0 * N[(N[(N[(0.3333333333333333 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + 1.0), $MachinePrecision] + -1.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-log-exp 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\log \left(e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}\right)} \]

   2. add-cube-cbrt 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \log \color{blue}{\left(\left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)} \]

   3. log-prod 99.9%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)}}\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}} \cdot \sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]
6. Step-by-step derivation

   1. log-prod 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right) + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   2. count-2 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{2 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)} + \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   3. distribute-lft1-in 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(\left(2 + 1\right) \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right)} \]

   4. metadata-eval 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(\color{blue}{3} \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.6666666666666666, \pi, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}\right)\right) \]

   5. fma-udef 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}}\right)\right) \]

   6. +-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}}\right)\right) \]

   7. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}}\right)\right) \]

   8. fma-udef 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}}\right)\right) \]

7. Simplified 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \color{blue}{\left(3 \cdot \log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)\right)}\right) \]

   2. expm1-udef 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\log \left(\sqrt[3]{e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}}\right)\right)} - 1\right)}\right) \]

   3. pow1/3 95.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\log \color{blue}{\left({\left(e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)}^{0.3333333333333333}\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   4. log-pow 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \log \left(e^{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   5. add-log-exp 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   6. fma-udef 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

   7. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} - 1\right)\right) \]

   8. fma-def 98.5%

      \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)}\right)} - 1\right)\right) \]

9. Applied egg-rr 98.5%

   \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)} - 1\right)}\right) \]
10. Step-by-step derivation

    1. sub-neg 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(-1\right)\right)}\right) \]

    2. log1p-udef 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(e^{\color{blue}{\log \left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)}} + \left(-1\right)\right)\right) \]

    3. add-exp-log 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\color{blue}{\left(1 + 0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

    4. +-commutative 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.3333333333333333, 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) + 1\right)} + \left(-1\right)\right)\right) \]

    5. fma-udef 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \color{blue}{\left(\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333 + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} + 1\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

    6. *-commutative 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)} + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right) + 1\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

    7. fma-udef 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right)} + 1\right) + \left(-1\right)\right)\right) \]

    8. metadata-eval 98.5%

       \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) + 1\right) + \color{blue}{-1}\right)\right) \]

11. Applied egg-rr 98.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right), 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)\right) + 1\right) + -1\right)}\right) \]

12. Taylor expanded in g around 0 98.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\cos \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) + 0.6666666666666666 \cdot \pi\right)} + 1\right) + -1\right)\right) \]

13. Final simplification 98.5%

    \[\leadsto 2 \cdot \left(3 \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) + 1\right) + -1\right)\right) \]

Alternative 4: 98.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (* 2.0 (cos (+ (* 0.6666666666666666 PI) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (Math.acos((-g / h)) / 3.0)));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((0.6666666666666666 * math.pi) + (math.acos((-g / h)) / 3.0)))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(acos(Float64(Float64(-g) / h)) / 3.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * pi) + (acos((-g / h)) / 3.0)));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(N[ArcCos[N[((-g) / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]

4. Final simplification 98.4%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

Alternative 5: 96.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (g h)
 :precision binary64
 (*
  2.0
  (cos (+ (* 0.6666666666666666 PI) (* 0.3333333333333333 (acos (/ g h)))))))

C

double code(double g, double h) {
	return 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * ((double) M_PI)) + (0.3333333333333333 * acos((g / h)))));
}

Java

public static double code(double g, double h) {
	return 2.0 * Math.cos(((0.6666666666666666 * Math.PI) + (0.3333333333333333 * Math.acos((g / h)))));
}

Python

def code(g, h):
	return 2.0 * math.cos(((0.6666666666666666 * math.pi) + (0.3333333333333333 * math.acos((g / h)))))

Julia

function code(g, h)
	return Float64(2.0 * cos(Float64(Float64(0.6666666666666666 * pi) + Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(g / h))))))
end

MATLAB

function tmp = code(g, h)
	tmp = 2.0 * cos(((0.6666666666666666 * pi) + (0.3333333333333333 * acos((g / h)))));
end

Wolfram

code[g_, h_] := N[(2.0 * N[Cos[N[(N[(0.6666666666666666 * Pi), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(g / h), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 98.4%

   \[2 \cdot \cos \left(\frac{2 \cdot \pi}{3} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. associate-/l* 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{\frac{3}{\pi}}} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   2. associate-/r/ 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{\frac{2}{3} \cdot \pi} + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

   3. metadata-eval 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(\color{blue}{0.6666666666666666} \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right) \]

3. Simplified 98.4%

   \[\leadsto \color{blue}{2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \frac{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right)}{3}\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. div-inv 98.4%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{-g}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}}\right) \]

   2. add-sqr-sqrt 45.8%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{-g} \cdot \sqrt{-g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   3. sqrt-unprod 94.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{\left(-g\right) \cdot \left(-g\right)}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   4. sqr-neg 94.3%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\sqrt{\color{blue}{g \cdot g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   5. sqrt-unprod 52.2%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\sqrt{g} \cdot \sqrt{g}}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   6. add-sqr-sqrt 97.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{g}}{h}\right) \cdot \frac{1}{3}\right) \]

   7. metadata-eval 97.0%

      \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right) \]

5. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + \color{blue}{\cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right) \cdot 0.3333333333333333}\right) \]

6. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto 2 \cdot \cos \left(0.6666666666666666 \cdot \pi + 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{g}{h}\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023189 
(FPCore (g h)
  :name "2-ancestry mixing, negative discriminant"
  :precision binary64
  (* 2.0 (cos (+ (/ (* 2.0 PI) 3.0) (/ (acos (/ (- g) h)) 3.0)))))