math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 65.1% → 99.6%

Time: 12.1s

Alternatives: 11

Speedup: 2.8×

• Unsound rule application detected in e-graph. Results may not be sound.

• 49.5% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 65.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

C

double code(double re, double im) {
	return (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
}

Python

def code(re, im):
	return (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))

Julia

function code(re, im)
	return Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im} - e^{im}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -\infty \lor \neg \left(t_0 \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) - im \cdot \sin re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im)) (exp im))))
   (if (or (<= t_0 (- INFINITY)) (not (<= t_0 1e-6)))
     (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
     (+
      (* -0.16666666666666666 (* (sin re) (pow im 3.0)))
      (-
       (* -0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5.0)))
       (* im (sin re)))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = exp(-im) - exp(im);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -((double) INFINITY)) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = (-0.16666666666666666 * (sin(re) * pow(im, 3.0))) + ((-0.008333333333333333 * (sin(re) * pow(im, 5.0))) - (im * sin(re)));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = Math.exp(-im) - Math.exp(im);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -Double.POSITIVE_INFINITY) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = (-0.16666666666666666 * (Math.sin(re) * Math.pow(im, 3.0))) + ((-0.008333333333333333 * (Math.sin(re) * Math.pow(im, 5.0))) - (im * Math.sin(re)));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = math.exp(-im) - math.exp(im)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -math.inf) or not (t_0 <= 1e-6):
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = (-0.16666666666666666 * (math.sin(re) * math.pow(im, 3.0))) + ((-0.008333333333333333 * (math.sin(re) * math.pow(im, 5.0))) - (im * math.sin(re)))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= Float64(-Inf)) || !(t_0 <= 1e-6))
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(Float64(-0.16666666666666666 * Float64(sin(re) * (im ^ 3.0))) + Float64(Float64(-0.008333333333333333 * Float64(sin(re) * (im ^ 5.0))) - Float64(im * sin(re))));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = exp(-im) - exp(im);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -Inf) || ~((t_0 <= 1e-6)))
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = (-0.16666666666666666 * (sin(re) * (im ^ 3.0))) + ((-0.008333333333333333 * (sin(re) * (im ^ 5.0))) - (im * sin(re)));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[Not[LessEqual[t$95$0, 1e-6]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(-0.16666666666666666 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.008333333333333333 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - N[(im * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -inf.0 or 9.99999999999999955e-7 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   if -inf.0 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 36.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -\infty \lor \neg \left(e^{-im} - e^{im} \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) - im \cdot \sin re\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2: 99.6% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im} - e^{im}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -\infty \lor \neg \left(t_0 \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} - im\right)\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im)) (exp im))))
   (if (or (<= t_0 (- INFINITY)) (not (<= t_0 1e-6)))
     (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
     (*
      (sin re)
      (+
       (* -0.16666666666666666 (pow im 3.0))
       (- (* -0.008333333333333333 (pow im 5.0)) im))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = exp(-im) - exp(im);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -((double) INFINITY)) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im, 3.0)) + ((-0.008333333333333333 * pow(im, 5.0)) - im));
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = Math.exp(-im) - Math.exp(im);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -Double.POSITIVE_INFINITY) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im, 3.0)) + ((-0.008333333333333333 * Math.pow(im, 5.0)) - im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = math.exp(-im) - math.exp(im)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -math.inf) or not (t_0 <= 1e-6):
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im, 3.0)) + ((-0.008333333333333333 * math.pow(im, 5.0)) - im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= Float64(-Inf)) || !(t_0 <= 1e-6))
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im ^ 3.0)) + Float64(Float64(-0.008333333333333333 * (im ^ 5.0)) - im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = exp(-im) - exp(im);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -Inf) || ~((t_0 <= 1e-6)))
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im ^ 3.0)) + ((-0.008333333333333333 * (im ^ 5.0)) - im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[Not[LessEqual[t$95$0, 1e-6]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.008333333333333333 * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -inf.0 or 9.99999999999999955e-7 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   if -inf.0 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 36.8%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{3}} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      2. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      3. associate-*l* 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      4. +-commutative 99.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

      5. mul-1-neg 99.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in 99.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      7. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333}\right) \]

      8. associate-*l* 99.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

      9. distribute-lft-out 99.8%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      10. distribute-lft-out 99.8%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

      11. *-commutative 99.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \]

      12. +-commutative 99.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + \left(-im\right)\right)}\right) \]

      13. sub-neg 99.8%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)}\right) \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -\infty \lor \neg \left(e^{-im} - e^{im} \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot {im}^{5} - im\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3: 99.8% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-im} - e^{im}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -0.005 \lor \neg \left(t_0 \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp (- im)) (exp im))))
   (if (or (<= t_0 -0.005) (not (<= t_0 1e-6)))
     (* t_0 (* 0.5 (sin re)))
     (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im 3.0)) im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = exp(-im) - exp(im);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -0.005) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	} else {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im, 3.0)) - im);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(-im) - exp(im)
    if ((t_0 <= (-0.005d0)) .or. (.not. (t_0 <= 1d-6))) then
        tmp = t_0 * (0.5d0 * sin(re))
    else
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im ** 3.0d0)) - im)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = Math.exp(-im) - Math.exp(im);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -0.005) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 * (0.5 * Math.sin(re));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im, 3.0)) - im);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = math.exp(-im) - math.exp(im)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -0.005) or not (t_0 <= 1e-6):
		tmp = t_0 * (0.5 * math.sin(re))
	else:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im, 3.0)) - im)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= -0.005) || !(t_0 <= 1e-6))
		tmp = Float64(t_0 * Float64(0.5 * sin(re)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im ^ 3.0)) - im));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = exp(-im) - exp(im);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -0.005) || ~((t_0 <= 1e-6)))
		tmp = t_0 * (0.5 * sin(re));
	else
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im ^ 3.0)) - im);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, -0.005], N[Not[LessEqual[t$95$0, 1e-6]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 * N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -0.0050000000000000001 or 9.99999999999999955e-7 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

   1. Initial program 99.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   if -0.0050000000000000001 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 36.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 99.8%

         \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} \]

      2. unsub-neg 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im} \]

      3. *-commutative 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - \sin re \cdot im \]

      4. associate-*l* 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - \sin re \cdot im \]

      5. distribute-lft-out-- 99.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   4. Simplified 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -0.005 \lor \neg \left(e^{-im} - e^{im} \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4: 96.3% accurate, 1.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ t_1 := -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq -5 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;im \leq -18:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 0.9:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.5 \cdot 10^{+61}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* (- (exp (- im)) (exp im)) (* 0.5 re)))
        (t_1 (* -0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5.0)))))
   (if (<= im -5e+97)
     t_1
     (if (<= im -18.0)
       t_0
       (if (<= im 0.9)
         (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im 3.0)) im))
         (if (<= im 4.5e+61) t_0 t_1))))))

C

double code(double re, double im) {
	double t_0 = (exp(-im) - exp(im)) * (0.5 * re);
	double t_1 = -0.008333333333333333 * (sin(re) * pow(im, 5.0));
	double tmp;
	if (im <= -5e+97) {
		tmp = t_1;
	} else if (im <= -18.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 0.9) {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im, 3.0)) - im);
	} else if (im <= 4.5e+61) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: t_0
    real(8) :: t_1
    real(8) :: tmp
    t_0 = (exp(-im) - exp(im)) * (0.5d0 * re)
    t_1 = (-0.008333333333333333d0) * (sin(re) * (im ** 5.0d0))
    if (im <= (-5d+97)) then
        tmp = t_1
    else if (im <= (-18.0d0)) then
        tmp = t_0
    else if (im <= 0.9d0) then
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im ** 3.0d0)) - im)
    else if (im <= 4.5d+61) then
        tmp = t_0
    else
        tmp = t_1
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double t_0 = (Math.exp(-im) - Math.exp(im)) * (0.5 * re);
	double t_1 = -0.008333333333333333 * (Math.sin(re) * Math.pow(im, 5.0));
	double tmp;
	if (im <= -5e+97) {
		tmp = t_1;
	} else if (im <= -18.0) {
		tmp = t_0;
	} else if (im <= 0.9) {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im, 3.0)) - im);
	} else if (im <= 4.5e+61) {
		tmp = t_0;
	} else {
		tmp = t_1;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	t_0 = (math.exp(-im) - math.exp(im)) * (0.5 * re)
	t_1 = -0.008333333333333333 * (math.sin(re) * math.pow(im, 5.0))
	tmp = 0
	if im <= -5e+97:
		tmp = t_1
	elif im <= -18.0:
		tmp = t_0
	elif im <= 0.9:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im, 3.0)) - im)
	elif im <= 4.5e+61:
		tmp = t_0
	else:
		tmp = t_1
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	t_0 = Float64(Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)) * Float64(0.5 * re))
	t_1 = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(sin(re) * (im ^ 5.0)))
	tmp = 0.0
	if (im <= -5e+97)
		tmp = t_1;
	elseif (im <= -18.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 0.9)
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im ^ 3.0)) - im));
	elseif (im <= 4.5e+61)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = t_1;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	t_0 = (exp(-im) - exp(im)) * (0.5 * re);
	t_1 = -0.008333333333333333 * (sin(re) * (im ^ 5.0));
	tmp = 0.0;
	if (im <= -5e+97)
		tmp = t_1;
	elseif (im <= -18.0)
		tmp = t_0;
	elseif (im <= 0.9)
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im ^ 3.0)) - im);
	elseif (im <= 4.5e+61)
		tmp = t_0;
	else
		tmp = t_1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 * re), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, Block[{t$95$1 = N[(-0.008333333333333333 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[im, -5e+97], t$95$1, If[LessEqual[im, -18.0], t$95$0, If[LessEqual[im, 0.9], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[im, 4.5e+61], t$95$0, t$95$1]]]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if im < -4.99999999999999999e97 or 4.5e61 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{3}} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      2. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      3. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      4. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

      5. mul-1-neg 100.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in 100.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      7. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333}\right) \]

      8. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

      9. distribute-lft-out 100.0%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      10. distribute-lft-out 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

      11. *-commutative 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \]

      12. +-commutative 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + \left(-im\right)\right)}\right) \]

      13. sub-neg 100.0%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)}\right) \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in im around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]

   if -4.99999999999999999e97 < im < -18 or 0.900000000000000022 < im < 4.5e61

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in re around 0 82.9%

      \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   if -18 < im < 0.900000000000000022

   1. Initial program 37.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 98.5%

         \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} \]

      2. unsub-neg 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im} \]

      3. *-commutative 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - \sin re \cdot im \]

      4. associate-*l* 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - \sin re \cdot im \]

      5. distribute-lft-out-- 98.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   4. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 96.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -5 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -18:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 0.9:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 4.5 \cdot 10^{+61}:\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5: 89.9% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -5 \lor \neg \left(im \leq 5\right):\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (or (<= im -5.0) (not (<= im 5.0)))
   (* -0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5.0)))
   (* (sin re) (- (* -0.16666666666666666 (pow im 3.0)) im))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -5.0) || !(im <= 5.0)) {
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * pow(im, 5.0));
	} else {
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * pow(im, 3.0)) - im);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if ((im <= (-5.0d0)) .or. (.not. (im <= 5.0d0))) then
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (sin(re) * (im ** 5.0d0))
    else
        tmp = sin(re) * (((-0.16666666666666666d0) * (im ** 3.0d0)) - im)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -5.0) || !(im <= 5.0)) {
		tmp = -0.008333333333333333 * (Math.sin(re) * Math.pow(im, 5.0));
	} else {
		tmp = Math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * Math.pow(im, 3.0)) - im);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if (im <= -5.0) or not (im <= 5.0):
		tmp = -0.008333333333333333 * (math.sin(re) * math.pow(im, 5.0))
	else:
		tmp = math.sin(re) * ((-0.16666666666666666 * math.pow(im, 3.0)) - im)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if ((im <= -5.0) || !(im <= 5.0))
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(sin(re) * (im ^ 5.0)));
	else
		tmp = Float64(sin(re) * Float64(Float64(-0.16666666666666666 * (im ^ 3.0)) - im));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if ((im <= -5.0) || ~((im <= 5.0)))
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * (im ^ 5.0));
	else
		tmp = sin(re) * ((-0.16666666666666666 * (im ^ 3.0)) - im);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Or[LessEqual[im, -5.0], N[Not[LessEqual[im, 5.0]], $MachinePrecision]], N[(-0.008333333333333333 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(-0.16666666666666666 * N[Power[im, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < -5 or 5 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 75.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 75.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{3}} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      2. *-commutative 75.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      3. associate-*l* 75.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      4. +-commutative 75.9%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

      5. mul-1-neg 75.9%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in 75.9%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      7. *-commutative 75.9%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333}\right) \]

      8. associate-*l* 75.9%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

      9. distribute-lft-out 75.9%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      10. distribute-lft-out 75.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

      11. *-commutative 75.9%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \]

      12. +-commutative 75.9%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + \left(-im\right)\right)}\right) \]

      13. sub-neg 75.9%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)}\right) \]

   4. Simplified 75.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in im around inf 75.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 75.9%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]

   7. Simplified 75.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]

   if -5 < im < 5

   1. Initial program 37.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 99.1%

         \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} \]

      2. unsub-neg 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im} \]

      3. *-commutative 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - \sin re \cdot im \]

      4. associate-*l* 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - \sin re \cdot im \]

      5. distribute-lft-out-- 99.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

   4. Simplified 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -5 \lor \neg \left(im \leq 5\right):\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6: 89.6% accurate, 1.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -3.3 \lor \neg \left(im \leq 3.3\right):\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (or (<= im -3.3) (not (<= im 3.3)))
   (* -0.008333333333333333 (* (sin re) (pow im 5.0)))
   (* im (- (sin re)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -3.3) || !(im <= 3.3)) {
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * pow(im, 5.0));
	} else {
		tmp = im * -sin(re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if ((im <= (-3.3d0)) .or. (.not. (im <= 3.3d0))) then
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (sin(re) * (im ** 5.0d0))
    else
        tmp = im * -sin(re)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -3.3) || !(im <= 3.3)) {
		tmp = -0.008333333333333333 * (Math.sin(re) * Math.pow(im, 5.0));
	} else {
		tmp = im * -Math.sin(re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if (im <= -3.3) or not (im <= 3.3):
		tmp = -0.008333333333333333 * (math.sin(re) * math.pow(im, 5.0))
	else:
		tmp = im * -math.sin(re)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if ((im <= -3.3) || !(im <= 3.3))
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(sin(re) * (im ^ 5.0)));
	else
		tmp = Float64(im * Float64(-sin(re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if ((im <= -3.3) || ~((im <= 3.3)))
		tmp = -0.008333333333333333 * (sin(re) * (im ^ 5.0));
	else
		tmp = im * -sin(re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Or[LessEqual[im, -3.3], N[Not[LessEqual[im, 3.3]], $MachinePrecision]], N[(-0.008333333333333333 * N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < -3.2999999999999998 or 3.2999999999999998 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 75.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 75.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{3}} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      2. *-commutative 75.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      3. associate-*l* 75.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      4. +-commutative 75.9%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

      5. mul-1-neg 75.9%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in 75.9%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      7. *-commutative 75.9%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333}\right) \]

      8. associate-*l* 75.9%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

      9. distribute-lft-out 75.9%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      10. distribute-lft-out 75.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

      11. *-commutative 75.9%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \]

      12. +-commutative 75.9%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + \left(-im\right)\right)}\right) \]

      13. sub-neg 75.9%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)}\right) \]

   4. Simplified 75.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in im around inf 75.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 75.9%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]

   7. Simplified 75.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]

   if -3.2999999999999998 < im < 3.2999999999999998

   1. Initial program 37.3%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 98.2%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative 98.2%

         \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-lft-neg-in 98.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   4. Simplified 98.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 87.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -3.3 \lor \neg \left(im \leq 3.3\right):\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7: 59.9% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -2.7 \cdot 10^{+43} \lor \neg \left(im \leq 15000000000000\right):\\ \;\;\;\;im \cdot \left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (or (<= im -2.7e+43) (not (<= im 15000000000000.0)))
   (* im (* (pow re 3.0) 0.16666666666666666))
   (* im (- (sin re)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -2.7e+43) || !(im <= 15000000000000.0)) {
		tmp = im * (pow(re, 3.0) * 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = im * -sin(re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if ((im <= (-2.7d+43)) .or. (.not. (im <= 15000000000000.0d0))) then
        tmp = im * ((re ** 3.0d0) * 0.16666666666666666d0)
    else
        tmp = im * -sin(re)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -2.7e+43) || !(im <= 15000000000000.0)) {
		tmp = im * (Math.pow(re, 3.0) * 0.16666666666666666);
	} else {
		tmp = im * -Math.sin(re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if (im <= -2.7e+43) or not (im <= 15000000000000.0):
		tmp = im * (math.pow(re, 3.0) * 0.16666666666666666)
	else:
		tmp = im * -math.sin(re)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if ((im <= -2.7e+43) || !(im <= 15000000000000.0))
		tmp = Float64(im * Float64((re ^ 3.0) * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = Float64(im * Float64(-sin(re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if ((im <= -2.7e+43) || ~((im <= 15000000000000.0)))
		tmp = im * ((re ^ 3.0) * 0.16666666666666666);
	else
		tmp = im * -sin(re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Or[LessEqual[im, -2.7e+43], N[Not[LessEqual[im, 15000000000000.0]], $MachinePrecision]], N[(im * N[(N[Power[re, 3.0], $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < -2.7000000000000002e43 or 1.5e13 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative 4.7%

         \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-lft-neg-in 4.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   4. Simplified 4.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0 12.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 12.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right) + -1 \cdot \left(re \cdot im\right)} \]

      2. mul-1-neg 12.0%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right) + \color{blue}{\left(-re \cdot im\right)} \]

      3. unsub-neg 12.0%

         \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right) - re \cdot im} \]

      4. associate-*r* 12.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im} - re \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out-- 27.6%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} - re\right)} \]

      6. *-commutative 27.6%

         \[\leadsto im \cdot \left(\color{blue}{{re}^{3} \cdot 0.16666666666666666} - re\right) \]

   7. Simplified 27.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666 - re\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around inf 26.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 26.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im} \]

      2. *-commutative 26.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot im \]

      3. *-commutative 26.5%

         \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   10. Simplified 26.5%

       \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   if -2.7000000000000002e43 < im < 1.5e13

   1. Initial program 43.2%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 89.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 89.2%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative 89.2%

         \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-lft-neg-in 89.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   4. Simplified 89.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 62.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -2.7 \cdot 10^{+43} \lor \neg \left(im \leq 15000000000000\right):\\ \;\;\;\;im \cdot \left({re}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \end{array} \]

Alternative 8: 80.5% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -2150000000000 \lor \neg \left(im \leq 850\right):\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (or (<= im -2150000000000.0) (not (<= im 850.0)))
   (* -0.008333333333333333 (* re (pow im 5.0)))
   (* im (- (sin re)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -2150000000000.0) || !(im <= 850.0)) {
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * pow(im, 5.0));
	} else {
		tmp = im * -sin(re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if ((im <= (-2150000000000.0d0)) .or. (.not. (im <= 850.0d0))) then
        tmp = (-0.008333333333333333d0) * (re * (im ** 5.0d0))
    else
        tmp = im * -sin(re)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -2150000000000.0) || !(im <= 850.0)) {
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * Math.pow(im, 5.0));
	} else {
		tmp = im * -Math.sin(re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if (im <= -2150000000000.0) or not (im <= 850.0):
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * math.pow(im, 5.0))
	else:
		tmp = im * -math.sin(re)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if ((im <= -2150000000000.0) || !(im <= 850.0))
		tmp = Float64(-0.008333333333333333 * Float64(re * (im ^ 5.0)));
	else
		tmp = Float64(im * Float64(-sin(re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if ((im <= -2150000000000.0) || ~((im <= 850.0)))
		tmp = -0.008333333333333333 * (re * (im ^ 5.0));
	else
		tmp = im * -sin(re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Or[LessEqual[im, -2150000000000.0], N[Not[LessEqual[im, 850.0]], $MachinePrecision]], N[(-0.008333333333333333 * N[(re * N[Power[im, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(im * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < -2.15e12 or 850 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 77.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. associate-*r* 77.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \sin re\right) \cdot {im}^{3}} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      2. *-commutative 77.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{3} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      3. associate-*l* 77.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} + \left(-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)\right) \]

      4. +-commutative 77.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right) + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right)} \]

      5. mul-1-neg 77.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      6. distribute-rgt-neg-in 77.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\color{blue}{\sin re \cdot \left(-im\right)} + -0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)\right) \]

      7. *-commutative 77.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333}\right) \]

      8. associate-*l* 77.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \left(\sin re \cdot \left(-im\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)}\right) \]

      9. distribute-lft-out 77.6%

         \[\leadsto \sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\sin re \cdot \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)} \]

      10. distribute-lft-out 77.6%

          \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right)} \]

      11. *-commutative 77.6%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left(\color{blue}{{im}^{3} \cdot -0.16666666666666666} + \left(\left(-im\right) + {im}^{5} \cdot -0.008333333333333333\right)\right) \]

      12. +-commutative 77.6%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 + \left(-im\right)\right)}\right) \]

      13. sub-neg 77.6%

          \[\leadsto \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)}\right) \]

   4. Simplified 77.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 + \left({im}^{5} \cdot -0.008333333333333333 - im\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in im around inf 77.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{5}\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 77.6%

         \[\leadsto -0.008333333333333333 \cdot \color{blue}{\left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]

   7. Simplified 77.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left({im}^{5} \cdot \sin re\right)} \]

   8. Taylor expanded in re around 0 58.9%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 58.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333} \]

   10. Simplified 58.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot {im}^{5}\right) \cdot -0.008333333333333333} \]

   if -2.15e12 < im < 850

   1. Initial program 38.7%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 96.2%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative 96.2%

         \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-lft-neg-in 96.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   4. Simplified 96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -2150000000000 \lor \neg \left(im \leq 850\right):\\ \;\;\;\;-0.008333333333333333 \cdot \left(re \cdot {im}^{5}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \end{array} \]

Alternative 9: 54.8% accurate, 2.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -7.2 \cdot 10^{+215} \lor \neg \left(im \leq 3.2 \cdot 10^{+129}\right):\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (or (<= im -7.2e+215) (not (<= im 3.2e+129)))
   (* im (- re))
   (* im (- (sin re)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -7.2e+215) || !(im <= 3.2e+129)) {
		tmp = im * -re;
	} else {
		tmp = im * -sin(re);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if ((im <= (-7.2d+215)) .or. (.not. (im <= 3.2d+129))) then
        tmp = im * -re
    else
        tmp = im * -sin(re)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if ((im <= -7.2e+215) || !(im <= 3.2e+129)) {
		tmp = im * -re;
	} else {
		tmp = im * -Math.sin(re);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if (im <= -7.2e+215) or not (im <= 3.2e+129):
		tmp = im * -re
	else:
		tmp = im * -math.sin(re)
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if ((im <= -7.2e+215) || !(im <= 3.2e+129))
		tmp = Float64(im * Float64(-re));
	else
		tmp = Float64(im * Float64(-sin(re)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if ((im <= -7.2e+215) || ~((im <= 3.2e+129)))
		tmp = im * -re;
	else
		tmp = im * -sin(re);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Or[LessEqual[im, -7.2e+215], N[Not[LessEqual[im, 3.2e+129]], $MachinePrecision]], N[(im * (-re)), $MachinePrecision], N[(im * (-N[Sin[re], $MachinePrecision])), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if im < -7.19999999999999948e215 or 3.2000000000000002e129 < im

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 5.8%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative 5.8%

         \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-lft-neg-in 5.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   4. Simplified 5.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   5. Taylor expanded in re around 0 28.6%

      \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{re} \]

   if -7.19999999999999948e215 < im < 3.2000000000000002e129

   1. Initial program 58.1%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

   2. Taylor expanded in im around 0 66.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg 66.8%

         \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative 66.8%

         \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-lft-neg-in 66.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

   4. Simplified 66.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 58.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -7.2 \cdot 10^{+215} \lor \neg \left(im \leq 3.2 \cdot 10^{+129}\right):\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \end{array} \]

Alternative 10: 32.1% accurate, 77.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ im \cdot \left(-re\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (* im (- re)))

C

double code(double re, double im) {
	return im * -re;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = im * -re
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return im * -re;
}

Python

def code(re, im):
	return im * -re

Julia

function code(re, im)
	return Float64(im * Float64(-re))
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = im * -re;
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(im * (-re)), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 67.4%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in im around 0 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. mul-1-neg 53.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

   2. *-commutative 53.2%

      \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

   3. distribute-lft-neg-in 53.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

4. Simplified 53.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(-im\right) \cdot \sin re} \]

5. Taylor expanded in re around 0 31.4%

   \[\leadsto \left(-im\right) \cdot \color{blue}{re} \]

6. Final simplification 31.4%

   \[\leadsto im \cdot \left(-re\right) \]

Alternative 11: 3.2% accurate, 102.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ re \cdot -1.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im) :precision binary64 (* re -1.5))

C

double code(double re, double im) {
	return re * -1.5;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    code = re * (-1.5d0)
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	return re * -1.5;
}

Python

def code(re, im):
	return re * -1.5

Julia

function code(re, im)
	return Float64(re * -1.5)
end

MATLAB

function tmp = code(re, im)
	tmp = re * -1.5;
end

Wolfram

code[re_, im_] := N[(re * -1.5), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 67.4%

   \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

2. Taylor expanded in re around 0 53.0%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{re}\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

4. Applied egg-rr 3.2%

   \[\leadsto \left(0.5 \cdot re\right) \cdot \color{blue}{-3} \]

5. Taylor expanded in re around 0 3.2%

   \[\leadsto \color{blue}{-1.5 \cdot re} \]

6. Final simplification 3.2%

   \[\leadsto re \cdot -1.5 \]

Developer target: 99.8% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (re im)
 :precision binary64
 (if (< (fabs im) 1.0)
   (-
    (*
     (sin re)
     (+
      (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im))
      (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im))))
   (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im)))))

C

double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (fabs(im) < 1.0) {
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(re, im)
    real(8), intent (in) :: re
    real(8), intent (in) :: im
    real(8) :: tmp
    if (abs(im) < 1.0d0) then
        tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666d0 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333d0 * im) * im) * im) * im) * im)))
    else
        tmp = (0.5d0 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double re, double im) {
	double tmp;
	if (Math.abs(im) < 1.0) {
		tmp = -(Math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	} else {
		tmp = (0.5 * Math.sin(re)) * (Math.exp(-im) - Math.exp(im));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(re, im):
	tmp = 0
	if math.fabs(im) < 1.0:
		tmp = -(math.sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)))
	else:
		tmp = (0.5 * math.sin(re)) * (math.exp(-im) - math.exp(im))
	return tmp

Julia

function code(re, im)
	tmp = 0.0
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = Float64(-Float64(sin(re) * Float64(Float64(im + Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + Float64(Float64(Float64(Float64(Float64(0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im))));
	else
		tmp = Float64(Float64(0.5 * sin(re)) * Float64(exp(Float64(-im)) - exp(im)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(re, im)
	tmp = 0.0;
	if (abs(im) < 1.0)
		tmp = -(sin(re) * ((im + (((0.16666666666666666 * im) * im) * im)) + (((((0.008333333333333333 * im) * im) * im) * im) * im)));
	else
		tmp = (0.5 * sin(re)) * (exp(-im) - exp(im));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[re_, im_] := If[Less[N[Abs[im], $MachinePrecision], 1.0], (-N[(N[Sin[re], $MachinePrecision] * N[(N[(im + N[(N[(N[(0.16666666666666666 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[(N[(N[(N[(0.008333333333333333 * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision] * im), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), N[(N[(0.5 * N[Sin[re], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(N[Exp[(-im)], $MachinePrecision] - N[Exp[im], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Reproduce

herbie shell --seed 2023187 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))