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Time: 23.7s
Precision: binary32
Cost: 26848

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\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]
\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
↓
\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi + \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin t_0\right)\right) \cdot yi\right)\right) \end{array} \]
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))
↓
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (let* ((t_0 (* uy (* 2.0 PI))))
   (fma
    ux
    (* (- 1.0 ux) (* maxCos zi))
    (*
     (sqrt
      (+ 1.0 (* (- 1.0 ux) (* (* (* ux maxCos) (* ux maxCos)) (+ ux -1.0)))))
     (+ (* (cos t_0) xi) (* (log1p (expm1 (sin t_0))) yi))))))
float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}
↓
float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	float t_0 = uy * (2.0f * ((float) M_PI));
	return fmaf(ux, ((1.0f - ux) * (maxCos * zi)), (sqrtf((1.0f + ((1.0f - ux) * (((ux * maxCos) * (ux * maxCos)) * (ux + -1.0f))))) * ((cosf(t_0) * xi) + (log1pf(expm1f(sinf(t_0))) * yi))));
}

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi))
end
↓
function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	t_0 = Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))
	return fma(ux, Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * zi)), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(Float32(Float32(ux * maxCos) * Float32(ux * maxCos)) * Float32(ux + Float32(-1.0)))))) * Float32(Float32(cos(t_0) * xi) + Float32(log1p(expm1(sin(t_0))) * yi))))
end

\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi
↓
\begin{array}{l}
t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\
\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi + \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin t_0\right)\right) \cdot yi\right)\right)
\end{array}

Error?

Derivation?

  1. Initial program 0.3

    \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

  2. Simplified0.3

    \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
    Proof

    [Start]0.3

    \[ \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

    +-commutative [=>]0.3

    \[ \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]

    *-commutative [=>]0.3

    \[ \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) \]

    associate-*l* [=>]0.3

    \[ \color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)} + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) \]

    fma-def [=>]0.3

    \[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]

  3. Applied egg-rr0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \color{blue}{\mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right)} \cdot yi\right)\right) \]

  4. Final simplification0.3

    \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \mathsf{log1p}\left(\mathsf{expm1}\left(\sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Error0.3
Cost26720
\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(1 - ux, ux \cdot \left(\left(maxCos \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot ux - ux\right)\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos t_0, xi, \sin t_0 \cdot yi\right), ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)\right) \end{array} \]
Alternative 2
Error0.4
Cost20448
\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}, xi, yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \]
Alternative 3
Error0.3
Cost20448
\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi + \sin t_0 \cdot yi\right)\right) \end{array} \]
Alternative 4
Error0.4
Cost17312
\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ t_1 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ \left(xi \cdot \left(\cos t_1 \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\right) + yi \cdot \sin t_1\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right) \end{array} \]
Alternative 5
Error3.2
Cost17248
\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right) + \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}, xi, 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \end{array} \]
Alternative 6
Error3.2
Cost17248
\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + 2 \cdot \left(yi \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right) \]
Alternative 7
Error3.2
Cost17248
\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + \left(1 - ux\right) \cdot \left(\left(\left(ux \cdot maxCos\right) \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \left(2 \cdot \pi\right) \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \]
Alternative 8
Error5.7
Cost16928
\[\mathsf{fma}\left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right), xi \cdot \sqrt{1 + \left(maxCos \cdot \left(\left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)\right) \cdot \left(ux + -1\right)}, 2 \cdot \left(\pi \cdot \left(uy \cdot yi\right)\right)\right) \]
Alternative 9
Error13.2
Cost10048
\[\mathsf{fma}\left(xi, \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right), ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right)\right) \]
Alternative 10
Error13.2
Cost6912
\[xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]
Alternative 11
Error13.9
Cost6784
\[xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) \]
Alternative 12
Error15.3
Cost6592
\[xi \cdot \cos \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) \]
Alternative 13
Error27.7
Cost288
\[ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right)\right) \]
Alternative 14
Error27.7
Cost288
\[\left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right)\right) \]
Alternative 15
Error28.1
Cost160
\[maxCos \cdot \left(ux \cdot zi\right) \]

Error

Reproduce?

herbie shell --seed 2023187 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))