Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.5% → 97.3%

Time: 7.4s

Alternatives: 11

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 97.3% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right)}{2 + \mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (fma
   0.016666666666666666
   (pow x 5.0)
   (fma
    0.3333333333333333
    (pow x 3.0)
    (fma 0.0003968253968253968 (pow x 7.0) (+ x x))))
  (+
   2.0
   (fma
    0.002777777777777778
    (pow x 6.0)
    (+ (* x x) (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0)))))))

C

double code(double x) {
	return fma(0.016666666666666666, pow(x, 5.0), fma(0.3333333333333333, pow(x, 3.0), fma(0.0003968253968253968, pow(x, 7.0), (x + x)))) / (2.0 + fma(0.002777777777777778, pow(x, 6.0), ((x * x) + (0.08333333333333333 * pow(x, 4.0)))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(fma(0.016666666666666666, (x ^ 5.0), fma(0.3333333333333333, (x ^ 3.0), fma(0.0003968253968253968, (x ^ 7.0), Float64(x + x)))) / Float64(2.0 + fma(0.002777777777777778, (x ^ 6.0), Float64(Float64(x * x) + Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0))))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] + N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision] + N[(x + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(0.002777777777777778 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 97.1%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. associate-+r+ 97.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. +-commutative 97.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. fma-def 97.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, 2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. associate-+r+ 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{\left(2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. +-commutative 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   7. associate-+l+ 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(2 \cdot x + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   8. fma-def 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, 2 \cdot x + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   9. +-commutative 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 2 \cdot x}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   10. fma-def 97.1%

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, 2 \cdot x\right)}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   11. count-2 97.1%

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \color{blue}{x + x}\right)\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

4. Simplified 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 97.3%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right)}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. fma-def 97.3%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right)}{2 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, {x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

   2. unpow2 97.3%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right)}{2 + \mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, \color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

7. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right)}{\color{blue}{2 + \mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

8. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right)}{2 + \mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

Alternative 2: 97.1% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (fma
   0.016666666666666666
   (pow x 5.0)
   (fma
    0.3333333333333333
    (pow x 3.0)
    (fma 0.0003968253968253968 (pow x 7.0) (+ x x))))
  (+ (exp x) (exp (- x)))))

C

double code(double x) {
	return fma(0.016666666666666666, pow(x, 5.0), fma(0.3333333333333333, pow(x, 3.0), fma(0.0003968253968253968, pow(x, 7.0), (x + x)))) / (exp(x) + exp(-x));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(fma(0.016666666666666666, (x ^ 5.0), fma(0.3333333333333333, (x ^ 3.0), fma(0.0003968253968253968, (x ^ 7.0), Float64(x + x)))) / Float64(exp(x) + exp(Float64(-x))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] + N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision] + N[(x + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 97.1%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. associate-+r+ 97.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. +-commutative 97.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. fma-def 97.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, 2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. associate-+r+ 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{\left(2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. +-commutative 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   7. associate-+l+ 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(2 \cdot x + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   8. fma-def 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, 2 \cdot x + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   9. +-commutative 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 2 \cdot x}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   10. fma-def 97.1%

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, 2 \cdot x\right)}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   11. count-2 97.1%

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \color{blue}{x + x}\right)\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

4. Simplified 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

5. Final simplification 97.1%

   \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

Alternative 3: 97.1% accurate, 0.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, x + x\right)\right)\right) \cdot \frac{0.5}{\cosh x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (*
  (+
   (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))
   (fma
    (pow x 3.0)
    0.3333333333333333
    (fma (pow x 7.0) 0.0003968253968253968 (+ x x))))
  (/ 0.5 (cosh x))))

C

double code(double x) {
	return ((0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)) + fma(pow(x, 3.0), 0.3333333333333333, fma(pow(x, 7.0), 0.0003968253968253968, (x + x)))) * (0.5 / cosh(x));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)) + fma((x ^ 3.0), 0.3333333333333333, fma((x ^ 7.0), 0.0003968253968253968, Float64(x + x)))) * Float64(0.5 / cosh(x)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * 0.3333333333333333 + N[(N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision] * 0.0003968253968253968 + N[(x + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(0.5 / N[Cosh[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. associate-+r+ 97.1%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   2. associate-+r+ 97.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   3. +-commutative 97.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \left(2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   4. fma-def 97.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, 2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

   5. associate-+r+ 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{\left(2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right) + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   6. +-commutative 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   7. associate-+l+ 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(2 \cdot x + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   8. fma-def 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, 2 \cdot x + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   9. +-commutative 97.1%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 2 \cdot x}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   10. fma-def 97.1%

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, 2 \cdot x\right)}\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

   11. count-2 97.1%

       \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \color{blue}{x + x}\right)\right)\right)}{e^{x} + e^{-x}} \]

4. Simplified 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. div-inv 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{e^{x} + e^{-x}}} \]

   2. cosh-undef 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{2 \cdot \cosh x}} \]

6. Applied egg-rr 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. fma-def 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   2. *-commutative 97.1%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{{x}^{5} \cdot 0.016666666666666666} + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   3. fma-def 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)\right)} \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   4. fma-def 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)}\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   5. *-commutative 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333} + \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   6. fma-def 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, \mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, x + x\right)\right)}\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   7. fma-udef 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, \color{blue}{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(x + x\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   8. *-commutative 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, \color{blue}{{x}^{7} \cdot 0.0003968253968253968} + \left(x + x\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   9. fma-def 97.1%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, x + x\right)}\right)\right) \cdot \frac{1}{2 \cdot \cosh x} \]

   10. associate-/r* 97.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, x + x\right)\right)\right) \cdot \color{blue}{\frac{\frac{1}{2}}{\cosh x}} \]

   11. metadata-eval 97.1%

       \[\leadsto \mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, x + x\right)\right)\right) \cdot \frac{\color{blue}{0.5}}{\cosh x} \]

8. Simplified 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{5}, 0.016666666666666666, \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, x + x\right)\right)\right) \cdot \frac{0.5}{\cosh x}} \]
9. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{5} \cdot 0.016666666666666666 + \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, x + x\right)\right)\right)} \cdot \frac{0.5}{\cosh x} \]

10. Applied egg-rr 97.1%

    \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{5} \cdot 0.016666666666666666 + \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, x + x\right)\right)\right)} \cdot \frac{0.5}{\cosh x} \]

11. Final simplification 97.1%

    \[\leadsto \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + \mathsf{fma}\left({x}^{3}, 0.3333333333333333, \mathsf{fma}\left({x}^{7}, 0.0003968253968253968, x + x\right)\right)\right) \cdot \frac{0.5}{\cosh x} \]

Alternative 4: 96.9% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333)
  (+ x (* (pow x 5.0) 0.13333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)) + (x + ((x ** 5.0d0) * 0.13333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (Math.pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (math.pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + Float64(x + Float64((x ^ 5.0) * 0.13333333333333333)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + ((x ^ 5.0) * 0.13333333333333333));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x + N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} + x\right)} \]

3. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right) \]

Alternative 5: 96.9% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* x 2.0) (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0))) (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return ((x * 2.0) + (0.3333333333333333 * pow(x, 3.0))) / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * 2.0d0) + (0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0))) / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * 2.0) + (0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0))) / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return ((x * 2.0) + (0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0))) / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0))) / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * 2.0) + (0.3333333333333333 * (x ^ 3.0))) / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 8.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

5. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

6. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2 + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + x \cdot x} \]

Alternative 6: 96.7% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2 \cdot \sinh x}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* 2.0 (sinh x)) (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return (2.0 * sinh(x)) / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (2.0d0 * sinh(x)) / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (2.0 * Math.sinh(x)) / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return (2.0 * math.sinh(x)) / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(2.0 * sinh(x)) / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (2.0 * sinh(x)) / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(2.0 * N[Sinh[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 9.1%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 9.1%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

4. Simplified 9.1%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-un-lft-identity 9.1%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

   2. sinh-undef 97.0%

      \[\leadsto 1 \cdot \frac{\color{blue}{2 \cdot \sinh x}}{2 + \left(x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   3. fma-def 97.0%

      \[\leadsto 1 \cdot \frac{2 \cdot \sinh x}{2 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

6. Applied egg-rr 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \frac{2 \cdot \sinh x}{2 + \mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]
7. Step-by-step derivation

   1. *-lft-identity 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2 \cdot \sinh x}{2 + \mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

8. Simplified 97.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2 \cdot \sinh x}{2 + \mathsf{fma}\left(x, x, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

9. Taylor expanded in x around 0 96.8%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot \sinh x}{2 + \color{blue}{{x}^{2}}} \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow2 96.8%

       \[\leadsto \frac{2 \cdot \sinh x}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

11. Simplified 96.8%

    \[\leadsto \frac{2 \cdot \sinh x}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

12. Final simplification 96.8%

    \[\leadsto \frac{2 \cdot \sinh x}{2 + x \cdot x} \]

Alternative 7: 96.5% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ x (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333)))

C

double code(double x) {
	return x + (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
}

Python

def code(x):
	return x + (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333)

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x} \]

3. Final simplification 96.6%

   \[\leadsto x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 \]

Alternative 8: 96.4% accurate, 37.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x + x\right) \cdot \frac{1}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (+ x x) (/ 1.0 (+ 2.0 (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return (x + x) * (1.0 / (2.0 + (x * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x + x) * (1.0d0 / (2.0d0 + (x * x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x + x) * (1.0 / (2.0 + (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return (x + x) * (1.0 / (2.0 + (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x + x) * Float64(1.0 / Float64(2.0 + Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x + x) * (1.0 / (2.0 + (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x + x), $MachinePrecision] * N[(1.0 / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 8.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 8.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 8.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 96.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2 + x \cdot x} \]
6. Step-by-step derivation

   1. count-2 96.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x + x}}{2 + x \cdot x} \]

7. Simplified 96.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x + x}}{2 + x \cdot x} \]
8. Step-by-step derivation

   1. div-inv 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x + x\right) \cdot \frac{1}{2 + x \cdot x}} \]

9. Applied egg-rr 96.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x + x\right) \cdot \frac{1}{2 + x \cdot x}} \]

10. Final simplification 96.1%

    \[\leadsto \left(x + x\right) \cdot \frac{1}{2 + x \cdot x} \]

Alternative 9: 96.4% accurate, 45.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x + x}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (+ x x) (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return (x + x) / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x + x) / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x + x) / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return (x + x) / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x + x) / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x + x) / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x + x), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 8.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 8.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 8.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 96.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2 + x \cdot x} \]
6. Step-by-step derivation

   1. count-2 96.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x + x}}{2 + x \cdot x} \]

7. Simplified 96.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x + x}}{2 + x \cdot x} \]

8. Final simplification 96.1%

   \[\leadsto \frac{x + x}{2 + x \cdot x} \]

Alternative 10: 3.9% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 2.5 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 2.5)

C

double code(double x) {
	return 2.5;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 2.5d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 2.5;
}

Python

def code(x):
	return 2.5

Julia

function code(x)
	return 2.5
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 2.5;
end

Wolfram

code[x_] := 2.5

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 8.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 8.9%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 8.9%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

6. Applied egg-rr 4.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{5}}{2 + x \cdot x} \]

7. Taylor expanded in x around 0 4.1%

   \[\leadsto \color{blue}{2.5} \]

8. Final simplification 4.1%

   \[\leadsto 2.5 \]

Alternative 11: 96.3% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 10.1%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.0%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

3. Final simplification 96.0%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023185 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))