Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3

Percentage Accurate: 100.0% → 100.0%

Time: 6.5s

Alternatives: 9

Speedup: 1.0×

• 50.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (* (sin x) (/ (sinh y) y)))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (sinh(y) / y);
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (sinh(y) / y)
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (Math.sinh(y) / y);
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (math.sinh(y) / y)

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(sinh(y) / y))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (sinh(y) / y);
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(N[Sinh[y], $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

2. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

Alternative 2: 76.3% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := 0.16666666666666666 \cdot \left(\sin x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{if}\;y \leq -2.5:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;y \leq 620:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 4 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;x + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (* 0.16666666666666666 (* (sin x) (* y y)))))
   (if (<= y -2.5)
     t_0
     (if (<= y 620.0)
       (sin x)
       (if (<= y 4e+128) (+ x (* -0.16666666666666666 (pow x 3.0))) t_0)))))

C

double code(double x, double y) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 * (sin(x) * (y * y));
	double tmp;
	if (y <= -2.5) {
		tmp = t_0;
	} else if (y <= 620.0) {
		tmp = sin(x);
	} else if (y <= 4e+128) {
		tmp = x + (-0.16666666666666666 * pow(x, 3.0));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = 0.16666666666666666d0 * (sin(x) * (y * y))
    if (y <= (-2.5d0)) then
        tmp = t_0
    else if (y <= 620.0d0) then
        tmp = sin(x)
    else if (y <= 4d+128) then
        tmp = x + ((-0.16666666666666666d0) * (x ** 3.0d0))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double t_0 = 0.16666666666666666 * (Math.sin(x) * (y * y));
	double tmp;
	if (y <= -2.5) {
		tmp = t_0;
	} else if (y <= 620.0) {
		tmp = Math.sin(x);
	} else if (y <= 4e+128) {
		tmp = x + (-0.16666666666666666 * Math.pow(x, 3.0));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	t_0 = 0.16666666666666666 * (math.sin(x) * (y * y))
	tmp = 0
	if y <= -2.5:
		tmp = t_0
	elif y <= 620.0:
		tmp = math.sin(x)
	elif y <= 4e+128:
		tmp = x + (-0.16666666666666666 * math.pow(x, 3.0))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	t_0 = Float64(0.16666666666666666 * Float64(sin(x) * Float64(y * y)))
	tmp = 0.0
	if (y <= -2.5)
		tmp = t_0;
	elseif (y <= 620.0)
		tmp = sin(x);
	elseif (y <= 4e+128)
		tmp = Float64(x + Float64(-0.16666666666666666 * (x ^ 3.0)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	t_0 = 0.16666666666666666 * (sin(x) * (y * y));
	tmp = 0.0;
	if (y <= -2.5)
		tmp = t_0;
	elseif (y <= 620.0)
		tmp = sin(x);
	elseif (y <= 4e+128)
		tmp = x + (-0.16666666666666666 * (x ^ 3.0));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := Block[{t$95$0 = N[(0.16666666666666666 * N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[y, -2.5], t$95$0, If[LessEqual[y, 620.0], N[Sin[x], $MachinePrecision], If[LessEqual[y, 4e+128], N[(x + N[(-0.16666666666666666 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if y < -2.5 or 4.0000000000000003e128 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 72.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 72.2%

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 72.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 72.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \sin x\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 72.2%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \sin x\right) \]

      2. *-commutative 72.2%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   7. Simplified 72.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\sin x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   if -2.5 < y < 620

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 99.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]

   if 620 < y < 4.0000000000000003e128

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sinh y}{y}} \]

   3. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sinh y}{y}} \]

   4. Taylor expanded in y around 0 2.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{y \cdot \sin x}}{y} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 19.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + x} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 80.4%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq -2.5:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(\sin x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;y \leq 620:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \mathbf{elif}\;y \leq 4 \cdot 10^{+128}:\\ \;\;\;\;x + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(\sin x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3: 75.1% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \sin x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (* (sin x) (+ 1.0 (* 0.16666666666666666 (* y y)))))

C

double code(double x, double y) {
	return sin(x) * (1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y)));
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = sin(x) * (1.0d0 + (0.16666666666666666d0 * (y * y)))
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return Math.sin(x) * (1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y)));
}

Python

def code(x, y):
	return math.sin(x) * (1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y)))

Julia

function code(x, y)
	return Float64(sin(x) * Float64(1.0 + Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = sin(x) * (1.0 + (0.16666666666666666 * (y * y)));
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(N[Sin[x], $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

2. Taylor expanded in y around 0 78.8%

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 78.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

4. Simplified 78.8%

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

5. Final simplification 78.8%

   \[\leadsto \sin x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \]

Alternative 4: 71.0% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq -2.5 \cdot 10^{-8} \lor \neg \left(y \leq 7.2 \cdot 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;x + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (or (<= y -2.5e-8) (not (<= y 7.2e-6)))
   (+ x (* x (* 0.16666666666666666 (* y y))))
   (sin x)))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= -2.5e-8) || !(y <= 7.2e-6)) {
		tmp = x + (x * (0.16666666666666666 * (y * y)));
	} else {
		tmp = sin(x);
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if ((y <= (-2.5d-8)) .or. (.not. (y <= 7.2d-6))) then
        tmp = x + (x * (0.16666666666666666d0 * (y * y)))
    else
        tmp = sin(x)
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= -2.5e-8) || !(y <= 7.2e-6)) {
		tmp = x + (x * (0.16666666666666666 * (y * y)));
	} else {
		tmp = Math.sin(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if (y <= -2.5e-8) or not (y <= 7.2e-6):
		tmp = x + (x * (0.16666666666666666 * (y * y)))
	else:
		tmp = math.sin(x)
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if ((y <= -2.5e-8) || !(y <= 7.2e-6))
		tmp = Float64(x + Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y))));
	else
		tmp = sin(x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if ((y <= -2.5e-8) || ~((y <= 7.2e-6)))
		tmp = x + (x * (0.16666666666666666 * (y * y)));
	else
		tmp = sin(x);
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[Or[LessEqual[y, -2.5e-8], N[Not[LessEqual[y, 7.2e-6]], $MachinePrecision]], N[(x + N[(x * N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[Sin[x], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < -2.4999999999999999e-8 or 7.19999999999999967e-6 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 57.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 57.3%

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 57.3%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 50.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 50.9%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]

      2. +-commutative 50.9%

         \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. unpow2 50.9%

         \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      4. fma-udef 50.9%

         \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   7. Simplified 50.9%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 50.9%

         \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \]

      2. distribute-rgt-in 50.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x} \]

      3. *-commutative 50.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot x + 1 \cdot x \]

      4. *-un-lft-identity 50.9%

         \[\leadsto \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x + \color{blue}{x} \]

   9. Applied egg-rr 50.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x + x} \]

   if -2.4999999999999999e-8 < y < 7.19999999999999967e-6

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 75.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq -2.5 \cdot 10^{-8} \lor \neg \left(y \leq 7.2 \cdot 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;x + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin x\\ \end{array} \]

Alternative 5: 47.4% accurate, 15.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq -2 \cdot 10^{+154} \lor \neg \left(y \leq 4 \cdot 10^{+127}\right):\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x + \left(x \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (or (<= y -2e+154) (not (<= y 4e+127)))
   (* 0.16666666666666666 (* x (* y y)))
   (+ x (* (* x y) (* y 0.16666666666666666)))))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= -2e+154) || !(y <= 4e+127)) {
		tmp = 0.16666666666666666 * (x * (y * y));
	} else {
		tmp = x + ((x * y) * (y * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if ((y <= (-2d+154)) .or. (.not. (y <= 4d+127))) then
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (x * (y * y))
    else
        tmp = x + ((x * y) * (y * 0.16666666666666666d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= -2e+154) || !(y <= 4e+127)) {
		tmp = 0.16666666666666666 * (x * (y * y));
	} else {
		tmp = x + ((x * y) * (y * 0.16666666666666666));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if (y <= -2e+154) or not (y <= 4e+127):
		tmp = 0.16666666666666666 * (x * (y * y))
	else:
		tmp = x + ((x * y) * (y * 0.16666666666666666))
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if ((y <= -2e+154) || !(y <= 4e+127))
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * Float64(y * y)));
	else
		tmp = Float64(x + Float64(Float64(x * y) * Float64(y * 0.16666666666666666)));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if ((y <= -2e+154) || ~((y <= 4e+127)))
		tmp = 0.16666666666666666 * (x * (y * y));
	else
		tmp = x + ((x * y) * (y * 0.16666666666666666));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[Or[LessEqual[y, -2e+154], N[Not[LessEqual[y, 4e+127]], $MachinePrecision]], N[(0.16666666666666666 * N[(x * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(x + N[(N[(x * y), $MachinePrecision] * N[(y * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < -2.00000000000000007e154 or 3.99999999999999982e127 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 91.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 91.2%

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 91.2%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 91.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \sin x\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 91.2%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \sin x\right) \]

      2. *-commutative 91.2%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   7. Simplified 91.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\sin x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 73.5%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot x\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 73.5%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot x\right) \]

   10. Simplified 73.5%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot x\right)} \]

   if -2.00000000000000007e154 < y < 3.99999999999999982e127

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 73.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 73.7%

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 73.7%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 39.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 39.5%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]

      2. +-commutative 39.5%

         \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. unpow2 39.5%

         \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      4. fma-udef 39.5%

         \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   7. Simplified 39.5%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 39.5%

         \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \]

      2. distribute-rgt-in 39.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x} \]

      3. *-commutative 39.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot x + 1 \cdot x \]

      4. *-un-lft-identity 39.5%

         \[\leadsto \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x + \color{blue}{x} \]

   9. Applied egg-rr 39.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x + x} \]

   10. Taylor expanded in y around 0 39.5%

       \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot x\right)} + x \]
   11. Step-by-step derivation

       1. unpow2 39.5%

          \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot x\right) + x \]

       2. associate-*l* 39.5%

          \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot \left(y \cdot x\right)\right)} + x \]

       3. associate-*r* 39.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot x\right)} + x \]

       4. *-commutative 39.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(y \cdot x\right) + x \]

       5. *-commutative 39.5%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot x\right) \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)} + x \]

       6. *-commutative 39.5%

          \[\leadsto \left(y \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + x \]

   12. Simplified 39.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(y \cdot x\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot y\right)} + x \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 49.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq -2 \cdot 10^{+154} \lor \neg \left(y \leq 4 \cdot 10^{+127}\right):\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x + \left(x \cdot y\right) \cdot \left(y \cdot 0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6: 47.4% accurate, 18.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq -2.5 \lor \neg \left(y \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (or (<= y -2.5) (not (<= y 2.4)))
   (* 0.16666666666666666 (* x (* y y)))
   x))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= -2.5) || !(y <= 2.4)) {
		tmp = 0.16666666666666666 * (x * (y * y));
	} else {
		tmp = x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if ((y <= (-2.5d0)) .or. (.not. (y <= 2.4d0))) then
        tmp = 0.16666666666666666d0 * (x * (y * y))
    else
        tmp = x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= -2.5) || !(y <= 2.4)) {
		tmp = 0.16666666666666666 * (x * (y * y));
	} else {
		tmp = x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if (y <= -2.5) or not (y <= 2.4):
		tmp = 0.16666666666666666 * (x * (y * y))
	else:
		tmp = x
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if ((y <= -2.5) || !(y <= 2.4))
		tmp = Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * Float64(y * y)));
	else
		tmp = x;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if ((y <= -2.5) || ~((y <= 2.4)))
		tmp = 0.16666666666666666 * (x * (y * y));
	else
		tmp = x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[Or[LessEqual[y, -2.5], N[Not[LessEqual[y, 2.4]], $MachinePrecision]], N[(0.16666666666666666 * N[(x * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], x]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < -2.5 or 2.39999999999999991 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 56.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 56.8%

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 56.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in y around inf 56.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({y}^{2} \cdot \sin x\right)} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 56.8%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot \sin x\right) \]

      2. *-commutative 56.8%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sin x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   7. Simplified 56.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(\sin x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   8. Taylor expanded in x around 0 50.2%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left({y}^{2} \cdot x\right)} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 50.2%

         \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left(y \cdot y\right)} \cdot x\right) \]

   10. Simplified 50.2%

       \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot x\right)} \]

   if -2.5 < y < 2.39999999999999991

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 99.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.5%

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 48.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 48.7%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]

      2. +-commutative 48.7%

         \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. unpow2 48.7%

         \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      4. fma-udef 48.7%

         \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   7. Simplified 48.7%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around 0 48.4%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 49.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq -2.5 \lor \neg \left(y \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot \left(y \cdot y\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \]

Alternative 7: 31.8% accurate, 22.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq -2 \cdot 10^{+80} \lor \neg \left(y \leq 2.4 \cdot 10^{-30}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot y}{y}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y)
 :precision binary64
 (if (or (<= y -2e+80) (not (<= y 2.4e-30))) (/ (* x y) y) x))

C

double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= -2e+80) || !(y <= 2.4e-30)) {
		tmp = (x * y) / y;
	} else {
		tmp = x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8) :: tmp
    if ((y <= (-2d+80)) .or. (.not. (y <= 2.4d-30))) then
        tmp = (x * y) / y
    else
        tmp = x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	double tmp;
	if ((y <= -2e+80) || !(y <= 2.4e-30)) {
		tmp = (x * y) / y;
	} else {
		tmp = x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x, y):
	tmp = 0
	if (y <= -2e+80) or not (y <= 2.4e-30):
		tmp = (x * y) / y
	else:
		tmp = x
	return tmp

Julia

function code(x, y)
	tmp = 0.0
	if ((y <= -2e+80) || !(y <= 2.4e-30))
		tmp = Float64(Float64(x * y) / y);
	else
		tmp = x;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x, y)
	tmp = 0.0;
	if ((y <= -2e+80) || ~((y <= 2.4e-30)))
		tmp = (x * y) / y;
	else
		tmp = x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_, y_] := If[Or[LessEqual[y, -2e+80], N[Not[LessEqual[y, 2.4e-30]], $MachinePrecision]], N[(N[(x * y), $MachinePrecision] / y), $MachinePrecision], x]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if y < -2e80 or 2.39999999999999985e-30 < y

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]
   2. Step-by-step derivation

      1. associate-*r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sinh y}{y}} \]

   3. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\sin x \cdot \sinh y}{y}} \]

   4. Taylor expanded in y around 0 10.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{y \cdot \sin x}}{y} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 18.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{y \cdot x}}{y} \]

   if -2e80 < y < 2.39999999999999985e-30

   1. Initial program 100.0%

      \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

   2. Taylor expanded in y around 0 92.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 92.8%

         \[\leadsto \sin x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

   4. Simplified 92.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

   5. Taylor expanded in x around 0 45.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 45.3%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]

      2. +-commutative 45.3%

         \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

      3. unpow2 45.3%

         \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

      4. fma-udef 45.3%

         \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   7. Simplified 45.3%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

   8. Taylor expanded in y around 0 45.2%

      \[\leadsto \color{blue}{x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 32.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;y \leq -2 \cdot 10^{+80} \lor \neg \left(y \leq 2.4 \cdot 10^{-30}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot y}{y}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x\\ \end{array} \]

Alternative 8: 47.5% accurate, 22.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 (+ x (* x (* 0.16666666666666666 (* y y)))))

C

double code(double x, double y) {
	return x + (x * (0.16666666666666666 * (y * y)));
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = x + (x * (0.16666666666666666d0 * (y * y)))
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return x + (x * (0.16666666666666666 * (y * y)));
}

Python

def code(x, y):
	return x + (x * (0.16666666666666666 * (y * y)))

Julia

function code(x, y)
	return Float64(x + Float64(x * Float64(0.16666666666666666 * Float64(y * y))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = x + (x * (0.16666666666666666 * (y * y)));
end

Wolfram

code[x_, y_] := N[(x + N[(x * N[(0.16666666666666666 * N[(y * y), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

2. Taylor expanded in y around 0 78.8%

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 78.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

4. Simplified 78.8%

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 49.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot x} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 49.4%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]

   2. +-commutative 49.4%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

   3. unpow2 49.4%

      \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

   4. fma-udef 49.4%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

7. Simplified 49.4%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 49.4%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right) + 1\right)} \]

   2. distribute-rgt-in 49.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \cdot x + 1 \cdot x} \]

   3. *-commutative 49.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot x + 1 \cdot x \]

   4. *-un-lft-identity 49.5%

      \[\leadsto \left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x + \color{blue}{x} \]

9. Applied egg-rr 49.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(y \cdot y\right) \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot x + x} \]

10. Final simplification 49.5%

    \[\leadsto x + x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right) \]

Alternative 9: 26.3% accurate, 205.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y) :precision binary64 x)

C

double code(double x, double y) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x, y)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    code = x
end function

Java

public static double code(double x, double y) {
	return x;
}

Python

def code(x, y):
	return x

Julia

function code(x, y)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x, y)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_, y_] := x

Derivation

1. Initial program 100.0%

   \[\sin x \cdot \frac{\sinh y}{y} \]

2. Taylor expanded in y around 0 78.8%

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 78.8%

      \[\leadsto \sin x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)}\right) \]

4. Simplified 78.8%

   \[\leadsto \sin x \cdot \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot \left(y \cdot y\right)\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 49.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right) \cdot x} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 49.4%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(1 + 0.16666666666666666 \cdot {y}^{2}\right)} \]

   2. +-commutative 49.4%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {y}^{2} + 1\right)} \]

   3. unpow2 49.4%

      \[\leadsto x \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(y \cdot y\right)} + 1\right) \]

   4. fma-udef 49.4%

      \[\leadsto x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

7. Simplified 49.4%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, y \cdot y, 1\right)} \]

8. Taylor expanded in y around 0 26.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

9. Final simplification 26.2%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023182 
(FPCore (x y)
  :name "Linear.Quaternion:$ccos from linear-1.19.1.3"
  :precision binary64
  (* (sin x) (/ (sinh y) y)))