Hyperbolic tangent

Percentage Accurate: 9.3% → 97.5%

Time: 7.3s

Alternatives: 10

Speedup: 409.0×

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Initial Program: 9.3% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{-x}\\ \frac{e^{x} - t_0}{e^{x} + t_0} \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (exp (- x)))) (/ (- (exp x) t_0) (+ (exp x) t_0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(-x);
	return (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    t_0 = exp(-x)
    code = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(-x);
	return (Math.exp(x) - t_0) / (Math.exp(x) + t_0);
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(-x)
	return (math.exp(x) - t_0) / (math.exp(x) + t_0)

Julia

function code(x)
	t_0 = exp(Float64(-x))
	return Float64(Float64(exp(x) - t_0) / Float64(exp(x) + t_0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	t_0 = exp(-x);
	tmp = (exp(x) - t_0) / (exp(x) + t_0);
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]}, N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - t$95$0), $MachinePrecision] / N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] + t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Alternative 1: 97.5% accurate, 0.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \left({\left({\left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* 2.0 x)
   (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))))
  (+
   2.0
   (+
    (pow (pow (* 0.002777777777777778 (pow x 6.0)) 3.0) 0.3333333333333333)
    (+ (pow x 2.0) (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0)))))))

C

double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)))) / (2.0 + (pow(pow((0.002777777777777778 * pow(x, 6.0)), 3.0), 0.3333333333333333) + (pow(x, 2.0) + (0.08333333333333333 * pow(x, 4.0)))));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((2.0d0 * x) + ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + (0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0)))) / (2.0d0 + ((((0.002777777777777778d0 * (x ** 6.0d0)) ** 3.0d0) ** 0.3333333333333333d0) + ((x ** 2.0d0) + (0.08333333333333333d0 * (x ** 4.0d0)))))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + (0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)))) / (2.0 + (Math.pow(Math.pow((0.002777777777777778 * Math.pow(x, 6.0)), 3.0), 0.3333333333333333) + (Math.pow(x, 2.0) + (0.08333333333333333 * Math.pow(x, 4.0)))));
}

Python

def code(x):
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + (0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0)))) / (2.0 + (math.pow(math.pow((0.002777777777777778 * math.pow(x, 6.0)), 3.0), 0.3333333333333333) + (math.pow(x, 2.0) + (0.08333333333333333 * math.pow(x, 4.0)))))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(2.0 * x) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)))) / Float64(2.0 + Float64(((Float64(0.002777777777777778 * (x ^ 6.0)) ^ 3.0) ^ 0.3333333333333333) + Float64((x ^ 2.0) + Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + (0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)))) / (2.0 + ((((0.002777777777777778 * (x ^ 6.0)) ^ 3.0) ^ 0.3333333333333333) + ((x ^ 2.0) + (0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)))));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(2.0 * x), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(N[Power[N[Power[N[(0.002777777777777778 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision], 0.3333333333333333], $MachinePrecision] + N[(N[Power[x, 2.0], $MachinePrecision] + N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.7%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 97.3%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 97.3%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \left(\color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right) \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right)\right) \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right)}} + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

   2. pow1/3 97.3%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \left(\color{blue}{{\left(\left(\left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right) \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right)\right) \cdot \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right)\right)}^{0.3333333333333333}} + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

   3. pow3 97.3%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \left({\color{blue}{\left({\left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right)}^{3}\right)}}^{0.3333333333333333} + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

5. Applied egg-rr 97.3%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \left(\color{blue}{{\left({\left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333}} + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

6. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \left({\left({\left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6}\right)}^{3}\right)}^{0.3333333333333333} + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)} \]

Alternative 2: 97.5% accurate, 0.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + x \cdot x\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* 2.0 x)
   (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))))
  (+
   2.0
   (fma
    0.002777777777777778
    (pow x 6.0)
    (+ (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0)) (* x x))))))

C

double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)))) / (2.0 + fma(0.002777777777777778, pow(x, 6.0), ((0.08333333333333333 * pow(x, 4.0)) + (x * x))));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(2.0 * x) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)))) / Float64(2.0 + fma(0.002777777777777778, (x ^ 6.0), Float64(Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * x)))))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(2.0 * x), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(0.002777777777777778 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] + N[(N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.7%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 97.3%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{\color{blue}{2 + \left(0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. fma-def 97.3%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, {x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

   2. unpow2 97.3%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, \color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

5. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{\color{blue}{2 + \mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

6. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + x \cdot x\right)} \]

Alternative 3: 97.5% accurate, 1.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + x \cdot x\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/
  (+
   (* 2.0 x)
   (+ (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0)) (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))))
  (+ 2.0 (+ (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0)) (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)))) / (2.0 + ((0.08333333333333333 * pow(x, 4.0)) + (x * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((2.0d0 * x) + ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + (0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0)))) / (2.0d0 + ((0.08333333333333333d0 * (x ** 4.0d0)) + (x * x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + (0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)))) / (2.0 + ((0.08333333333333333 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + (0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0)))) / (2.0 + ((0.08333333333333333 * math.pow(x, 4.0)) + (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(2.0 * x) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)))) / Float64(2.0 + Float64(Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((2.0 * x) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + (0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)))) / (2.0 + ((0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)) + (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(2.0 * x), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.7%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}}{e^{x} + e^{-x}} \]

3. Taylor expanded in x around 0 97.3%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{\color{blue}{2 + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]
4. Step-by-step derivation

   1. unpow2 9.0%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

5. Simplified 97.3%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]

6. Final simplification 97.3%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2 + \left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + x \cdot x\right)} \]

Alternative 4: 97.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333)
  (+ x (* (pow x 5.0) 0.13333333333333333))))

C

double code(double x) {
	return (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0)) + (x + ((x ** 5.0d0) * 0.13333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (Math.pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333));
}

Python

def code(x):
	return (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + (math.pow(x, 5.0) * 0.13333333333333333))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + Float64(x + Float64((x ^ 5.0) * 0.13333333333333333)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333) + (x + ((x ^ 5.0) * 0.13333333333333333));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(x + N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.13333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.7%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.13333333333333333 \cdot {x}^{5} + x\right)} \]

3. Final simplification 97.1%

   \[\leadsto {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 + \left(x + {x}^{5} \cdot 0.13333333333333333\right) \]

Alternative 5: 97.3% accurate, 3.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* 2.0 x) (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0))) (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * pow(x, 3.0))) / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((2.0d0 * x) + (0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0))) / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0))) / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0))) / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(2.0 * x) + Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0))) / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((2.0 * x) + (0.3333333333333333 * (x ^ 3.0))) / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(2.0 * x), $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.7%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 8.8%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 97.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2 + x \cdot x} \]

6. Final simplification 97.0%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2 + x \cdot x} \]

Alternative 6: 97.0% accurate, 3.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{2}{2 + x \cdot x} \cdot \sinh x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (/ 2.0 (+ 2.0 (* x x))) (sinh x)))

C

double code(double x) {
	return (2.0 / (2.0 + (x * x))) * sinh(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (2.0d0 / (2.0d0 + (x * x))) * sinh(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (2.0 / (2.0 + (x * x))) * Math.sinh(x);
}

Python

def code(x):
	return (2.0 / (2.0 + (x * x))) * math.sinh(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(2.0 / Float64(2.0 + Float64(x * x))) * sinh(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (2.0 / (2.0 + (x * x))) * sinh(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(2.0 / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sinh[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.7%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 9.0%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 9.0%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(\color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

4. Simplified 9.0%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + \left(x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}} \]
5. Step-by-step derivation

   1. expm1-log1p-u 8.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)\right)} \]

   2. expm1-udef 8.9%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \left(x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} - 1} \]

   3. sinh-undef 8.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{\color{blue}{2 \cdot \sinh x}}{2 + \left(x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)}\right)} - 1 \]

   4. +-commutative 8.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot \sinh x}{2 + \color{blue}{\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + x \cdot x\right)}}\right)} - 1 \]

   5. fma-def 8.9%

      \[\leadsto e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot \sinh x}{2 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, x \cdot x\right)}}\right)} - 1 \]

6. Applied egg-rr 8.9%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot \sinh x}{2 + \mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, x \cdot x\right)}\right)} - 1} \]
7. Step-by-step derivation

   1. expm1-def 97.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\frac{2 \cdot \sinh x}{2 + \mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, x \cdot x\right)}\right)\right)} \]

   2. expm1-log1p 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2 \cdot \sinh x}{2 + \mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, x \cdot x\right)}} \]

   3. associate-/l* 96.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{\frac{2 + \mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, x \cdot x\right)}{\sinh x}}} \]

   4. associate-/r/ 97.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{2 + \mathsf{fma}\left(0.08333333333333333, {x}^{4}, x \cdot x\right)} \cdot \sinh x} \]

   5. fma-udef 97.1%

      \[\leadsto \frac{2}{2 + \color{blue}{\left(0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} + x \cdot x\right)}} \cdot \sinh x \]

   6. *-commutative 97.1%

      \[\leadsto \frac{2}{2 + \left(\color{blue}{{x}^{4} \cdot 0.08333333333333333} + x \cdot x\right)} \cdot \sinh x \]

   7. fma-udef 97.1%

      \[\leadsto \frac{2}{2 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.08333333333333333, x \cdot x\right)}} \cdot \sinh x \]

8. Simplified 97.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{2}{2 + \mathsf{fma}\left({x}^{4}, 0.08333333333333333, x \cdot x\right)} \cdot \sinh x} \]

9. Taylor expanded in x around 0 96.7%

   \[\leadsto \frac{2}{2 + \color{blue}{{x}^{2}}} \cdot \sinh x \]
10. Step-by-step derivation

    1. unpow2 96.7%

       \[\leadsto \frac{2}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sinh x \]

11. Simplified 96.7%

    \[\leadsto \frac{2}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \cdot \sinh x \]

12. Final simplification 96.7%

    \[\leadsto \frac{2}{2 + x \cdot x} \cdot \sinh x \]

Alternative 7: 96.9% accurate, 3.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ x (* (pow x 3.0) -0.3333333333333333)))

C

double code(double x) {
	return x + (pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x + ((x ** 3.0d0) * (-0.3333333333333333d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x + (Math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333);
}

Python

def code(x):
	return x + (math.pow(x, 3.0) * -0.3333333333333333)

Julia

function code(x)
	return Float64(x + Float64((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x + ((x ^ 3.0) * -0.3333333333333333);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.7%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.6%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + x} \]

3. Final simplification 96.6%

   \[\leadsto x + {x}^{3} \cdot -0.3333333333333333 \]

Alternative 8: 96.7% accurate, 45.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x + x}{2 + x \cdot x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (+ x x) (+ 2.0 (* x x))))

C

double code(double x) {
	return (x + x) / (2.0 + (x * x));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x + x) / (2.0d0 + (x * x))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x + x) / (2.0 + (x * x));
}

Python

def code(x):
	return (x + x) / (2.0 + (x * x))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x + x) / Float64(2.0 + Float64(x * x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x + x) / (2.0 + (x * x));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x + x), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 10.7%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 8.8%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

5. Taylor expanded in x around 0 96.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2 + x \cdot x} \]
6. Step-by-step derivation

   1. count-2 96.3%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x + x}}{2 + x \cdot x} \]

7. Simplified 96.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x + x}}{2 + x \cdot x} \]

8. Final simplification 96.3%

   \[\leadsto \frac{x + x}{2 + x \cdot x} \]

Alternative 9: 4.0% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.75 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.75)

C

double code(double x) {
	return 0.75;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.75d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.75;
}

Python

def code(x):
	return 0.75

Julia

function code(x)
	return 0.75
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.75;
end

Wolfram

code[x_] := 0.75

Derivation

1. Initial program 10.7%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + {x}^{2}}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 8.8%

      \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{2 + \color{blue}{x \cdot x}} \]

4. Simplified 8.8%

   \[\leadsto \frac{e^{x} - e^{-x}}{\color{blue}{2 + x \cdot x}} \]

6. Applied egg-rr 4.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{1.5}}{2 + x \cdot x} \]

7. Taylor expanded in x around 0 4.2%

   \[\leadsto \color{blue}{0.75} \]

8. Final simplification 4.2%

   \[\leadsto 0.75 \]

Alternative 10: 96.7% accurate, 409.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 x)

C

double code(double x) {
	return x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x;
}

Python

def code(x):
	return x

Julia

function code(x)
	return x
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x;
end

Wolfram

code[x_] := x

Derivation

1. Initial program 10.7%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{e^{x} + e^{-x}} \]

2. Taylor expanded in x around 0 96.2%

   \[\leadsto \color{blue}{x} \]

3. Final simplification 96.2%

   \[\leadsto x \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023181 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic tangent"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) (+ (exp x) (exp (- x)))))