ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.9% → 99.5%

Time: 18.1s

Alternatives: 5

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (+ (* 0.16666666666666666 (* x x)) (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0)))
  (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return ((0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0))) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((0.16666666666666666d0 * (x * x)) + ((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0))) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0))) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0));
}

Python

def code(x):
	return ((0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0))) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)) + Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0))) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0))) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 99.7%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   2. associate-*r* 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   3. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   4. +-commutative 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}}\right) \]

   5. fma-def 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)}\right) \]

4. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.7%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666 \cdot x, x, \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}}\right) \]
7. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x + \left(-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right)} \]

   2. +-commutative 99.7%

      \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x + \color{blue}{\left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   3. associate-+r+ 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot x\right) \cdot x + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

   4. associate-*r* 99.7%

      \[\leadsto \left(\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

8. Applied egg-rr 99.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

9. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6}\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

Alternative 2: 99.3% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* 0.16666666666666666 (* x x)) (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (0.16666666666666666d0 * (x * x)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0));
}

Python

def code(x):
	return (0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (0.16666666666666666 * (x * x)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. fma-def 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, {x}^{2}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   2. unpow2 99.6%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, \color{blue}{x \cdot x}, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Simplified 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.16666666666666666, x \cdot x, -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

6. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]

7. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

Alternative 3: 98.8% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \frac{x}{\frac{\tan x}{x \cdot x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 0.16666666666666666 (/ x (/ (tan x) (* x x)))))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x / (tan(x) / (x * x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x / (tan(x) / (x * x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x / (Math.tan(x) / (x * x)));
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x / (math.tan(x) / (x * x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x / Float64(tan(x) / Float64(x * x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x / (tan(x) / (x * x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x / N[(N[Tan[x], $MachinePrecision] / N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 82.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
3. Step-by-step derivation

   1. div-inv 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\tan x}} \]

   2. associate-*l* 82.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

4. Applied egg-rr 82.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 82.0%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{\color{blue}{\left(1.5 + 1.5\right)}} \cdot \frac{1}{\tan x}\right) \]

   2. pow-prod-up 40.5%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{1.5} \cdot {x}^{1.5}\right)} \cdot \frac{1}{\tan x}\right) \]

   3. un-div-inv 40.5%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\frac{{x}^{1.5} \cdot {x}^{1.5}}{\tan x}} \]

   4. pow-prod-up 82.0%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \frac{\color{blue}{{x}^{\left(1.5 + 1.5\right)}}}{\tan x} \]

   5. metadata-eval 82.0%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \frac{{x}^{\color{blue}{3}}}{\tan x} \]

   6. cube-mult 82.0%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}{\tan x} \]

   7. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\frac{x}{\frac{\tan x}{x \cdot x}}} \]

6. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\frac{x}{\frac{\tan x}{x \cdot x}}} \]

7. Final simplification 99.2%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \frac{x}{\frac{\tan x}{x \cdot x}} \]

Alternative 4: 98.8% accurate, 18.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \frac{x}{x \cdot 0.3333333333333333 + \frac{1}{x}} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (* 0.16666666666666666 (/ x (+ (* x 0.3333333333333333) (/ 1.0 x)))))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x / ((x * 0.3333333333333333) + (1.0 / x)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x / ((x * 0.3333333333333333d0) + (1.0d0 / x)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x / ((x * 0.3333333333333333) + (1.0 / x)));
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x / ((x * 0.3333333333333333) + (1.0 / x)))

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x / Float64(Float64(x * 0.3333333333333333) + Float64(1.0 / x))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x / ((x * 0.3333333333333333) + (1.0 / x)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x / N[(N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] + N[(1.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 82.0%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}}}{\tan x} \]
3. Step-by-step derivation

   1. div-inv 81.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \frac{1}{\tan x}} \]

   2. associate-*l* 82.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]

4. Applied egg-rr 82.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{3} \cdot \frac{1}{\tan x}\right)} \]
5. Step-by-step derivation

   1. metadata-eval 82.0%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left({x}^{\color{blue}{\left(1.5 + 1.5\right)}} \cdot \frac{1}{\tan x}\right) \]

   2. pow-prod-up 40.5%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{\left({x}^{1.5} \cdot {x}^{1.5}\right)} \cdot \frac{1}{\tan x}\right) \]

   3. un-div-inv 40.5%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\frac{{x}^{1.5} \cdot {x}^{1.5}}{\tan x}} \]

   4. pow-prod-up 82.0%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \frac{\color{blue}{{x}^{\left(1.5 + 1.5\right)}}}{\tan x} \]

   5. metadata-eval 82.0%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \frac{{x}^{\color{blue}{3}}}{\tan x} \]

   6. cube-mult 82.0%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \frac{\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot x\right)}}{\tan x} \]

   7. associate-/l* 99.2%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\frac{x}{\frac{\tan x}{x \cdot x}}} \]

6. Applied egg-rr 99.2%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\frac{x}{\frac{\tan x}{x \cdot x}}} \]

7. Taylor expanded in x around 0 99.1%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \frac{x}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + \frac{1}{x}}} \]

8. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \frac{x}{x \cdot 0.3333333333333333 + \frac{1}{x}} \]

Alternative 5: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 49.2%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 99.1%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \]

Developer target: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023178 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))