Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 55.1% → 99.9%

Time: 4.4s

Alternatives: 10

Speedup: 18.7×

• Unsound rule application detected in e-graph. Results may not be sound.

• 50.6% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 55.1% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -2 \lor \neg \left(t_0 \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (or (<= t_0 -2.0) (not (<= t_0 1e-6)))
     (/ t_0 2.0)
     (/
      (+
       (* x 2.0)
       (+
        (* 0.3333333333333333 (pow x 3.0))
        (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))))
      2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -2.0) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * pow(x, 3.0)) + (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(x) - exp(-x)
    if ((t_0 <= (-2.0d0)) .or. (.not. (t_0 <= 1d-6))) then
        tmp = t_0 / 2.0d0
    else
        tmp = ((x * 2.0d0) + ((0.3333333333333333d0 * (x ** 3.0d0)) + (0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0)))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -2.0) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * Math.pow(x, 3.0)) + (0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -2.0) or not (t_0 <= 1e-6):
		tmp = t_0 / 2.0
	else:
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * math.pow(x, 3.0)) + (0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0)))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= -2.0) || !(t_0 <= 1e-6))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(Float64(0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -2.0) || ~((t_0 <= 1e-6)))
		tmp = t_0 / 2.0;
	else
		tmp = ((x * 2.0) + ((0.3333333333333333 * (x ^ 3.0)) + (0.016666666666666666 * (x ^ 5.0)))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, -2.0], N[Not[LessEqual[t$95$0, 1e-6]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -2 or 9.99999999999999955e-7 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -2 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 8.6%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -2 \lor \neg \left(e^{x} - e^{-x} \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -0.002 \lor \neg \left(t_0 \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (or (<= t_0 -0.002) (not (<= t_0 1e-6)))
     (/ t_0 2.0)
     (/ (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -0.002) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = exp(x) - exp(-x)
    if ((t_0 <= (-0.002d0)) .or. (.not. (t_0 <= 1d-6))) then
        tmp = t_0 / 2.0d0
    else
        tmp = (x * (2.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -0.002) || !(t_0 <= 1e-6)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -0.002) or not (t_0 <= 1e-6):
		tmp = t_0 / 2.0
	else:
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= -0.002) || !(t_0 <= 1e-6))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -0.002) || ~((t_0 <= 1e-6)))
		tmp = t_0 / 2.0;
	else
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, -0.002], N[Not[LessEqual[t$95$0, 1e-6]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -2e-3 or 9.99999999999999955e-7 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 99.8%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -2e-3 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 9.99999999999999955e-7

   1. Initial program 7.1%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 99.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -0.002 \lor \neg \left(e^{x} - e^{-x} \leq 10^{-6}\right):\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 92.4% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+29}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{{x}^{10} \cdot 6.944444444444444 \cdot 10^{-5}}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x 5e+29)
   (/ (+ (* x 2.0) (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))) 2.0)
   (sqrt (* (pow x 10.0) 6.944444444444444e-5))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5e+29) {
		tmp = ((x * 2.0) + (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0))) / 2.0;
	} else {
		tmp = sqrt((pow(x, 10.0) * 6.944444444444444e-5));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= 5d+29) then
        tmp = ((x * 2.0d0) + (0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0))) / 2.0d0
    else
        tmp = sqrt(((x ** 10.0d0) * 6.944444444444444d-5))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= 5e+29) {
		tmp = ((x * 2.0) + (0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0))) / 2.0;
	} else {
		tmp = Math.sqrt((Math.pow(x, 10.0) * 6.944444444444444e-5));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= 5e+29:
		tmp = ((x * 2.0) + (0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0))) / 2.0
	else:
		tmp = math.sqrt((math.pow(x, 10.0) * 6.944444444444444e-5))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= 5e+29)
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))) / 2.0);
	else
		tmp = sqrt(Float64((x ^ 10.0) * 6.944444444444444e-5));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= 5e+29)
		tmp = ((x * 2.0) + (0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))) / 2.0;
	else
		tmp = sqrt(((x ^ 10.0) * 6.944444444444444e-5));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, 5e+29], N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[Sqrt[N[(N[Power[x, 10.0], $MachinePrecision] * 6.944444444444444e-5), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < 5.0000000000000001e29

   1. Initial program 45.5%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 91.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}}{2} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 90.5%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}}{2} \]

   if 5.0000000000000001e29 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 89.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}}{2} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 89.2%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}}{2} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 89.2%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt 89.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}{2}}} \]

      2. sqrt-unprod 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}{2} \cdot \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}{2}}} \]

      3. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \cdot \frac{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}{2}} \]

      4. div-inv 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right) \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right) \cdot \frac{1}{2}\right)}} \]

      5. swap-sqr 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right) \cdot \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)}} \]

      6. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left({x}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right)} \cdot \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      7. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\left({x}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right)}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      8. swap-sqr 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left({x}^{5} \cdot {x}^{5}\right) \cdot \left(0.016666666666666666 \cdot 0.016666666666666666\right)\right)} \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      9. pow-prod-up 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{{x}^{\left(5 + 5\right)}} \cdot \left(0.016666666666666666 \cdot 0.016666666666666666\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      10. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{\color{blue}{10}} \cdot \left(0.016666666666666666 \cdot 0.016666666666666666\right)\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      11. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{10} \cdot \color{blue}{0.0002777777777777778}\right) \cdot \left(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{10} \cdot 0.0002777777777777778\right) \cdot \left(\color{blue}{0.5} \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      13. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{10} \cdot 0.0002777777777777778\right) \cdot \left(0.5 \cdot \color{blue}{0.5}\right)} \]

      14. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{10} \cdot 0.0002777777777777778\right) \cdot \color{blue}{0.25}} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left({x}^{10} \cdot 0.0002777777777777778\right) \cdot 0.25}} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{10} \cdot \left(0.0002777777777777778 \cdot 0.25\right)}} \]

      2. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \sqrt{{x}^{10} \cdot \color{blue}{6.944444444444444 \cdot 10^{-5}}} \]

   8. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{10} \cdot 6.944444444444444 \cdot 10^{-5}}} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 93.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 5 \cdot 10^{+29}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{{x}^{10} \cdot 6.944444444444444 \cdot 10^{-5}}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 89.9% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2 + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* x 2.0) (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return ((x * 2.0) + (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * 2.0d0) + (0.016666666666666666d0 * (x ** 5.0d0))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * 2.0) + (0.016666666666666666 * Math.pow(x, 5.0))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return ((x * 2.0) + (0.016666666666666666 * math.pow(x, 5.0))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * 2.0) + Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * 2.0) + (0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 90.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}}{2} \]

3. Taylor expanded in x around inf 90.2%

   \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}}{2} \]

4. Final simplification 90.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2 + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}{2} \]

Alternative 5: 90.2% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \lor \neg \left(x \leq 5\right):\\ \;\;\;\;{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -5.0) (not (<= x 5.0)))
   (* (pow x 5.0) 0.008333333333333333)
   (/ (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -5.0) || !(x <= 5.0)) {
		tmp = pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333;
	} else {
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-5.0d0)) .or. (.not. (x <= 5.0d0))) then
        tmp = (x ** 5.0d0) * 0.008333333333333333d0
    else
        tmp = (x * (2.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -5.0) || !(x <= 5.0)) {
		tmp = Math.pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333;
	} else {
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -5.0) or not (x <= 5.0):
		tmp = math.pow(x, 5.0) * 0.008333333333333333
	else:
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -5.0) || !(x <= 5.0))
		tmp = Float64((x ^ 5.0) * 0.008333333333333333);
	else
		tmp = Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -5.0) || ~((x <= 5.0)))
		tmp = (x ^ 5.0) * 0.008333333333333333;
	else
		tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -5.0], N[Not[LessEqual[x, 5.0]], $MachinePrecision]], N[(N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision] * 0.008333333333333333), $MachinePrecision], N[(N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -5 or 5 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 84.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)}}{2} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 84.1%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}}{2} \]

   4. Taylor expanded in x around inf 84.1%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. div-inv 84.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      2. *-commutative 84.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left({x}^{5} \cdot 0.016666666666666666\right)} \cdot \frac{1}{2} \]

      3. associate-*l* 84.1%

         \[\leadsto \color{blue}{{x}^{5} \cdot \left(0.016666666666666666 \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      4. metadata-eval 84.1%

         \[\leadsto {x}^{5} \cdot \left(0.016666666666666666 \cdot \color{blue}{0.5}\right) \]

      5. metadata-eval 84.1%

         \[\leadsto {x}^{5} \cdot \color{blue}{0.008333333333333333} \]

   6. Applied egg-rr 84.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333} \]

   if -5 < x < 5

   1. Initial program 10.2%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 98.5%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 98.5%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 98.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 98.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 98.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 98.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 98.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 98.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 98.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   6. Applied egg-rr 98.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 90.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5 \lor \neg \left(x \leq 5\right):\\ \;\;\;\;{x}^{5} \cdot 0.008333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 6: 83.4% accurate, 15.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.45\right):\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -2.5) (not (<= x 2.45)))
   (* (* x x) (* (* x 0.3333333333333333) 0.5))
   (/ (* x 2.0) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.45)) {
		tmp = (x * x) * ((x * 0.3333333333333333) * 0.5);
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-2.5d0)) .or. (.not. (x <= 2.45d0))) then
        tmp = (x * x) * ((x * 0.3333333333333333d0) * 0.5d0)
    else
        tmp = (x * 2.0d0) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.45)) {
		tmp = (x * x) * ((x * 0.3333333333333333) * 0.5);
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -2.5) or not (x <= 2.45):
		tmp = (x * x) * ((x * 0.3333333333333333) * 0.5)
	else:
		tmp = (x * 2.0) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2.5) || !(x <= 2.45))
		tmp = Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(x * 0.3333333333333333) * 0.5));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2.5) || ~((x <= 2.45)))
		tmp = (x * x) * ((x * 0.3333333333333333) * 0.5);
	else
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -2.5], N[Not[LessEqual[x, 2.45]], $MachinePrecision]], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision] * 0.5), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.5 or 2.4500000000000002 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 71.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 71.5%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 71.5%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 71.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 71.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 71.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 71.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 71.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 71.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 71.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]

   7. Simplified 71.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-inv 71.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      2. associate-*r* 71.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \frac{1}{2} \]

      3. associate-*l* 71.5%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      4. metadata-eval 71.5%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{0.5}\right) \]

   9. Applied egg-rr 71.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot 0.5\right)} \]

   if -2.5 < x < 2.4500000000000002

   1. Initial program 10.2%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 97.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 83.1%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.45\right):\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot 0.5\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 7: 83.7% accurate, 18.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ 2.0 (* x (* x 0.3333333333333333)))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (2.0d0 + (x * (x * 0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333)))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (2.0 + (x * (x * 0.3333333333333333)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 83.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 83.5%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 83.5%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 83.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 83.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 83.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 83.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 83.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 83.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 83.5%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

6. Applied egg-rr 83.5%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

7. Final simplification 83.5%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \]

Alternative 8: 51.3% accurate, 41.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x 2.0) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 2.0d0) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * 2.0) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 2.0) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 46.5%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]

3. Final simplification 46.5%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2}{2} \]

Alternative 9: 2.8% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 -1.0)

C

double code(double x) {
	return -1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0;
}

Python

def code(x):
	return -1.0

Julia

function code(x)
	return -1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0;
end

Wolfram

code[x_] := -1.0

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 2.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2}}{2} \]

4. Final simplification 2.7%

   \[\leadsto -1 \]

Alternative 10: 3.4% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 60.0%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 3.1%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0}}{2} \]

4. Final simplification 3.1%

   \[\leadsto 0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023175 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))