Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 54.2% → 99.6%

Time: 5.7s

Alternatives: 10

Speedup: 18.7×

• Unsound rule application detected in e-graph. Results may not be sound.

• 49.2% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Initial Program: 54.2% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.6% accurate, 0.3× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -\infty \lor \neg \left(t_0 \leq 0.001\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(x + x\right)}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (or (<= t_0 (- INFINITY)) (not (<= t_0 0.001)))
     (/ t_0 2.0)
     (/ (+ (* x (* x (* x 0.3333333333333333))) (+ x x)) 2.0))))

C

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -((double) INFINITY)) || !(t_0 <= 0.001)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = ((x * (x * (x * 0.3333333333333333))) + (x + x)) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = Math.exp(x) - Math.exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -Double.POSITIVE_INFINITY) || !(t_0 <= 0.001)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = ((x * (x * (x * 0.3333333333333333))) + (x + x)) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = math.exp(x) - math.exp(-x)
	tmp = 0
	if (t_0 <= -math.inf) or not (t_0 <= 0.001):
		tmp = t_0 / 2.0
	else:
		tmp = ((x * (x * (x * 0.3333333333333333))) + (x + x)) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= Float64(-Inf)) || !(t_0 <= 0.001))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333))) + Float64(x + x)) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = exp(x) - exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if ((t_0 <= -Inf) || ~((t_0 <= 0.001)))
		tmp = t_0 / 2.0;
	else
		tmp = ((x * (x * (x * 0.3333333333333333))) + (x + x)) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[Not[LessEqual[t$95$0, 0.001]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -inf.0 or 1e-3 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -inf.0 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 1e-3

   1. Initial program 8.2%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. distribute-rgt-in 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

      3. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

      4. add-log-exp 8.7%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \color{blue}{\log \left(e^{2 \cdot x}\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 8.7%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \log \left(e^{\color{blue}{x \cdot 2}}\right)}{2} \]

      6. exp-lft-sqr 8.6%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \log \color{blue}{\left(e^{x} \cdot e^{x}\right)}}{2} \]

      7. log-prod 8.6%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \color{blue}{\left(\log \left(e^{x}\right) + \log \left(e^{x}\right)\right)}}{2} \]

      8. add-log-exp 20.7%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(\color{blue}{x} + \log \left(e^{x}\right)\right)}{2} \]

      9. add-log-exp 100.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + \color{blue}{x}\right)}{2} \]

   6. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + x\right)}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -\infty \lor \neg \left(e^{x} - e^{-x} \leq 0.001\right):\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(x + x\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 90.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2000000:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x \cdot \left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right)}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{{x}^{6} \cdot 0.027777777777777776}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -1e+154)
   (* x (* x (* x 0.16666666666666666)))
   (if (<= x 2000000.0)
     (/
      (/
       (* x (- 4.0 (* 0.1111111111111111 (pow x 4.0))))
       (+ 2.0 (* (* x x) -0.3333333333333333)))
      2.0)
     (sqrt (* (pow x 6.0) 0.027777777777777776)))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1e+154) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else if (x <= 2000000.0) {
		tmp = ((x * (4.0 - (0.1111111111111111 * pow(x, 4.0)))) / (2.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333))) / 2.0;
	} else {
		tmp = sqrt((pow(x, 6.0) * 0.027777777777777776));
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-1d+154)) then
        tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666d0))
    else if (x <= 2000000.0d0) then
        tmp = ((x * (4.0d0 - (0.1111111111111111d0 * (x ** 4.0d0)))) / (2.0d0 + ((x * x) * (-0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
    else
        tmp = sqrt(((x ** 6.0d0) * 0.027777777777777776d0))
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1e+154) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else if (x <= 2000000.0) {
		tmp = ((x * (4.0 - (0.1111111111111111 * Math.pow(x, 4.0)))) / (2.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333))) / 2.0;
	} else {
		tmp = Math.sqrt((Math.pow(x, 6.0) * 0.027777777777777776));
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -1e+154:
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666))
	elif x <= 2000000.0:
		tmp = ((x * (4.0 - (0.1111111111111111 * math.pow(x, 4.0)))) / (2.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333))) / 2.0
	else:
		tmp = math.sqrt((math.pow(x, 6.0) * 0.027777777777777776))
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1e+154)
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)));
	elseif (x <= 2000000.0)
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * Float64(4.0 - Float64(0.1111111111111111 * (x ^ 4.0)))) / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * -0.3333333333333333))) / 2.0);
	else
		tmp = sqrt(Float64((x ^ 6.0) * 0.027777777777777776));
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1e+154)
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	elseif (x <= 2000000.0)
		tmp = ((x * (4.0 - (0.1111111111111111 * (x ^ 4.0)))) / (2.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333))) / 2.0;
	else
		tmp = sqrt(((x ^ 6.0) * 0.027777777777777776));
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -1e+154], N[(x * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 2000000.0], N[(N[(N[(x * N[(4.0 - N[(0.1111111111111111 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision], N[Sqrt[N[(N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.00000000000000004e154

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      2. un-div-inv 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      3. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \cdot x} \]

      4. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \cdot x \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{0.5} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x \]

      6. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}\right) \cdot x \]

      7. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.5 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} \cdot x \]

      8. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot x\right) \cdot x \]

      9. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)} \cdot x \]

      10. *-commutative 100.0%

          \[\leadsto \left(x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot 0.5\right)\right) \cdot x \]

      11. associate-*l* 100.0%

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.5\right)\right)}\right) \cdot x \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot x \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x} \]

   if -1.00000000000000004e154 < x < 2e6

   1. Initial program 26.8%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 86.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 86.6%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 86.6%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 86.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 86.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 86.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 86.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 86.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 86.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 86.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. distribute-rgt-in 86.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

      3. *-commutative 86.6%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

      4. add-log-exp 25.5%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \color{blue}{\log \left(e^{2 \cdot x}\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 25.5%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \log \left(e^{\color{blue}{x \cdot 2}}\right)}{2} \]

      6. exp-lft-sqr 25.5%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \log \color{blue}{\left(e^{x} \cdot e^{x}\right)}}{2} \]

      7. log-prod 25.5%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \color{blue}{\left(\log \left(e^{x}\right) + \log \left(e^{x}\right)\right)}}{2} \]

      8. add-log-exp 35.1%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(\color{blue}{x} + \log \left(e^{x}\right)\right)}{2} \]

      9. add-log-exp 86.6%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + \color{blue}{x}\right)}{2} \]

   6. Applied egg-rr 86.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + x\right)}}{2} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 86.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + x\right) + \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      2. count-2 86.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x} + \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 86.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 86.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x}\right)}{2} \]

      5. associate-*l* 86.5%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   8. Applied egg-rr 86.5%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 86.5%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      2. flip-+ 89.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{2 \cdot 2 - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \cdot x}{2} \]

      3. associate-*l/ 90.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(2 \cdot 2 - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}}{2} \]

      4. metadata-eval 90.8%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(\color{blue}{4} - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      5. swap-sqr 90.8%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      6. metadata-eval 90.8%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - \color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      7. pow2 90.8%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      8. pow2 90.8%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      9. pow-prod-up 90.8%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}}\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      10. metadata-eval 90.8%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      11. sub-neg 90.8%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right) \cdot x}{\color{blue}{2 + \left(-0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}}{2} \]

      12. *-commutative 90.8%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right) \cdot x}{2 + \left(-\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}}{2} \]

      13. distribute-rgt-neg-in 90.8%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right) \cdot x}{2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333\right)}}}{2} \]

      14. metadata-eval 90.8%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right) \cdot x}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}{2} \]

   10. Applied egg-rr 90.8%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right) \cdot x}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333}}}{2} \]

   if 2e6 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 60.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 60.9%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 60.9%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 60.9%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 60.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 60.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 60.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 60.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 60.9%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 60.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 60.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

      2. *-commutative 60.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right)}}{2} \]

      3. associate-*r* 60.9%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}{2} \]

   7. Simplified 60.9%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. div-inv 60.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)\right) \cdot \frac{1}{2}} \]

      2. associate-*r* 60.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)} \cdot \frac{1}{2} \]

      3. associate-*l* 60.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(x \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \frac{1}{2}\right)} \]

      4. *-commutative 60.9%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} \cdot \frac{1}{2}\right) \]

      5. metadata-eval 60.9%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.5}\right) \]

   9. Applied egg-rr 60.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)} \]
   10. Step-by-step derivation

       1. add-sqr-sqrt 60.9%

          \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot \sqrt{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}} \]

       2. sqrt-unprod 80.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)}} \]

       3. *-commutative 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)} \]

       4. *-commutative 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{\left(\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]

       5. swap-sqr 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} \]

       6. pow2 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)}^{2}} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

       7. *-commutative 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{{\left(\color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot 0.5\right)}^{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

       8. associate-*l* 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.5\right)\right)}}^{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

       9. metadata-eval 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{{\left(x \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right)}^{2} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

       10. pow2 80.2%

           \[\leadsto \sqrt{{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}^{2} \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} \]

       11. pow2 80.2%

           \[\leadsto \sqrt{{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}^{2} \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)} \]

       12. pow-prod-up 80.2%

           \[\leadsto \sqrt{{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}}} \]

       13. metadata-eval 80.2%

           \[\leadsto \sqrt{{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}^{2} \cdot {x}^{\color{blue}{4}}} \]

   11. Applied egg-rr 80.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}^{2} \cdot {x}^{4}}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{4} \cdot {\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}^{2}}} \]

       2. metadata-eval 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{{x}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 2\right)}} \cdot {\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}^{2}} \]

       3. pow-sqr 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{2} \cdot {x}^{2}\right)} \cdot {\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}^{2}} \]

       4. unpow2 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot {x}^{2}\right) \cdot {\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}^{2}} \]

       5. unpow2 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \cdot {\left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}^{2}} \]

       6. unpow2 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

       7. swap-sqr 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)}} \]

       8. associate-*r* 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

       9. unpow3 80.2%

          \[\leadsto \sqrt{\left(\color{blue}{{x}^{3}} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]

       10. associate-*r* 80.2%

           \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

       11. unpow3 80.2%

           \[\leadsto \sqrt{\left({x}^{3} \cdot 0.16666666666666666\right) \cdot \left(\color{blue}{{x}^{3}} \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

       12. swap-sqr 80.2%

           \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)}} \]

       13. pow-sqr 80.2%

           \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{{x}^{\left(2 \cdot 3\right)}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

       14. metadata-eval 80.2%

           \[\leadsto \sqrt{{x}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

       15. metadata-eval 80.2%

           \[\leadsto \sqrt{{x}^{6} \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}} \]

   13. Simplified 80.2%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{{x}^{6} \cdot 0.027777777777777776}} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 89.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{+154}:\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2000000:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x \cdot \left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right)}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{{x}^{6} \cdot 0.027777777777777776}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 87.2% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{+158} \lor \neg \left(x \leq 5 \cdot 10^{+102}\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x}{\frac{2 + x \cdot \left(x \cdot -0.3333333333333333\right)}{4 + {x}^{4} \cdot -0.1111111111111111}}}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1e+158) (not (<= x 5e+102)))
   (* x (* x (* x 0.16666666666666666)))
   (/
    (/
     x
     (/
      (+ 2.0 (* x (* x -0.3333333333333333)))
      (+ 4.0 (* (pow x 4.0) -0.1111111111111111))))
    2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1e+158) || !(x <= 5e+102)) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = (x / ((2.0 + (x * (x * -0.3333333333333333))) / (4.0 + (pow(x, 4.0) * -0.1111111111111111)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-1d+158)) .or. (.not. (x <= 5d+102))) then
        tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666d0))
    else
        tmp = (x / ((2.0d0 + (x * (x * (-0.3333333333333333d0)))) / (4.0d0 + ((x ** 4.0d0) * (-0.1111111111111111d0))))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1e+158) || !(x <= 5e+102)) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = (x / ((2.0 + (x * (x * -0.3333333333333333))) / (4.0 + (Math.pow(x, 4.0) * -0.1111111111111111)))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -1e+158) or not (x <= 5e+102):
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666))
	else:
		tmp = (x / ((2.0 + (x * (x * -0.3333333333333333))) / (4.0 + (math.pow(x, 4.0) * -0.1111111111111111)))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1e+158) || !(x <= 5e+102))
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(Float64(x / Float64(Float64(2.0 + Float64(x * Float64(x * -0.3333333333333333))) / Float64(4.0 + Float64((x ^ 4.0) * -0.1111111111111111)))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -1e+158) || ~((x <= 5e+102)))
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = (x / ((2.0 + (x * (x * -0.3333333333333333))) / (4.0 + ((x ^ 4.0) * -0.1111111111111111)))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1e+158], N[Not[LessEqual[x, 5e+102]], $MachinePrecision]], N[(x * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x / N[(N[(2.0 + N[(x * N[(x * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(4.0 + N[(N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision] * -0.1111111111111111), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -9.99999999999999953e157 or 5e102 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      2. un-div-inv 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      3. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \cdot x} \]

      4. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \cdot x \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{0.5} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x \]

      6. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}\right) \cdot x \]

      7. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.5 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} \cdot x \]

      8. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot x\right) \cdot x \]

      9. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)} \cdot x \]

      10. *-commutative 100.0%

          \[\leadsto \left(x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot 0.5\right)\right) \cdot x \]

      11. associate-*l* 100.0%

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.5\right)\right)}\right) \cdot x \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot x \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x} \]

   if -9.99999999999999953e157 < x < 5e102

   1. Initial program 37.4%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 74.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 74.8%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 74.8%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 74.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 74.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. distribute-rgt-in 74.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

      3. *-commutative 74.8%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

      4. add-log-exp 36.3%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \color{blue}{\log \left(e^{2 \cdot x}\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 36.3%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \log \left(e^{\color{blue}{x \cdot 2}}\right)}{2} \]

      6. exp-lft-sqr 36.3%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \log \color{blue}{\left(e^{x} \cdot e^{x}\right)}}{2} \]

      7. log-prod 36.3%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \color{blue}{\left(\log \left(e^{x}\right) + \log \left(e^{x}\right)\right)}}{2} \]

      8. add-log-exp 44.5%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(\color{blue}{x} + \log \left(e^{x}\right)\right)}{2} \]

      9. add-log-exp 74.8%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + \color{blue}{x}\right)}{2} \]

   6. Applied egg-rr 74.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + x\right)}}{2} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 74.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + x\right) + \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      2. count-2 74.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x} + \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 74.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x}\right)}{2} \]

      5. associate-*l* 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   8. Applied egg-rr 74.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. flip-+ 80.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{2 \cdot 2 - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}}{2} \]

      2. associate-*r/ 84.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(2 \cdot 2 - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}}{2} \]

      3. metadata-eval 84.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot \left(\color{blue}{4} - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      4. swap-sqr 84.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot \left(4 - \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      5. metadata-eval 84.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot \left(4 - \color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      6. pow2 84.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot \left(4 - 0.1111111111111111 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      7. pow2 84.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot \left(4 - 0.1111111111111111 \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right)}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      8. pow-prod-up 84.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot \left(4 - 0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}}\right)}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      9. metadata-eval 84.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot \left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right)}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      10. sub-neg 84.1%

          \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot \left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right)}{\color{blue}{2 + \left(-0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}}{2} \]

      11. *-commutative 84.1%

          \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot \left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right)}{2 + \left(-\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}}{2} \]

      12. distribute-rgt-neg-in 84.1%

          \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot \left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right)}{2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333\right)}}}{2} \]

      13. metadata-eval 84.1%

          \[\leadsto \frac{\frac{x \cdot \left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right)}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}{2} \]

   10. Applied egg-rr 84.1%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x \cdot \left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right)}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333}}}{2} \]
   11. Step-by-step derivation

       1. associate-/l* 80.4%

          \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x}{\frac{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333}{4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}}}}}{2} \]

       2. associate-*l* 80.4%

          \[\leadsto \frac{\frac{x}{\frac{2 + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot -0.3333333333333333\right)}}{4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}}}}{2} \]

       3. cancel-sign-sub-inv 80.4%

          \[\leadsto \frac{\frac{x}{\frac{2 + x \cdot \left(x \cdot -0.3333333333333333\right)}{\color{blue}{4 + \left(-0.1111111111111111\right) \cdot {x}^{4}}}}}{2} \]

       4. metadata-eval 80.4%

          \[\leadsto \frac{\frac{x}{\frac{2 + x \cdot \left(x \cdot -0.3333333333333333\right)}{4 + \color{blue}{-0.1111111111111111} \cdot {x}^{4}}}}{2} \]

   12. Simplified 80.4%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{x}{\frac{2 + x \cdot \left(x \cdot -0.3333333333333333\right)}{4 + -0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}}}}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 86.3%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{+158} \lor \neg \left(x \leq 5 \cdot 10^{+102}\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x}{\frac{2 + x \cdot \left(x \cdot -0.3333333333333333\right)}{4 + {x}^{4} \cdot -0.1111111111111111}}}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 4: 90.1% accurate, 1.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{+154} \lor \neg \left(x \leq 5 \cdot 10^{+102}\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x \cdot \left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right)}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333}}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -1e+154) (not (<= x 5e+102)))
   (* x (* x (* x 0.16666666666666666)))
   (/
    (/
     (* x (- 4.0 (* 0.1111111111111111 (pow x 4.0))))
     (+ 2.0 (* (* x x) -0.3333333333333333)))
    2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1e+154) || !(x <= 5e+102)) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = ((x * (4.0 - (0.1111111111111111 * pow(x, 4.0)))) / (2.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-1d+154)) .or. (.not. (x <= 5d+102))) then
        tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666d0))
    else
        tmp = ((x * (4.0d0 - (0.1111111111111111d0 * (x ** 4.0d0)))) / (2.0d0 + ((x * x) * (-0.3333333333333333d0)))) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -1e+154) || !(x <= 5e+102)) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = ((x * (4.0 - (0.1111111111111111 * Math.pow(x, 4.0)))) / (2.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -1e+154) or not (x <= 5e+102):
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666))
	else:
		tmp = ((x * (4.0 - (0.1111111111111111 * math.pow(x, 4.0)))) / (2.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333))) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -1e+154) || !(x <= 5e+102))
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * Float64(4.0 - Float64(0.1111111111111111 * (x ^ 4.0)))) / Float64(2.0 + Float64(Float64(x * x) * -0.3333333333333333))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -1e+154) || ~((x <= 5e+102)))
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = ((x * (4.0 - (0.1111111111111111 * (x ^ 4.0)))) / (2.0 + ((x * x) * -0.3333333333333333))) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -1e+154], N[Not[LessEqual[x, 5e+102]], $MachinePrecision]], N[(x * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * N[(4.0 - N[(0.1111111111111111 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(2.0 + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * -0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -1.00000000000000004e154 or 5e102 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 100.0%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      2. un-div-inv 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      3. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \cdot x} \]

      4. associate-/r/ 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \cdot x \]

      5. metadata-eval 100.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{0.5} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x \]

      6. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}\right) \cdot x \]

      7. associate-*r* 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.5 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} \cdot x \]

      8. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot x\right) \cdot x \]

      9. *-commutative 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)} \cdot x \]

      10. *-commutative 100.0%

          \[\leadsto \left(x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot 0.5\right)\right) \cdot x \]

      11. associate-*l* 100.0%

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.5\right)\right)}\right) \cdot x \]

      12. metadata-eval 100.0%

          \[\leadsto \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot x \]

   9. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x} \]

   if -1.00000000000000004e154 < x < 5e102

   1. Initial program 37.4%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 74.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 74.8%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 74.8%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 74.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 74.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. fma-udef 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

      2. distribute-rgt-in 74.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

      3. *-commutative 74.8%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

      4. add-log-exp 36.3%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \color{blue}{\log \left(e^{2 \cdot x}\right)}}{2} \]

      5. *-commutative 36.3%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \log \left(e^{\color{blue}{x \cdot 2}}\right)}{2} \]

      6. exp-lft-sqr 36.3%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \log \color{blue}{\left(e^{x} \cdot e^{x}\right)}}{2} \]

      7. log-prod 36.3%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \color{blue}{\left(\log \left(e^{x}\right) + \log \left(e^{x}\right)\right)}}{2} \]

      8. add-log-exp 44.5%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(\color{blue}{x} + \log \left(e^{x}\right)\right)}{2} \]

      9. add-log-exp 74.8%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + \color{blue}{x}\right)}{2} \]

   6. Applied egg-rr 74.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + x\right)}}{2} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 74.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + x\right) + \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      2. count-2 74.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x} + \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 74.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x}\right)}{2} \]

      5. associate-*l* 74.8%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   8. Applied egg-rr 74.8%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 74.8%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      2. flip-+ 80.4%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{2 \cdot 2 - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \cdot x}{2} \]

      3. associate-*l/ 84.1%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(2 \cdot 2 - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}}{2} \]

      4. metadata-eval 84.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(\color{blue}{4} - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      5. swap-sqr 84.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      6. metadata-eval 84.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - \color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      7. pow2 84.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot \left(\color{blue}{{x}^{2}} \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      8. pow2 84.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot \left({x}^{2} \cdot \color{blue}{{x}^{2}}\right)\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      9. pow-prod-up 84.1%

         \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{{x}^{\left(2 + 2\right)}}\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      10. metadata-eval 84.1%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{\color{blue}{4}}\right) \cdot x}{2 - 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}{2} \]

      11. sub-neg 84.1%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right) \cdot x}{\color{blue}{2 + \left(-0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}}{2} \]

      12. *-commutative 84.1%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right) \cdot x}{2 + \left(-\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}}{2} \]

      13. distribute-rgt-neg-in 84.1%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right) \cdot x}{2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.3333333333333333\right)}}}{2} \]

      14. metadata-eval 84.1%

          \[\leadsto \frac{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right) \cdot x}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}{2} \]

   10. Applied egg-rr 84.1%

       \[\leadsto \frac{\color{blue}{\frac{\left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right) \cdot x}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333}}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 88.9%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1 \cdot 10^{+154} \lor \neg \left(x \leq 5 \cdot 10^{+102}\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\frac{x \cdot \left(4 - 0.1111111111111111 \cdot {x}^{4}\right)}{2 + \left(x \cdot x\right) \cdot -0.3333333333333333}}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 5: 83.5% accurate, 15.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(x + x\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (+ (* x (* x (* x 0.3333333333333333))) (+ x x)) 2.0))

C

double code(double x) {
	return ((x * (x * (x * 0.3333333333333333))) + (x + x)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * (x * (x * 0.3333333333333333d0))) + (x + x)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * (x * (x * 0.3333333333333333))) + (x + x)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return ((x * (x * (x * 0.3333333333333333))) + (x + x)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.3333333333333333))) + Float64(x + x)) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * (x * (x * 0.3333333333333333))) + (x + x)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * N[(x * N[(x * 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x + x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 82.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 82.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 82.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 82.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 82.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 82.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 82.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 82.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 82.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 82.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   2. distribute-rgt-in 82.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

   3. *-commutative 82.4%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

   4. add-log-exp 55.5%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \color{blue}{\log \left(e^{2 \cdot x}\right)}}{2} \]

   5. *-commutative 55.5%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \log \left(e^{\color{blue}{x \cdot 2}}\right)}{2} \]

   6. exp-lft-sqr 55.5%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \log \color{blue}{\left(e^{x} \cdot e^{x}\right)}}{2} \]

   7. log-prod 55.4%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \color{blue}{\left(\log \left(e^{x}\right) + \log \left(e^{x}\right)\right)}}{2} \]

   8. add-log-exp 61.2%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(\color{blue}{x} + \log \left(e^{x}\right)\right)}{2} \]

   9. add-log-exp 82.4%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + \color{blue}{x}\right)}{2} \]

6. Applied egg-rr 82.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + x\right)}}{2} \]

7. Final simplification 82.4%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) + \left(x + x\right)}{2} \]

Alternative 6: 83.1% accurate, 18.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.4 \lor \neg \left(x \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (or (<= x -2.4) (not (<= x 2.4)))
   (* x (* x (* x 0.16666666666666666)))
   (/ (* x 2.0) 2.0)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.4) || !(x <= 2.4)) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if ((x <= (-2.4d0)) .or. (.not. (x <= 2.4d0))) then
        tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666d0))
    else
        tmp = (x * 2.0d0) / 2.0d0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if ((x <= -2.4) || !(x <= 2.4)) {
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	} else {
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if (x <= -2.4) or not (x <= 2.4):
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666))
	else:
		tmp = (x * 2.0) / 2.0
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if ((x <= -2.4) || !(x <= 2.4))
		tmp = Float64(x * Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)));
	else
		tmp = Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if ((x <= -2.4) || ~((x <= 2.4)))
		tmp = x * (x * (x * 0.16666666666666666));
	else
		tmp = (x * 2.0) / 2.0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[Or[LessEqual[x, -2.4], N[Not[LessEqual[x, 2.4]], $MachinePrecision]], N[(x * N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -2.39999999999999991 or 2.39999999999999991 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 66.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow3 66.6%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

      2. associate-*r* 66.6%

         \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

      3. distribute-rgt-out 66.6%

         \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

      4. *-commutative 66.6%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

      5. +-commutative 66.6%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

      6. associate-*l* 66.6%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

      7. fma-def 66.6%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   4. Simplified 66.6%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

   5. Taylor expanded in x around inf 66.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{2}\right)}}{2} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. unpow2 66.6%

         \[\leadsto \frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

   7. Simplified 66.6%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      2. un-div-inv 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}}} \]

      3. *-commutative 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}} \cdot x} \]

      4. associate-/r/ 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\frac{1}{2} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)} \cdot x \]

      5. metadata-eval 66.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{0.5} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot x \]

      6. associate-*r* 66.6%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x\right)}\right) \cdot x \]

      7. associate-*r* 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\left(0.5 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x\right)} \cdot x \]

      8. *-commutative 66.6%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)} \cdot x\right) \cdot x \]

      9. *-commutative 66.6%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot 0.5\right)\right)} \cdot x \]

      10. *-commutative 66.6%

          \[\leadsto \left(x \cdot \left(\color{blue}{\left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot 0.5\right)\right) \cdot x \]

      11. associate-*l* 66.6%

          \[\leadsto \left(x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.5\right)\right)}\right) \cdot x \]

      12. metadata-eval 66.6%

          \[\leadsto \left(x \cdot \left(x \cdot \color{blue}{0.16666666666666666}\right)\right) \cdot x \]

   9. Applied egg-rr 66.6%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right) \cdot x} \]

   if -2.39999999999999991 < x < 2.39999999999999991

   1. Initial program 8.9%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 98.7%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 82.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.4 \lor \neg \left(x \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 7: 83.5% accurate, 18.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (+ 2.0 (* 0.3333333333333333 (* x x)))) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * (2.0d0 + (0.3333333333333333d0 * (x * x)))) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(2.0 + Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x)))) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * (2.0 + (0.3333333333333333 * (x * x)))) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * N[(2.0 + N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 82.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow3 82.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)}}{2} \]

   2. associate-*r* 82.4%

      \[\leadsto \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 82.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 82.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333}\right)}{2} \]

   5. +-commutative 82.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]

   6. associate-*l* 82.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(\color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + 2\right)}{2} \]

   7. fma-def 82.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]

4. Simplified 82.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(x, x \cdot 0.3333333333333333, 2\right)}}{2} \]
5. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 82.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right) + 2\right)}}{2} \]

   2. distribute-rgt-in 82.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right) \cdot x + 2 \cdot x}}{2} \]

   3. *-commutative 82.4%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}\right) \cdot x + 2 \cdot x}{2} \]

   4. add-log-exp 55.5%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \color{blue}{\log \left(e^{2 \cdot x}\right)}}{2} \]

   5. *-commutative 55.5%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \log \left(e^{\color{blue}{x \cdot 2}}\right)}{2} \]

   6. exp-lft-sqr 55.5%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \log \color{blue}{\left(e^{x} \cdot e^{x}\right)}}{2} \]

   7. log-prod 55.4%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \color{blue}{\left(\log \left(e^{x}\right) + \log \left(e^{x}\right)\right)}}{2} \]

   8. add-log-exp 61.2%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(\color{blue}{x} + \log \left(e^{x}\right)\right)}{2} \]

   9. add-log-exp 82.4%

      \[\leadsto \frac{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + \color{blue}{x}\right)}{2} \]

6. Applied egg-rr 82.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x + \left(x + x\right)}}{2} \]
7. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 82.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(x + x\right) + \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x}}{2} \]

   2. count-2 82.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x} + \left(x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right) \cdot x}{2} \]

   3. distribute-rgt-out 82.4%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)\right)}}{2} \]

   4. *-commutative 82.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot x}\right)}{2} \]

   5. associate-*l* 82.4%

      \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)}\right)}{2} \]

8. Applied egg-rr 82.4%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}}{2} \]

9. Final simplification 82.4%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2} \]

Alternative 8: 52.4% accurate, 41.2× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x \cdot 2}{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (* x 2.0) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * 2.0d0) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * 2.0) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (x * 2.0) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * 2.0) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * 2.0) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * 2.0), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 56.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 50.2%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]

3. Final simplification 50.2%

   \[\leadsto \frac{x \cdot 2}{2} \]

Alternative 9: 2.9% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -1 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 -1.0)

C

double code(double x) {
	return -1.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = -1.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return -1.0;
}

Python

def code(x):
	return -1.0

Julia

function code(x)
	return -1.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = -1.0;
end

Wolfram

code[x_] := -1.0

Derivation

1. Initial program 56.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 2.7%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{-2}}{2} \]

4. Final simplification 2.7%

   \[\leadsto -1 \]

Alternative 10: 3.5% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 56.2%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

3. Applied egg-rr 3.3%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{0}}{2} \]

4. Final simplification 3.3%

   \[\leadsto 0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023174 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))