FastMath dist

Percentage Accurate: 97.7% → 100.0%
Time: 1.8s
Alternatives: 3
Speedup: 1.4×

Specification

?
\[\begin{array}{l} \\ d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3 \end{array} \]
(FPCore (d1 d2 d3) :precision binary64 (+ (* d1 d2) (* d1 d3)))
double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d1 * d2) + (d1 * d3);
}

real(8) function code(d1, d2, d3)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    code = (d1 * d2) + (d1 * d3)
end function

public static double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d1 * d2) + (d1 * d3);
}

def code(d1, d2, d3):
	return (d1 * d2) + (d1 * d3)

function code(d1, d2, d3)
	return Float64(Float64(d1 * d2) + Float64(d1 * d3))
end

function tmp = code(d1, d2, d3)
	tmp = (d1 * d2) + (d1 * d3);
end

code[d1_, d2_, d3_] := N[(N[(d1 * d2), $MachinePrecision] + N[(d1 * d3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\begin{array}{l}

\\
d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3
\end{array}

Sampling outcomes in binary64 precision:

Local Percentage Accuracy vs ?

The average percentage accuracy by input value. Horizontal axis shows value of an input variable; the variable is choosen in the title. Vertical axis is accuracy; higher is better. Red represent the original program, while blue represents Herbie's suggestion. These can be toggled with buttons below the plot. The line is an average while dots represent individual samples.

Accuracy vs Speed?

Herbie found 3 alternatives:

AlternativeAccuracySpeedup
The accuracy (vertical axis) and speed (horizontal axis) of each alternatives. Up and to the right is better. The red square shows the initial program, and each blue circle shows an alternative.The line shows the best available speed-accuracy tradeoffs.

Initial Program: 97.7% accurate, 1.0× speedup?

\[\begin{array}{l} \\ d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3 \end{array} \]
(FPCore (d1 d2 d3) :precision binary64 (+ (* d1 d2) (* d1 d3)))
double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d1 * d2) + (d1 * d3);
}

real(8) function code(d1, d2, d3)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    code = (d1 * d2) + (d1 * d3)
end function

public static double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d1 * d2) + (d1 * d3);
}

def code(d1, d2, d3):
	return (d1 * d2) + (d1 * d3)

function code(d1, d2, d3)
	return Float64(Float64(d1 * d2) + Float64(d1 * d3))
end

function tmp = code(d1, d2, d3)
	tmp = (d1 * d2) + (d1 * d3);
end

code[d1_, d2_, d3_] := N[(N[(d1 * d2), $MachinePrecision] + N[(d1 * d3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\begin{array}{l}

\\
d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3
\end{array}

Alternative 1: 100.0% accurate, 1.4× speedup?

\[\begin{array}{l} \\ \left(d2 + d3\right) \cdot d1 \end{array} \]
(FPCore (d1 d2 d3) :precision binary64 (* (+ d2 d3) d1))
double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d2 + d3) * d1;
}

real(8) function code(d1, d2, d3)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    code = (d2 + d3) * d1
end function

public static double code(double d1, double d2, double d3) {
	return (d2 + d3) * d1;
}

def code(d1, d2, d3):
	return (d2 + d3) * d1

function code(d1, d2, d3)
	return Float64(Float64(d2 + d3) * d1)
end

function tmp = code(d1, d2, d3)
	tmp = (d2 + d3) * d1;
end

code[d1_, d2_, d3_] := N[(N[(d2 + d3), $MachinePrecision] * d1), $MachinePrecision]

\begin{array}{l}

\\
\left(d2 + d3\right) \cdot d1
\end{array}
Derivation

  1. Initial program 98.4%

    \[d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3 \]
  2. Step-by-step derivation

    1. distribute-lft-out100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot \left(d2 + d3\right)} \]

    2. *-commutative100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(d2 + d3\right) \cdot d1} \]

  3. Applied egg-rr100.0%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(d2 + d3\right) \cdot d1} \]

  4. Final simplification100.0%

    \[\leadsto \left(d2 + d3\right) \cdot d1 \]

Alternative 2: 63.7% accurate, 1.4× speedup?

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq 1.6 \cdot 10^{-116}:\\ \;\;\;\;d2 \cdot d1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d3 \cdot d1\\ \end{array} \end{array} \]
(FPCore (d1 d2 d3)
 :precision binary64
 (if (<= d3 1.6e-116) (* d2 d1) (* d3 d1)))
double code(double d1, double d2, double d3) {
	double tmp;
	if (d3 <= 1.6e-116) {
		tmp = d2 * d1;
	} else {
		tmp = d3 * d1;
	}
	return tmp;
}

real(8) function code(d1, d2, d3)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    real(8) :: tmp
    if (d3 <= 1.6d-116) then
        tmp = d2 * d1
    else
        tmp = d3 * d1
    end if
    code = tmp
end function

public static double code(double d1, double d2, double d3) {
	double tmp;
	if (d3 <= 1.6e-116) {
		tmp = d2 * d1;
	} else {
		tmp = d3 * d1;
	}
	return tmp;
}

def code(d1, d2, d3):
	tmp = 0
	if d3 <= 1.6e-116:
		tmp = d2 * d1
	else:
		tmp = d3 * d1
	return tmp

function code(d1, d2, d3)
	tmp = 0.0
	if (d3 <= 1.6e-116)
		tmp = Float64(d2 * d1);
	else
		tmp = Float64(d3 * d1);
	end
	return tmp
end

function tmp_2 = code(d1, d2, d3)
	tmp = 0.0;
	if (d3 <= 1.6e-116)
		tmp = d2 * d1;
	else
		tmp = d3 * d1;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

code[d1_, d2_, d3_] := If[LessEqual[d3, 1.6e-116], N[(d2 * d1), $MachinePrecision], N[(d3 * d1), $MachinePrecision]]

\begin{array}{l}

\\
\begin{array}{l}
\mathbf{if}\;d3 \leq 1.6 \cdot 10^{-116}:\\
\;\;\;\;d2 \cdot d1\\

\mathbf{else}:\\
\;\;\;\;d3 \cdot d1\\


\end{array}
\end{array}
Derivation
  1. Split input into 2 regimes

  2. if d3 < 1.60000000000000005e-116

    1. Initial program 98.2%

      \[d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3 \]

    2. Taylor expanded in d2 around inf 60.0%

      \[\leadsto \color{blue}{d2 \cdot d1} \]

    if 1.60000000000000005e-116 < d3

    1. Initial program 98.9%

      \[d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3 \]

    2. Taylor expanded in d2 around 0 70.1%

      \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot d3} \]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification63.6%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;d3 \leq 1.6 \cdot 10^{-116}:\\ \;\;\;\;d2 \cdot d1\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;d3 \cdot d1\\ \end{array} \]

Alternative 3: 52.7% accurate, 2.3× speedup?

\[\begin{array}{l} \\ d3 \cdot d1 \end{array} \]
(FPCore (d1 d2 d3) :precision binary64 (* d3 d1))
double code(double d1, double d2, double d3) {
	return d3 * d1;
}

real(8) function code(d1, d2, d3)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    code = d3 * d1
end function

public static double code(double d1, double d2, double d3) {
	return d3 * d1;
}

def code(d1, d2, d3):
	return d3 * d1

function code(d1, d2, d3)
	return Float64(d3 * d1)
end

function tmp = code(d1, d2, d3)
	tmp = d3 * d1;
end

code[d1_, d2_, d3_] := N[(d3 * d1), $MachinePrecision]

\begin{array}{l}

\\
d3 \cdot d1
\end{array}
Derivation

  1. Initial program 98.4%

    \[d1 \cdot d2 + d1 \cdot d3 \]

  2. Taylor expanded in d2 around 0 57.3%

    \[\leadsto \color{blue}{d1 \cdot d3} \]

  3. Final simplification57.3%

    \[\leadsto d3 \cdot d1 \]

Developer target: 100.0% accurate, 1.4× speedup?

\[\begin{array}{l} \\ d1 \cdot \left(d2 + d3\right) \end{array} \]
(FPCore (d1 d2 d3) :precision binary64 (* d1 (+ d2 d3)))
double code(double d1, double d2, double d3) {
	return d1 * (d2 + d3);
}

real(8) function code(d1, d2, d3)
    real(8), intent (in) :: d1
    real(8), intent (in) :: d2
    real(8), intent (in) :: d3
    code = d1 * (d2 + d3)
end function

public static double code(double d1, double d2, double d3) {
	return d1 * (d2 + d3);
}

def code(d1, d2, d3):
	return d1 * (d2 + d3)

function code(d1, d2, d3)
	return Float64(d1 * Float64(d2 + d3))
end

function tmp = code(d1, d2, d3)
	tmp = d1 * (d2 + d3);
end

code[d1_, d2_, d3_] := N[(d1 * N[(d2 + d3), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

\begin{array}{l}

\\
d1 \cdot \left(d2 + d3\right)
\end{array}

Reproduce

?
herbie shell --seed 2023174 
(FPCore (d1 d2 d3)
  :name "FastMath dist"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* d1 (+ d2 d3))

  (+ (* d1 d2) (* d1 d3)))