exp2 (problem 3.3.7)

Percentage Accurate: 76.9% → 99.9%

Time: 8.5s

Alternatives: 10

Speedup: 18.6×

• Unsound rule application detected in e-graph. Results may not be sound.

• 50.3% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Specification

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ (- (exp x) 2.0) (exp (- x))))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 2.0) + exp(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - 2.0d0) + exp(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - 2.0) + Math.exp(-x);
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - 2.0) + math.exp(-x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - 2.0) + exp(Float64(-x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - 2.0) + exp(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 76.9% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (+ (- (exp x) 2.0) (exp (- x))))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - 2.0) + exp(-x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - 2.0d0) + exp(-x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - 2.0) + Math.exp(-x);
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - 2.0) + math.exp(-x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - 2.0) + exp(Float64(-x)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - 2.0) + exp(-x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.9% accurate, 0.4× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(e^{x} - 2\right) + e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (- (exp x) 2.0) (exp (- x)))))
   (if (<= t_0 2e-6)
     (fma
      0.002777777777777778
      (pow x 6.0)
      (+ (* x x) (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0))))
     t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (exp(x) - 2.0) + exp(-x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 2e-6) {
		tmp = fma(0.002777777777777778, pow(x, 6.0), ((x * x) + (0.08333333333333333 * pow(x, 4.0))));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(exp(x) - 2.0) + exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 2e-6)
		tmp = fma(0.002777777777777778, (x ^ 6.0), Float64(Float64(x * x) + Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0))));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 2e-6], N[(0.002777777777777778 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision] + N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (exp.f64 x) 2) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 1.99999999999999991e-6

   1. Initial program 56.3%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.002777777777777778 \cdot {x}^{6} + \left({x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. fma-def 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, {x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

      2. unpow2 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, \color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right) \]

   4. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)} \]

   if 1.99999999999999991e-6 < (+.f64 (-.f64 (exp.f64 x) 2) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;\mathsf{fma}\left(0.002777777777777778, {x}^{6}, x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x}\\ \end{array} \]

Alternative 2: 99.9% accurate, 0.5× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} t_0 := \left(e^{x} - 2\right) + e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (+ (- (exp x) 2.0) (exp (- x)))))
   (if (<= t_0 2e-6) (+ (* x x) (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0))) t_0)))

C

double code(double x) {
	double t_0 = (exp(x) - 2.0) + exp(-x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 2e-6) {
		tmp = (x * x) + (0.08333333333333333 * pow(x, 4.0));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: t_0
    real(8) :: tmp
    t_0 = (exp(x) - 2.0d0) + exp(-x)
    if (t_0 <= 2d-6) then
        tmp = (x * x) + (0.08333333333333333d0 * (x ** 4.0d0))
    else
        tmp = t_0
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double t_0 = (Math.exp(x) - 2.0) + Math.exp(-x);
	double tmp;
	if (t_0 <= 2e-6) {
		tmp = (x * x) + (0.08333333333333333 * Math.pow(x, 4.0));
	} else {
		tmp = t_0;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	t_0 = (math.exp(x) - 2.0) + math.exp(-x)
	tmp = 0
	if t_0 <= 2e-6:
		tmp = (x * x) + (0.08333333333333333 * math.pow(x, 4.0))
	else:
		tmp = t_0
	return tmp

Julia

function code(x)
	t_0 = Float64(Float64(exp(x) - 2.0) + exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if (t_0 <= 2e-6)
		tmp = Float64(Float64(x * x) + Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)));
	else
		tmp = t_0;
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	t_0 = (exp(x) - 2.0) + exp(-x);
	tmp = 0.0;
	if (t_0 <= 2e-6)
		tmp = (x * x) + (0.08333333333333333 * (x ^ 4.0));
	else
		tmp = t_0;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - 2.0), $MachinePrecision] + N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[LessEqual[t$95$0, 2e-6], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], t$95$0]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (+.f64 (-.f64 (exp.f64 x) 2) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 1.99999999999999991e-6

   1. Initial program 56.3%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.9%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} \]

   4. Simplified 99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}} \]

   if 1.99999999999999991e-6 < (+.f64 (-.f64 (exp.f64 x) 2) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \leq 2 \cdot 10^{-6}:\\ \;\;\;\;x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x}\\ \end{array} \]

Alternative 3: 99.7% accurate, 1.8× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.6:\\ \;\;\;\;\mathsf{expm1}\left(-x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2.6:\\ \;\;\;\;x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{expm1}\left(x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -2.6)
   (expm1 (- x))
   (if (<= x 2.6) (+ (* x x) (* 0.08333333333333333 (pow x 4.0))) (expm1 x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2.6) {
		tmp = expm1(-x);
	} else if (x <= 2.6) {
		tmp = (x * x) + (0.08333333333333333 * pow(x, 4.0));
	} else {
		tmp = expm1(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -2.6) {
		tmp = Math.expm1(-x);
	} else if (x <= 2.6) {
		tmp = (x * x) + (0.08333333333333333 * Math.pow(x, 4.0));
	} else {
		tmp = Math.expm1(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -2.6:
		tmp = math.expm1(-x)
	elif x <= 2.6:
		tmp = (x * x) + (0.08333333333333333 * math.pow(x, 4.0))
	else:
		tmp = math.expm1(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -2.6)
		tmp = expm1(Float64(-x));
	elseif (x <= 2.6)
		tmp = Float64(Float64(x * x) + Float64(0.08333333333333333 * (x ^ 4.0)));
	else
		tmp = expm1(x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -2.6], N[(Exp[(-x)] - 1), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 2.6], N[(N[(x * x), $MachinePrecision] + N[(0.08333333333333333 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], N[(Exp[x] - 1), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -2.60000000000000009

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1} + e^{-x} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{-x} - 1} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(-x\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(-x\right)} \]

   if -2.60000000000000009 < x < 2.60000000000000009

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.5%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4} \]

   4. Simplified 99.5%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}} \]

   if 2.60000000000000009 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 0.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1} + e^{-x} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{-x} + -1} \]

      2. add-sqr-sqrt 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{e^{-x}} \cdot \sqrt{e^{-x}}} + -1 \]

      3. fma-def 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{e^{-x}}, \sqrt{e^{-x}}, -1\right)} \]

      4. metadata-eval 0.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{e^{-x}}, \sqrt{e^{-x}}, \color{blue}{-1}\right) \]

      5. fma-neg 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{e^{-x}} \cdot \sqrt{e^{-x}} - 1} \]

      6. add-sqr-sqrt 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{-x}} - 1 \]

      7. expm1-udef 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(-x\right)} \]

      8. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}\right) \]

      9. sqrt-unprod 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}\right) \]

      10. sqr-neg 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}\right) \]

      11. sqrt-prod 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}\right) \]

      12. add-sqr-sqrt 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{x}\right) \]

      13. expm1-udef 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{e^{x} - 1} \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x} - 1} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)} \]

   6. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.6:\\ \;\;\;\;\mathsf{expm1}\left(-x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 2.6:\\ \;\;\;\;x \cdot x + 0.08333333333333333 \cdot {x}^{4}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{expm1}\left(x\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4: 93.6% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.5:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{0.5 + x \cdot 0.16666666666666666} - x\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.6:\\ \;\;\;\;x \cdot x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{expm1}\left(x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.5)
   (-
    (/
     (* (* x x) (- 0.25 (* x (* x 0.027777777777777776))))
     (+ 0.5 (* x 0.16666666666666666)))
    x)
   (if (<= x 1.6) (* x x) (expm1 x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.5) {
		tmp = (((x * x) * (0.25 - (x * (x * 0.027777777777777776)))) / (0.5 + (x * 0.16666666666666666))) - x;
	} else if (x <= 1.6) {
		tmp = x * x;
	} else {
		tmp = expm1(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.5) {
		tmp = (((x * x) * (0.25 - (x * (x * 0.027777777777777776)))) / (0.5 + (x * 0.16666666666666666))) - x;
	} else if (x <= 1.6) {
		tmp = x * x;
	} else {
		tmp = Math.expm1(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -1.5:
		tmp = (((x * x) * (0.25 - (x * (x * 0.027777777777777776)))) / (0.5 + (x * 0.16666666666666666))) - x
	elif x <= 1.6:
		tmp = x * x
	else:
		tmp = math.expm1(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.5)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.25 - Float64(x * Float64(x * 0.027777777777777776)))) / Float64(0.5 + Float64(x * 0.16666666666666666))) - x);
	elseif (x <= 1.6)
		tmp = Float64(x * x);
	else
		tmp = expm1(x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -1.5], N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.25 - N[(x * N[(x * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.5 + N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.6], N[(x * x), $MachinePrecision], N[(Exp[x] - 1), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1} + e^{-x} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 75.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + -1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) + -1 \cdot x} \]

      2. neg-mul-1 75.4%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(-x\right)} \]

      3. unsub-neg 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) - x} \]

      4. +-commutative 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot {x}^{2} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)} - x \]

      5. unpow2 75.4%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) - x \]

      6. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) - x \]

      7. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.16666666666666666}\right) - x \]

      8. unpow3 75.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) - x \]

      9. associate-*l* 75.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) - x \]

      10. distribute-lft-out 75.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)} - x \]

   5. Simplified 75.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right) - x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} - x \]

      2. flip-+ 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}} \cdot \left(x \cdot x\right) - x \]

      3. associate-*l/ 81.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}} - x \]

      4. metadata-eval 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{0.25} - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666} - x \]

      5. swap-sqr 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666} - x \]

      6. metadata-eval 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666} - x \]

      7. *-commutative 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 - \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot x}} - x \]

      8. cancel-sign-sub-inv 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{0.5 + \left(--0.16666666666666666\right) \cdot x}} - x \]

      9. metadata-eval 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot x} - x \]

   7. Applied egg-rr 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x}} - x \]

   8. Taylor expanded in x around 0 81.0%

      \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{2}}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x} - x \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - 0.027777777777777776 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x} - x \]

      2. *-commutative 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x} - x \]

      3. associate-*r* 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x} - x \]

   10. Simplified 81.0%

       \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x} - x \]

   if -1.5 < x < 1.6000000000000001

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} \]

   4. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} \]

   if 1.6000000000000001 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 0.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1} + e^{-x} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{-x} + -1} \]

      2. add-sqr-sqrt 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{e^{-x}} \cdot \sqrt{e^{-x}}} + -1 \]

      3. fma-def 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{e^{-x}}, \sqrt{e^{-x}}, -1\right)} \]

      4. metadata-eval 0.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{e^{-x}}, \sqrt{e^{-x}}, \color{blue}{-1}\right) \]

      5. fma-neg 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{e^{-x}} \cdot \sqrt{e^{-x}} - 1} \]

      6. add-sqr-sqrt 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{-x}} - 1 \]

      7. expm1-udef 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(-x\right)} \]

      8. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}\right) \]

      9. sqrt-unprod 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}\right) \]

      10. sqr-neg 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}\right) \]

      11. sqrt-prod 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}\right) \]

      12. add-sqr-sqrt 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{x}\right) \]

      13. expm1-udef 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{e^{x} - 1} \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x} - 1} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)} \]

   6. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 94.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.5:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{0.5 + x \cdot 0.16666666666666666} - x\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.6:\\ \;\;\;\;x \cdot x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{expm1}\left(x\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5: 99.4% accurate, 2.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.65:\\ \;\;\;\;\mathsf{expm1}\left(-x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.6:\\ \;\;\;\;x \cdot x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{expm1}\left(x\right)\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.65) (expm1 (- x)) (if (<= x 1.6) (* x x) (expm1 x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.65) {
		tmp = expm1(-x);
	} else if (x <= 1.6) {
		tmp = x * x;
	} else {
		tmp = expm1(x);
	}
	return tmp;
}

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.65) {
		tmp = Math.expm1(-x);
	} else if (x <= 1.6) {
		tmp = x * x;
	} else {
		tmp = Math.expm1(x);
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -1.65:
		tmp = math.expm1(-x)
	elif x <= 1.6:
		tmp = x * x
	else:
		tmp = math.expm1(x)
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.65)
		tmp = expm1(Float64(-x));
	elseif (x <= 1.6)
		tmp = Float64(x * x);
	else
		tmp = expm1(x);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -1.65], N[(Exp[(-x)] - 1), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 1.6], N[(x * x), $MachinePrecision], N[(Exp[x] - 1), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.6499999999999999

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1} + e^{-x} \]

   3. Taylor expanded in x around inf 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{-x} - 1} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(-x\right)} \]

   5. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(-x\right)} \]

   if -1.6499999999999999 < x < 1.6000000000000001

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} \]

   4. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} \]

   if 1.6000000000000001 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 0.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1} + e^{-x} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. +-commutative 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{-x} + -1} \]

      2. add-sqr-sqrt 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{e^{-x}} \cdot \sqrt{e^{-x}}} + -1 \]

      3. fma-def 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{e^{-x}}, \sqrt{e^{-x}}, -1\right)} \]

      4. metadata-eval 0.7%

         \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{e^{-x}}, \sqrt{e^{-x}}, \color{blue}{-1}\right) \]

      5. fma-neg 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{e^{-x}} \cdot \sqrt{e^{-x}} - 1} \]

      6. add-sqr-sqrt 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{e^{-x}} - 1 \]

      7. expm1-udef 0.7%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(-x\right)} \]

      8. add-sqr-sqrt 0.0%

         \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\sqrt{-x} \cdot \sqrt{-x}}\right) \]

      9. sqrt-unprod 100.0%

         \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\sqrt{\left(-x\right) \cdot \left(-x\right)}}\right) \]

      10. sqr-neg 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\sqrt{\color{blue}{x \cdot x}}\right) \]

      11. sqrt-prod 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}}\right) \]

      12. add-sqr-sqrt 100.0%

          \[\leadsto \mathsf{expm1}\left(\color{blue}{x}\right) \]

      13. expm1-udef 100.0%

          \[\leadsto \color{blue}{e^{x} - 1} \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{e^{x} - 1} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. expm1-def 100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)} \]

   6. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(x\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.65:\\ \;\;\;\;\mathsf{expm1}\left(-x\right)\\ \mathbf{elif}\;x \leq 1.6:\\ \;\;\;\;x \cdot x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\mathsf{expm1}\left(x\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6: 86.8% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -4.7:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot x}{\frac{-6}{x}} - x\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5.6:\\ \;\;\;\;x \cdot x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(2 + x \cdot -0.6666666666666666\right)\right) - x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -4.7)
   (- (/ (* x x) (/ -6.0 x)) x)
   (if (<= x 5.6)
     (* x x)
     (-
      (*
       (* x x)
       (*
        (- 0.25 (* (* x x) 0.027777777777777776))
        (+ 2.0 (* x -0.6666666666666666))))
      x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -4.7) {
		tmp = ((x * x) / (-6.0 / x)) - x;
	} else if (x <= 5.6) {
		tmp = x * x;
	} else {
		tmp = ((x * x) * ((0.25 - ((x * x) * 0.027777777777777776)) * (2.0 + (x * -0.6666666666666666)))) - x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-4.7d0)) then
        tmp = ((x * x) / ((-6.0d0) / x)) - x
    else if (x <= 5.6d0) then
        tmp = x * x
    else
        tmp = ((x * x) * ((0.25d0 - ((x * x) * 0.027777777777777776d0)) * (2.0d0 + (x * (-0.6666666666666666d0))))) - x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -4.7) {
		tmp = ((x * x) / (-6.0 / x)) - x;
	} else if (x <= 5.6) {
		tmp = x * x;
	} else {
		tmp = ((x * x) * ((0.25 - ((x * x) * 0.027777777777777776)) * (2.0 + (x * -0.6666666666666666)))) - x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -4.7:
		tmp = ((x * x) / (-6.0 / x)) - x
	elif x <= 5.6:
		tmp = x * x
	else:
		tmp = ((x * x) * ((0.25 - ((x * x) * 0.027777777777777776)) * (2.0 + (x * -0.6666666666666666)))) - x
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -4.7)
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * x) / Float64(-6.0 / x)) - x);
	elseif (x <= 5.6)
		tmp = Float64(x * x);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(0.25 - Float64(Float64(x * x) * 0.027777777777777776)) * Float64(2.0 + Float64(x * -0.6666666666666666)))) - x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -4.7)
		tmp = ((x * x) / (-6.0 / x)) - x;
	elseif (x <= 5.6)
		tmp = x * x;
	else
		tmp = ((x * x) * ((0.25 - ((x * x) * 0.027777777777777776)) * (2.0 + (x * -0.6666666666666666)))) - x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -4.7], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[(-6.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 5.6], N[(x * x), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(0.25 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(x * -0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -4.70000000000000018

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1} + e^{-x} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 75.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + -1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) + -1 \cdot x} \]

      2. neg-mul-1 75.4%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(-x\right)} \]

      3. unsub-neg 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) - x} \]

      4. +-commutative 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot {x}^{2} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)} - x \]

      5. unpow2 75.4%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) - x \]

      6. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) - x \]

      7. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.16666666666666666}\right) - x \]

      8. unpow3 75.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) - x \]

      9. associate-*l* 75.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) - x \]

      10. distribute-lft-out 75.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)} - x \]

   5. Simplified 75.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right) - x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip-+ 75.4%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}} - x \]

      2. associate-*r/ 81.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}} - x \]

      3. metadata-eval 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{0.25} - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666} - x \]

      4. swap-sqr 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666} - x \]

      5. metadata-eval 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666} - x \]

      6. *-commutative 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right)}{0.5 - \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot x}} - x \]

      7. cancel-sign-sub-inv 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right)}{\color{blue}{0.5 + \left(--0.16666666666666666\right) \cdot x}} - x \]

      8. metadata-eval 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right)}{0.5 + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot x} - x \]

   7. Applied egg-rr 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x}} - x \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x}{0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776}}} - x \]

      2. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot x}{\frac{0.5 + \color{blue}{x \cdot 0.16666666666666666}}{0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776}} - x \]

   9. Simplified 75.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{0.5 + x \cdot 0.16666666666666666}{0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776}}} - x \]

   10. Taylor expanded in x around inf 75.4%

       \[\leadsto \frac{x \cdot x}{\color{blue}{\frac{-6}{x}}} - x \]

   if -4.70000000000000018 < x < 5.5999999999999996

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} \]

   4. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} \]

   if 5.5999999999999996 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 0.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1} + e^{-x} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 0.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + -1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 0.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) + -1 \cdot x} \]

      2. neg-mul-1 0.2%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(-x\right)} \]

      3. unsub-neg 0.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) - x} \]

      4. +-commutative 0.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot {x}^{2} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)} - x \]

      5. unpow2 0.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) - x \]

      6. *-commutative 0.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) - x \]

      7. *-commutative 0.2%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.16666666666666666}\right) - x \]

      8. unpow3 0.2%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) - x \]

      9. associate-*l* 0.2%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) - x \]

      10. distribute-lft-out 0.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)} - x \]

   5. Simplified 0.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right) - x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip-+ 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}} - x \]

      2. div-inv 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \frac{1}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}\right)} - x \]

      3. metadata-eval 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{0.25} - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \frac{1}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}\right) - x \]

      4. swap-sqr 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \frac{1}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}\right) - x \]

      5. metadata-eval 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}\right) \cdot \frac{1}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}\right) - x \]

      6. *-commutative 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \frac{1}{0.5 - \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot x}}\right) - x \]

      7. cancel-sign-sub-inv 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{0.5 + \left(--0.16666666666666666\right) \cdot x}}\right) - x \]

      8. metadata-eval 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \frac{1}{0.5 + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot x}\right) - x \]

   7. Applied egg-rr 0.2%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \frac{1}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x}\right)} - x \]

   8. Taylor expanded in x around 0 75.2%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + -0.6666666666666666 \cdot x\right)}\right) - x \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 75.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(2 + \color{blue}{x \cdot -0.6666666666666666}\right)\right) - x \]

   10. Simplified 75.2%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + x \cdot -0.6666666666666666\right)}\right) - x \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 86.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -4.7:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot x}{\frac{-6}{x}} - x\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5.6:\\ \;\;\;\;x \cdot x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(2 + x \cdot -0.6666666666666666\right)\right) - x\\ \end{array} \]

Alternative 7: 88.8% accurate, 8.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.5:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{0.5 + x \cdot 0.16666666666666666} - x\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5.6:\\ \;\;\;\;x \cdot x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(2 + x \cdot -0.6666666666666666\right)\right) - x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -1.5)
   (-
    (/
     (* (* x x) (- 0.25 (* x (* x 0.027777777777777776))))
     (+ 0.5 (* x 0.16666666666666666)))
    x)
   (if (<= x 5.6)
     (* x x)
     (-
      (*
       (* x x)
       (*
        (- 0.25 (* (* x x) 0.027777777777777776))
        (+ 2.0 (* x -0.6666666666666666))))
      x))))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.5) {
		tmp = (((x * x) * (0.25 - (x * (x * 0.027777777777777776)))) / (0.5 + (x * 0.16666666666666666))) - x;
	} else if (x <= 5.6) {
		tmp = x * x;
	} else {
		tmp = ((x * x) * ((0.25 - ((x * x) * 0.027777777777777776)) * (2.0 + (x * -0.6666666666666666)))) - x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-1.5d0)) then
        tmp = (((x * x) * (0.25d0 - (x * (x * 0.027777777777777776d0)))) / (0.5d0 + (x * 0.16666666666666666d0))) - x
    else if (x <= 5.6d0) then
        tmp = x * x
    else
        tmp = ((x * x) * ((0.25d0 - ((x * x) * 0.027777777777777776d0)) * (2.0d0 + (x * (-0.6666666666666666d0))))) - x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -1.5) {
		tmp = (((x * x) * (0.25 - (x * (x * 0.027777777777777776)))) / (0.5 + (x * 0.16666666666666666))) - x;
	} else if (x <= 5.6) {
		tmp = x * x;
	} else {
		tmp = ((x * x) * ((0.25 - ((x * x) * 0.027777777777777776)) * (2.0 + (x * -0.6666666666666666)))) - x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -1.5:
		tmp = (((x * x) * (0.25 - (x * (x * 0.027777777777777776)))) / (0.5 + (x * 0.16666666666666666))) - x
	elif x <= 5.6:
		tmp = x * x
	else:
		tmp = ((x * x) * ((0.25 - ((x * x) * 0.027777777777777776)) * (2.0 + (x * -0.6666666666666666)))) - x
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -1.5)
		tmp = Float64(Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(0.25 - Float64(x * Float64(x * 0.027777777777777776)))) / Float64(0.5 + Float64(x * 0.16666666666666666))) - x);
	elseif (x <= 5.6)
		tmp = Float64(x * x);
	else
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * x) * Float64(Float64(0.25 - Float64(Float64(x * x) * 0.027777777777777776)) * Float64(2.0 + Float64(x * -0.6666666666666666)))) - x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -1.5)
		tmp = (((x * x) * (0.25 - (x * (x * 0.027777777777777776)))) / (0.5 + (x * 0.16666666666666666))) - x;
	elseif (x <= 5.6)
		tmp = x * x;
	else
		tmp = ((x * x) * ((0.25 - ((x * x) * 0.027777777777777776)) * (2.0 + (x * -0.6666666666666666)))) - x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -1.5], N[(N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(0.25 - N[(x * N[(x * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(0.5 + N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision], If[LessEqual[x, 5.6], N[(x * x), $MachinePrecision], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * N[(N[(0.25 - N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.027777777777777776), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(2.0 + N[(x * -0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 3 regimes

2. if x < -1.5

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1} + e^{-x} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 75.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + -1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) + -1 \cdot x} \]

      2. neg-mul-1 75.4%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(-x\right)} \]

      3. unsub-neg 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) - x} \]

      4. +-commutative 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot {x}^{2} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)} - x \]

      5. unpow2 75.4%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) - x \]

      6. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) - x \]

      7. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.16666666666666666}\right) - x \]

      8. unpow3 75.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) - x \]

      9. associate-*l* 75.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) - x \]

      10. distribute-lft-out 75.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)} - x \]

   5. Simplified 75.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right) - x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot x\right)} - x \]

      2. flip-+ 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}} \cdot \left(x \cdot x\right) - x \]

      3. associate-*l/ 81.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}} - x \]

      4. metadata-eval 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(\color{blue}{0.25} - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666} - x \]

      5. swap-sqr 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666} - x \]

      6. metadata-eval 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666} - x \]

      7. *-commutative 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 - \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot x}} - x \]

      8. cancel-sign-sub-inv 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{0.5 + \left(--0.16666666666666666\right) \cdot x}} - x \]

      9. metadata-eval 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot x} - x \]

   7. Applied egg-rr 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x}} - x \]

   8. Taylor expanded in x around 0 81.0%

      \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \color{blue}{0.027777777777777776 \cdot {x}^{2}}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x} - x \]
   9. Step-by-step derivation

      1. unpow2 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - 0.027777777777777776 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x} - x \]

      2. *-commutative 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x} - x \]

      3. associate-*r* 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x} - x \]

   10. Simplified 81.0%

       \[\leadsto \frac{\left(0.25 - \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)}\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x} - x \]

   if -1.5 < x < 5.5999999999999996

   1. Initial program 56.6%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 99.0%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} \]

   4. Simplified 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} \]

   if 5.5999999999999996 < x

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 0.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1} + e^{-x} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 0.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + -1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 0.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) + -1 \cdot x} \]

      2. neg-mul-1 0.2%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(-x\right)} \]

      3. unsub-neg 0.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) - x} \]

      4. +-commutative 0.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot {x}^{2} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)} - x \]

      5. unpow2 0.2%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) - x \]

      6. *-commutative 0.2%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) - x \]

      7. *-commutative 0.2%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.16666666666666666}\right) - x \]

      8. unpow3 0.2%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) - x \]

      9. associate-*l* 0.2%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) - x \]

      10. distribute-lft-out 0.2%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)} - x \]

   5. Simplified 0.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right) - x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip-+ 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}} - x \]

      2. div-inv 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \frac{1}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}\right)} - x \]

      3. metadata-eval 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(\color{blue}{0.25} - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right) \cdot \frac{1}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}\right) - x \]

      4. swap-sqr 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \frac{1}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}\right) - x \]

      5. metadata-eval 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}\right) \cdot \frac{1}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}\right) - x \]

      6. *-commutative 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \frac{1}{0.5 - \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot x}}\right) - x \]

      7. cancel-sign-sub-inv 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \frac{1}{\color{blue}{0.5 + \left(--0.16666666666666666\right) \cdot x}}\right) - x \]

      8. metadata-eval 0.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \frac{1}{0.5 + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot x}\right) - x \]

   7. Applied egg-rr 0.2%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \frac{1}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x}\right)} - x \]

   8. Taylor expanded in x around 0 75.2%

      \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + -0.6666666666666666 \cdot x\right)}\right) - x \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative 75.2%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(2 + \color{blue}{x \cdot -0.6666666666666666}\right)\right) - x \]

   10. Simplified 75.2%

       \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \color{blue}{\left(2 + x \cdot -0.6666666666666666\right)}\right) - x \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification 88.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -1.5:\\ \;\;\;\;\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - x \cdot \left(x \cdot 0.027777777777777776\right)\right)}{0.5 + x \cdot 0.16666666666666666} - x\\ \mathbf{elif}\;x \leq 5.6:\\ \;\;\;\;x \cdot x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right) \cdot \left(2 + x \cdot -0.6666666666666666\right)\right) - x\\ \end{array} \]

Alternative 8: 79.2% accurate, 18.6× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -4.7:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot x}{\frac{-6}{x}} - x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot x\\ \end{array} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (if (<= x -4.7) (- (/ (* x x) (/ -6.0 x)) x) (* x x)))

C

double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -4.7) {
		tmp = ((x * x) / (-6.0 / x)) - x;
	} else {
		tmp = x * x;
	}
	return tmp;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8) :: tmp
    if (x <= (-4.7d0)) then
        tmp = ((x * x) / ((-6.0d0) / x)) - x
    else
        tmp = x * x
    end if
    code = tmp
end function

Java

public static double code(double x) {
	double tmp;
	if (x <= -4.7) {
		tmp = ((x * x) / (-6.0 / x)) - x;
	} else {
		tmp = x * x;
	}
	return tmp;
}

Python

def code(x):
	tmp = 0
	if x <= -4.7:
		tmp = ((x * x) / (-6.0 / x)) - x
	else:
		tmp = x * x
	return tmp

Julia

function code(x)
	tmp = 0.0
	if (x <= -4.7)
		tmp = Float64(Float64(Float64(x * x) / Float64(-6.0 / x)) - x);
	else
		tmp = Float64(x * x);
	end
	return tmp
end

MATLAB

function tmp_2 = code(x)
	tmp = 0.0;
	if (x <= -4.7)
		tmp = ((x * x) / (-6.0 / x)) - x;
	else
		tmp = x * x;
	end
	tmp_2 = tmp;
end

Wolfram

code[x_] := If[LessEqual[x, -4.7], N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] / N[(-6.0 / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - x), $MachinePrecision], N[(x * x), $MachinePrecision]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if x < -4.70000000000000018

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1} + e^{-x} \]

   3. Taylor expanded in x around 0 75.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + \left(0.5 \cdot {x}^{2} + -1 \cdot x\right)} \]
   4. Step-by-step derivation

      1. associate-+r+ 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) + -1 \cdot x} \]

      2. neg-mul-1 75.4%

         \[\leadsto \left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) + \color{blue}{\left(-x\right)} \]

      3. unsub-neg 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {x}^{3} + 0.5 \cdot {x}^{2}\right) - x} \]

      4. +-commutative 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.5 \cdot {x}^{2} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right)} - x \]

      5. unpow2 75.4%

         \[\leadsto \left(0.5 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) - x \]

      6. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5} + -0.16666666666666666 \cdot {x}^{3}\right) - x \]

      7. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.16666666666666666}\right) - x \]

      8. unpow3 75.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot -0.16666666666666666\right) - x \]

      9. associate-*l* 75.4%

         \[\leadsto \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.5 + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) - x \]

      10. distribute-lft-out 75.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right)} - x \]

   5. Simplified 75.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 + x \cdot -0.16666666666666666\right) - x} \]
   6. Step-by-step derivation

      1. flip-+ 75.4%

         \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\frac{0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}} - x \]

      2. associate-*r/ 81.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.5 \cdot 0.5 - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666}} - x \]

      3. metadata-eval 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(\color{blue}{0.25} - \left(x \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left(x \cdot -0.16666666666666666\right)\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666} - x \]

      4. swap-sqr 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666} - x \]

      5. metadata-eval 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{0.027777777777777776}\right)}{0.5 - x \cdot -0.16666666666666666} - x \]

      6. *-commutative 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right)}{0.5 - \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot x}} - x \]

      7. cancel-sign-sub-inv 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right)}{\color{blue}{0.5 + \left(--0.16666666666666666\right) \cdot x}} - x \]

      8. metadata-eval 81.0%

         \[\leadsto \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right)}{0.5 + \color{blue}{0.16666666666666666} \cdot x} - x \]

   7. Applied egg-rr 81.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776\right)}{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x}} - x \]
   8. Step-by-step derivation

      1. associate-/l* 75.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{0.5 + 0.16666666666666666 \cdot x}{0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776}}} - x \]

      2. *-commutative 75.4%

         \[\leadsto \frac{x \cdot x}{\frac{0.5 + \color{blue}{x \cdot 0.16666666666666666}}{0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776}} - x \]

   9. Simplified 75.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x \cdot x}{\frac{0.5 + x \cdot 0.16666666666666666}{0.25 - \left(x \cdot x\right) \cdot 0.027777777777777776}}} - x \]

   10. Taylor expanded in x around inf 75.4%

       \[\leadsto \frac{x \cdot x}{\color{blue}{\frac{-6}{x}}} - x \]

   if -4.70000000000000018 < x

   1. Initial program 72.3%

      \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 79.1%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2}} \]
   3. Step-by-step derivation

      1. unpow2 79.1%

         \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} \]

   4. Simplified 79.1%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 78.2%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -4.7:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot x}{\frac{-6}{x}} - x\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;x \cdot x\\ \end{array} \]

Alternative 9: 75.4% accurate, 68.7× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot x \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x x))

C

double code(double x) {
	return x * x;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * x
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * x;
}

Python

def code(x):
	return x * x

Julia

function code(x)
	return Float64(x * x)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * x;
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * x), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 79.3%

   \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 74.8%

   \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 74.8%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} \]

4. Simplified 74.8%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot x} \]

5. Final simplification 74.8%

   \[\leadsto x \cdot x \]

Alternative 10: 26.2% accurate, 206.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 0.0)

C

double code(double x) {
	return 0.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.0;
}

Python

def code(x):
	return 0.0

Julia

function code(x)
	return 0.0
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.0;
end

Wolfram

code[x_] := 0.0

Derivation

1. Initial program 79.3%

   \[\left(e^{x} - 2\right) + e^{-x} \]

3. Applied egg-rr 27.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0} \]

4. Final simplification 27.1%

   \[\leadsto 0 \]

Developer target: 100.0% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 4 \cdot {\sinh \left(\frac{x}{2}\right)}^{2} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 4.0 (pow (sinh (/ x 2.0)) 2.0)))

C

double code(double x) {
	return 4.0 * pow(sinh((x / 2.0)), 2.0);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 4.0d0 * (sinh((x / 2.0d0)) ** 2.0d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 4.0 * Math.pow(Math.sinh((x / 2.0)), 2.0);
}

Python

def code(x):
	return 4.0 * math.pow(math.sinh((x / 2.0)), 2.0)

Julia

function code(x)
	return Float64(4.0 * (sinh(Float64(x / 2.0)) ^ 2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 4.0 * (sinh((x / 2.0)) ^ 2.0);
end

Wolfram

code[x_] := N[(4.0 * N[Power[N[Sinh[N[(x / 2.0), $MachinePrecision]], $MachinePrecision], 2.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023172 
(FPCore (x)
  :name "exp2 (problem 3.3.7)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* 4.0 (pow (sinh (/ x 2.0)) 2.0))

  (+ (- (exp x) 2.0) (exp (- x))))