ENA, Section 1.4, Exercise 4a

Percentage Accurate: 53.7% → 99.5%

Time: 19.1s

Alternatives: 5

Speedup: 41.0×

Specification

\[-1 \leq x \land x \leq 1\]

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Initial Program: 53.7% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \frac{x - \sin x}{\tan x} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- x (sin x)) (tan x)))

C

double code(double x) {
	return (x - sin(x)) / tan(x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x - sin(x)) / tan(x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x - Math.sin(x)) / Math.tan(x);
}

Python

def code(x):
	return (x - math.sin(x)) / math.tan(x)

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x - sin(x)) / tan(x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x - sin(x)) / tan(x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x - N[Sin[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Alternative 1: 99.5% accurate, 1.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+
  (* (* x x) 0.16666666666666666)
  (+
   (* -0.0007275132275132275 (pow x 6.0))
   (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)))))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((-0.0007275132275132275 * pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * x) * 0.16666666666666666d0) + (((-0.0007275132275132275d0) * (x ** 6.0d0)) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((-0.0007275132275132275 * Math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)));
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((-0.0007275132275132275 * math.pow(x, 6.0)) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666) + Float64(Float64(-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0))))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) * 0.16666666666666666) + ((-0.0007275132275132275 * (x ^ 6.0)) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(N[(-0.0007275132275132275 * N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right)} \]
3. Step-by-step derivation

   1. pow2 99.1%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   2. add-cbrt-cube 72.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

4. Applied egg-rr 72.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right) \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. add-cbrt-cube 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

   2. *-commutative 99.1%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

6. Applied egg-rr 99.1%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

7. Final simplification 99.1%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + \left(-0.0007275132275132275 \cdot {x}^{6} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}\right) \]

Alternative 2: 99.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* (* x x) 0.16666666666666666) (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0))))

C

double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((x * x) * 0.16666666666666666d0) + ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0));
}

Python

def code(x):
	return ((x * x) * 0.16666666666666666) + (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666) + Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = ((x * x) * 0.16666666666666666) + (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision] + N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around inf 53.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos x \cdot x}{\sin x} + -1 \cdot \cos x} \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 53.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \cos x}}{\sin x} + -1 \cdot \cos x \]

   2. associate-*l/ 53.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\sin x} \cdot \cos x} + -1 \cdot \cos x \]

   3. distribute-rgt-out 53.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} + -1\right)} \]

4. Simplified 53.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} + -1\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   2. fma-def 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}\right) \]

   4. unpow2 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) \]

   5. associate-*l* 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   2. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

   3. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

9. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

10. Final simplification 99.0%

    \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} \]

Alternative 3: 99.4% accurate, 1.9× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (+ (* -0.06388888888888888 (pow x 4.0)) (* x (* x 0.16666666666666666))))

C

double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = ((-0.06388888888888888d0) * (x ** 4.0d0)) + (x * (x * 0.16666666666666666d0))
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (-0.06388888888888888 * Math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
}

Python

def code(x):
	return (-0.06388888888888888 * math.pow(x, 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666))

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666)))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (-0.06388888888888888 * (x ^ 4.0)) + (x * (x * 0.16666666666666666));
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(-0.06388888888888888 * N[Power[x, 4.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around inf 53.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{\cos x \cdot x}{\sin x} + -1 \cdot \cos x} \]
3. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 53.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \cos x}}{\sin x} + -1 \cdot \cos x \]

   2. associate-*l/ 53.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\frac{x}{\sin x} \cdot \cos x} + -1 \cdot \cos x \]

   3. distribute-rgt-out 53.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} + -1\right)} \]

4. Simplified 53.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\cos x \cdot \left(\frac{x}{\sin x} + -1\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2} + -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. +-commutative 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]

   2. fma-def 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, 0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}\right)} \]

   3. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666}\right) \]

   4. unpow2 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666\right) \]

   5. associate-*l* 99.0%

      \[\leadsto \mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)}\right) \]

7. Simplified 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(-0.06388888888888888, {x}^{4}, x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)\right)} \]
8. Step-by-step derivation

   1. fma-udef 99.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

   2. associate-*r* 99.0%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666} \]

   3. *-commutative 99.0%

      \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

9. Applied egg-rr 99.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

10. Taylor expanded in x around 0 99.0%

    \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
11. Step-by-step derivation

    1. *-commutative 98.5%

       \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

    2. unpow2 98.5%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

    3. associate-*l* 98.5%

       \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

12. Simplified 99.0%

    \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

13. Final simplification 99.0%

    \[\leadsto -0.06388888888888888 \cdot {x}^{4} + x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Alternative 4: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* (* x x) 0.16666666666666666))

C

double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * x) * 0.16666666666666666d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (x * x) * 0.16666666666666666;
}

Python

def code(x):
	return (x * x) * 0.16666666666666666

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(x * x) * 0.16666666666666666)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (x * x) * 0.16666666666666666;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(x * x), $MachinePrecision] * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.5%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto \left(x \cdot x\right) \cdot 0.16666666666666666 \]

Alternative 5: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* x (* x 0.16666666666666666)))

C

double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = x * (x * 0.16666666666666666d0)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return x * (x * 0.16666666666666666);
}

Python

def code(x):
	return x * (x * 0.16666666666666666)

Julia

function code(x)
	return Float64(x * Float64(x * 0.16666666666666666))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = x * (x * 0.16666666666666666);
end

Wolfram

code[x_] := N[(x * N[(x * 0.16666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 53.0%

   \[\frac{x - \sin x}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
3. Step-by-step derivation

   1. unpow2 98.5%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \]

4. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right)} \]

5. Taylor expanded in x around 0 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot {x}^{2}} \]
6. Step-by-step derivation

   1. *-commutative 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{{x}^{2} \cdot 0.16666666666666666} \]

   2. unpow2 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(x \cdot x\right)} \cdot 0.16666666666666666 \]

   3. associate-*l* 98.5%

      \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

7. Simplified 98.5%

   \[\leadsto \color{blue}{x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right)} \]

8. Final simplification 98.5%

   \[\leadsto x \cdot \left(x \cdot 0.16666666666666666\right) \]

Developer target: 98.7% accurate, 41.0× speedup

Math

\[\begin{array}{l} \\ 0.16666666666666666 \cdot \left(x \cdot x\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (* 0.16666666666666666 (* x x)))

C

double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = 0.16666666666666666d0 * (x * x)
end function

Java

public static double code(double x) {
	return 0.16666666666666666 * (x * x);
}

Python

def code(x):
	return 0.16666666666666666 * (x * x)

Julia

function code(x)
	return Float64(0.16666666666666666 * Float64(x * x))
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = 0.16666666666666666 * (x * x);
end

Wolfram

code[x_] := N[(0.16666666666666666 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Reproduce

herbie shell --seed 2023171 
(FPCore (x)
  :name "ENA, Section 1.4, Exercise 4a"
  :precision binary64
  :pre (and (<= -1.0 x) (<= x 1.0))

  :herbie-target
  (* 0.16666666666666666 (* x x))

  (/ (- x (sin x)) (tan x)))