Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm from diagrams-solve-0.1, D

Percentage Accurate: 97.9% → 99.5%

Time: 10.0s

Precision: binary64

Cost: 26560

• Unsound rule application detected in e-graph. Results may not be sound.

Math

\[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]

↓

\[\begin{array}{l} [y, z] = \mathsf{sort}([y, z])\\ \\ e^{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \log \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\sqrt{t}}{z \cdot \frac{y}{x}}\right)\right)\right)} \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))

↓

NOTE: y and z should be sorted in increasing order before calling this function.
(FPCore (x y z t)
 :precision binary64
 (exp
  (*
   0.3333333333333333
   (*
    3.0
    (log
     (*
      0.3333333333333333
      (acos (* 0.05555555555555555 (/ (sqrt t) (* z (/ y x)))))))))))

C

double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
}

↓

assert(y < z);
double code(double x, double y, double z, double t) {
	return exp((0.3333333333333333 * (3.0 * log((0.3333333333333333 * acos((0.05555555555555555 * (sqrt(t) / (z * (y / x))))))))));
}

Fortran

real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = (1.0d0 / 3.0d0) * acos((((3.0d0 * (x / (y * 27.0d0))) / (z * 2.0d0)) * sqrt(t)))
end function

↓

NOTE: y and z should be sorted in increasing order before calling this function.
real(8) function code(x, y, z, t)
    real(8), intent (in) :: x
    real(8), intent (in) :: y
    real(8), intent (in) :: z
    real(8), intent (in) :: t
    code = exp((0.3333333333333333d0 * (3.0d0 * log((0.3333333333333333d0 * acos((0.05555555555555555d0 * (sqrt(t) / (z * (y / x))))))))))
end function

Java

public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return (1.0 / 3.0) * Math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * Math.sqrt(t)));
}

↓

assert y < z;
public static double code(double x, double y, double z, double t) {
	return Math.exp((0.3333333333333333 * (3.0 * Math.log((0.3333333333333333 * Math.acos((0.05555555555555555 * (Math.sqrt(t) / (z * (y / x))))))))));
}

Python

def code(x, y, z, t):
	return (1.0 / 3.0) * math.acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * math.sqrt(t)))

↓

[y, z] = sort([y, z])
def code(x, y, z, t):
	return math.exp((0.3333333333333333 * (3.0 * math.log((0.3333333333333333 * math.acos((0.05555555555555555 * (math.sqrt(t) / (z * (y / x))))))))))

Julia

function code(x, y, z, t)
	return Float64(Float64(1.0 / 3.0) * acos(Float64(Float64(Float64(3.0 * Float64(x / Float64(y * 27.0))) / Float64(z * 2.0)) * sqrt(t))))
end

↓

y, z = sort([y, z])
function code(x, y, z, t)
	return exp(Float64(0.3333333333333333 * Float64(3.0 * log(Float64(0.3333333333333333 * acos(Float64(0.05555555555555555 * Float64(sqrt(t) / Float64(z * Float64(y / x))))))))))
end

MATLAB

function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = (1.0 / 3.0) * acos((((3.0 * (x / (y * 27.0))) / (z * 2.0)) * sqrt(t)));
end

↓

y, z = num2cell(sort([y, z])){:}
function tmp = code(x, y, z, t)
	tmp = exp((0.3333333333333333 * (3.0 * log((0.3333333333333333 * acos((0.05555555555555555 * (sqrt(t) / (z * (y / x))))))))));
end

Wolfram

code[x_, y_, z_, t_] := N[(N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision] * N[ArcCos[N[(N[(N[(3.0 * N[(x / N[(y * 27.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / N[(z * 2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[Sqrt[t], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

NOTE: y and z should be sorted in increasing order before calling this function.
code[x_, y_, z_, t_] := N[Exp[N[(0.3333333333333333 * N[(3.0 * N[Log[N[(0.3333333333333333 * N[ArcCos[N[(0.05555555555555555 * N[(N[Sqrt[t], $MachinePrecision] / N[(z * N[(y / x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

Target

Original	97.9%
Target	98.2%
Herbie	99.5%

\[\frac{\cos^{-1} \left(\frac{\frac{x}{27}}{y \cdot z} \cdot \frac{\sqrt{t}}{\frac{2}{3}}\right)}{3} \]

Derivation

1. Initial program 98.1%

   \[\frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]

2. Simplified 98.1%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 98.1%	\[ \frac{1}{3} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   metadata-eval [=>] 98.1%	\[ \color{blue}{0.3333333333333333} \cdot \cos^{-1} \left(\frac{3 \cdot \frac{x}{y \cdot 27}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   associate-*r/ [=>] 98.1%	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{3 \cdot x}{y \cdot 27}}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   *-commutative [=>] 98.1%	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\frac{3 \cdot x}{\color{blue}{27 \cdot y}}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   times-frac [=>] 98.1%	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\color{blue}{\frac{3}{27} \cdot \frac{x}{y}}}{z \cdot 2} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   *-commutative [=>] 98.1%	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\frac{\frac{3}{27} \cdot \frac{x}{y}}{\color{blue}{2 \cdot z}} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   times-frac [=>] 98.1%	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\color{blue}{\left(\frac{\frac{3}{27}}{2} \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right)} \cdot \sqrt{t}\right) \]
   metadata-eval [=>] 98.1%	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\frac{\color{blue}{0.1111111111111111}}{2} \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right) \]
   metadata-eval [=>] 98.1%	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(\color{blue}{0.05555555555555555} \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right) \]

3. Applied egg-rr 99.6%

   \[\leadsto \color{blue}{e^{\left(3 \cdot \log \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\sqrt{t}}{z \cdot \frac{y}{x}}\right)\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 98.1%	\[ 0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right) \]
   add-cbrt-cube [=>] 98.1%	\[ \color{blue}{\sqrt[3]{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right)}} \]
   pow1/3 [=>] 98.1%	\[ \color{blue}{{\left(\left(\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)}^{0.3333333333333333}} \]
   add-exp-log [=>] 98.1%	\[ {\color{blue}{\left(e^{\log \left(\left(\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right)}\right)}}^{0.3333333333333333} \]
   pow-exp [=>] 98.1%	\[ \color{blue}{e^{\log \left(\left(\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right) \cdot \sqrt{t}\right)\right)\right) \cdot 0.3333333333333333}} \]

4. Final simplification 99.6%

   \[\leadsto e^{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \log \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\sqrt{t}}{z \cdot \frac{y}{x}}\right)\right)\right)} \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.5%
Cost	26560

\[e^{0.3333333333333333 \cdot \left(3 \cdot \log \left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\sqrt{t}}{z \cdot \frac{y}{x}}\right)\right)\right)} \]

Alternative 2
Accuracy	99.4%
Cost	26432

\[e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\sqrt{t}}{z \cdot \frac{y}{x}}\right)\right)} + -1 \]

Alternative 3
Accuracy	98.0%
Cost	26368

\[{\left(\sqrt{0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\sqrt{t}}{z \cdot \frac{y}{x}}\right)}\right)}^{2} \]

Alternative 4
Accuracy	97.9%
Cost	13504

\[0.3333333333333333 \cdot \cos^{-1} \left(\sqrt{t} \cdot \left(0.05555555555555555 \cdot \frac{\frac{x}{y}}{z}\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023167 
(FPCore (x y z t)
  :name "Diagrams.Solve.Polynomial:cubForm  from diagrams-solve-0.1, D"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (/ (acos (* (/ (/ x 27.0) (* y z)) (/ (sqrt t) (/ 2.0 3.0)))) 3.0)

  (* (/ 1.0 3.0) (acos (* (/ (* 3.0 (/ x (* y 27.0))) (* z 2.0)) (sqrt t)))))