math.cos on complex, imaginary part

Percentage Accurate: 66.7% → 99.4%
Time: 9.0s
Alternatives: 14
Speedup: 308.0×

Specification

?
\[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

Your Program's Arguments

Results

Enter valid numbers for all inputs

Local Percentage Accuracy vs ?

The average percentage accuracy by input value. Horizontal axis shows value of an input variable; the variable is choosen in the title. Vertical axis is accuracy; higher is better. Red represent the original program, while blue represents Herbie's suggestion. These can be toggled with buttons below the plot. The line is an average while dots represent individual samples.

Accuracy vs Speed?

Herbie found 14 alternatives:

AlternativeAccuracySpeedup
The accuracy (vertical axis) and speed (horizontal axis) of each alternatives. Up and to the right is better. The red square shows the initial program, and each blue circle shows an alternative.The line shows the best available speed-accuracy tradeoffs.

Alternative 1: 99.4% accurate, 0.4× speedup?

\[\begin{array}{l} t_0 := e^{-im} - e^{im}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -\infty \lor \neg \left(t_0 \leq 10^{-7}\right):\\ \;\;\;\;t_0 \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\\ \end{array} \]
Derivation
  1. Split input into 2 regimes

  2. if (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < -inf.0 or 9.9999999999999995e-8 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im))

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    if -inf.0 < (-.f64 (exp.f64 (neg.f64 im)) (exp.f64 im)) < 9.9999999999999995e-8

    1. Initial program 32.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg99.8%

        \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} \]

      2. unsub-neg99.8%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im} \]

      3. *-commutative99.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - \sin re \cdot im \]

      4. associate-*l*99.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - \sin re \cdot im \]

      5. distribute-lft-out--99.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

    4. Simplified99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification99.9%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{-im} - e^{im} \leq -\infty \lor \neg \left(e^{-im} - e^{im} \leq 10^{-7}\right):\\ \;\;\;\;\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot \left(0.5 \cdot \sin re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\\ \end{array} \]

Alternative 2: 94.1% accurate, 1.4× speedup?

\[\begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)\\ t_1 := \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq -1.85 \cdot 10^{+143}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \mathbf{elif}\;im \leq -0.0215:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 0.0115:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.3 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_1\\ \end{array} \]
Derivation
  1. Split input into 3 regimes

  2. if im < -1.8500000000000001e143 or 1.30000000000000003e102 < im

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg98.8%

        \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} \]

      2. unsub-neg98.8%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im} \]

      3. *-commutative98.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - \sin re \cdot im \]

      4. associate-*l*98.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - \sin re \cdot im \]

      5. distribute-lft-out--98.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

    4. Simplified98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

    5. Taylor expanded in im around inf 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)} \]
    6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative98.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} \]

      2. associate-*l*98.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

      3. *-commutative98.8%

        \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]

    7. Simplified98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]

    if -1.8500000000000001e143 < im < -0.021499999999999998 or 0.0115 < im < 1.30000000000000003e102

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in re around 0 85.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)} \]

    if -0.021499999999999998 < im < 0.0115

    1. Initial program 32.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg99.7%

        \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative99.7%

        \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-rgt-neg-in99.7%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    4. Simplified99.7%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification96.8%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.85 \cdot 10^{+143}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -0.0215:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 0.0115:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.3 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]

Alternative 3: 94.4% accurate, 1.4× speedup?

\[\begin{array}{l} t_0 := 0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)\\ t_1 := {im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\\ t_2 := \sin re \cdot t_1\\ \mathbf{if}\;im \leq -1.85 \cdot 10^{+143}:\\ \;\;\;\;t_2\\ \mathbf{elif}\;im \leq -0.155:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 0.058:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left(t_1 - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.3 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_2\\ \end{array} \]
Derivation
  1. Split input into 3 regimes

  2. if im < -1.8500000000000001e143 or 1.30000000000000003e102 < im

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg98.8%

        \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} \]

      2. unsub-neg98.8%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im} \]

      3. *-commutative98.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - \sin re \cdot im \]

      4. associate-*l*98.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - \sin re \cdot im \]

      5. distribute-lft-out--98.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

    4. Simplified98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

    5. Taylor expanded in im around inf 98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)} \]
    6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative98.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} \]

      2. associate-*l*98.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

      3. *-commutative98.8%

        \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]

    7. Simplified98.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]

    if -1.8500000000000001e143 < im < -0.154999999999999999 or 0.0580000000000000029 < im < 1.30000000000000003e102

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in re around 0 85.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)} \]

    if -0.154999999999999999 < im < 0.0580000000000000029

    1. Initial program 32.4%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg99.8%

        \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} \]

      2. unsub-neg99.8%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im} \]

      3. *-commutative99.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - \sin re \cdot im \]

      4. associate-*l*99.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - \sin re \cdot im \]

      5. distribute-lft-out--99.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

    4. Simplified99.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification96.8%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1.85 \cdot 10^{+143}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -0.155:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 0.058:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.3 \cdot 10^{+102}:\\ \;\;\;\;0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]

Alternative 4: 85.2% accurate, 1.4× speedup?

\[\begin{array}{l} t_0 := \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq -3 \cdot 10^{+95}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq -640:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left|im \cdot {re}^{3}\right|\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.2 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.4 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]
Derivation
  1. Split input into 4 regimes

  2. if im < -2.99999999999999991e95 or 6.40000000000000032e97 < im

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg93.5%

        \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} \]

      2. unsub-neg93.5%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im} \]

      3. *-commutative93.5%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - \sin re \cdot im \]

      4. associate-*l*93.5%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - \sin re \cdot im \]

      5. distribute-lft-out--93.5%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

    4. Simplified93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

    5. Taylor expanded in im around inf 93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)} \]
    6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative93.5%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} \]

      2. associate-*l*93.5%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

      3. *-commutative93.5%

        \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]

    7. Simplified93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]

    if -2.99999999999999991e95 < im < -640

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg3.2%

        \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative3.2%

        \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-rgt-neg-in3.2%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    4. Simplified3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    5. Taylor expanded in re around 0 7.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]

    6. Taylor expanded in re around inf 20.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]
    7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt20.5%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{{re}^{3} \cdot im} \cdot \sqrt{{re}^{3} \cdot im}\right)} \]

      2. sqrt-unprod53.8%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left({re}^{3} \cdot im\right) \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)}} \]

      3. swap-sqr53.9%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left({re}^{3} \cdot {re}^{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}} \]

      4. pow-prod-up53.9%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\color{blue}{{re}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot \left(im \cdot im\right)} \]

      5. metadata-eval53.9%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{{re}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(im \cdot im\right)} \]

    8. Applied egg-rr53.9%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\sqrt{{re}^{6} \cdot \left(im \cdot im\right)}} \]
    9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative53.9%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot {re}^{6}}} \]

      2. metadata-eval53.9%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot {re}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 3\right)}}} \]

      3. pow-sqr53.9%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left({re}^{3} \cdot {re}^{3}\right)}} \]

      4. swap-sqr53.8%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(im \cdot {re}^{3}\right) \cdot \left(im \cdot {re}^{3}\right)}} \]

      5. rem-sqrt-square53.8%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left|im \cdot {re}^{3}\right|} \]

      6. *-commutative53.8%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left|\color{blue}{{re}^{3} \cdot im}\right| \]

    10. Simplified53.8%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left|{re}^{3} \cdot im\right|} \]

    if -640 < im < 1.2e17

    1. Initial program 33.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg97.6%

        \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative97.6%

        \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-rgt-neg-in97.6%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    4. Simplified97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    if 1.2e17 < im < 6.40000000000000032e97

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in re around 0 88.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)} \]

    3. Taylor expanded in im around 0 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)} \]
    4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(re \cdot im\right)} \]

      2. mul-1-neg43.4%

        \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-re \cdot im\right)} \]

      3. unsub-neg43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) - re \cdot im} \]

      4. *-commutative43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - re \cdot im \]

      5. associate-*l*43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - re \cdot im \]

      6. *-commutative43.4%

        \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} - re \cdot im \]

      7. distribute-lft-out--43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

    5. Simplified43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

    6. Taylor expanded in im around inf 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)} \]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification90.1%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -3 \cdot 10^{+95}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -640:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left|im \cdot {re}^{3}\right|\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.2 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.4 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]

Alternative 5: 85.1% accurate, 1.4× speedup?

\[\begin{array}{l} t_0 := \sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq -4.2 \cdot 10^{+95}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq -600:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left|im \cdot {re}^{3}\right|\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.8 \cdot 10^{+21}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.4 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;{\left(im \cdot \sqrt[3]{re \cdot -0.16666666666666666}\right)}^{3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \end{array} \]
Derivation
  1. Split input into 4 regimes

  2. if im < -4.2e95 or 6.40000000000000032e97 < im

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg93.5%

        \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-\sin re \cdot im\right)} \]

      2. unsub-neg93.5%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) - \sin re \cdot im} \]

      3. *-commutative93.5%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - \sin re \cdot im \]

      4. associate-*l*93.5%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - \sin re \cdot im \]

      5. distribute-lft-out--93.5%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

    4. Simplified93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666 - im\right)} \]

    5. Taylor expanded in im around inf 93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(\sin re \cdot {im}^{3}\right)} \]
    6. Step-by-step derivation

      1. *-commutative93.5%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sin re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} \]

      2. associate-*l*93.5%

        \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

      3. *-commutative93.5%

        \[\leadsto \sin re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]

    7. Simplified93.5%

      \[\leadsto \color{blue}{\sin re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} \]

    if -4.2e95 < im < -600

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg3.2%

        \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative3.2%

        \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-rgt-neg-in3.2%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    4. Simplified3.2%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    5. Taylor expanded in re around 0 7.7%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]

    6. Taylor expanded in re around inf 20.5%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]
    7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt20.5%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{{re}^{3} \cdot im} \cdot \sqrt{{re}^{3} \cdot im}\right)} \]

      2. sqrt-unprod53.8%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left({re}^{3} \cdot im\right) \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)}} \]

      3. swap-sqr53.9%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left({re}^{3} \cdot {re}^{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}} \]

      4. pow-prod-up53.9%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\color{blue}{{re}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot \left(im \cdot im\right)} \]

      5. metadata-eval53.9%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{{re}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(im \cdot im\right)} \]

    8. Applied egg-rr53.9%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\sqrt{{re}^{6} \cdot \left(im \cdot im\right)}} \]
    9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative53.9%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot {re}^{6}}} \]

      2. metadata-eval53.9%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot {re}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 3\right)}}} \]

      3. pow-sqr53.9%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left({re}^{3} \cdot {re}^{3}\right)}} \]

      4. swap-sqr53.8%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(im \cdot {re}^{3}\right) \cdot \left(im \cdot {re}^{3}\right)}} \]

      5. rem-sqrt-square53.8%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left|im \cdot {re}^{3}\right|} \]

      6. *-commutative53.8%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left|\color{blue}{{re}^{3} \cdot im}\right| \]

    10. Simplified53.8%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left|{re}^{3} \cdot im\right|} \]

    if -600 < im < 1.8e21

    1. Initial program 33.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg97.6%

        \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative97.6%

        \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-rgt-neg-in97.6%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    4. Simplified97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    if 1.8e21 < im < 6.40000000000000032e97

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in re around 0 88.2%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)} \]

    3. Taylor expanded in im around 0 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)} \]
    4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(re \cdot im\right)} \]

      2. mul-1-neg43.4%

        \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-re \cdot im\right)} \]

      3. unsub-neg43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) - re \cdot im} \]

      4. *-commutative43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - re \cdot im \]

      5. associate-*l*43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - re \cdot im \]

      6. *-commutative43.4%

        \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} - re \cdot im \]

      7. distribute-lft-out--43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

    5. Simplified43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

    6. Taylor expanded in im around inf 43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)} \]
    7. Step-by-step derivation

      1. *-commutative43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} \]

      2. *-commutative43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot re\right)} \cdot -0.16666666666666666 \]

      3. associate-*l*43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{{im}^{3} \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)} \]

    8. Simplified43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{im}^{3} \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)} \]
    9. Step-by-step derivation

      1. add-cube-cbrt43.4%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt[3]{{im}^{3} \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot \sqrt[3]{{im}^{3} \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right) \cdot \sqrt[3]{{im}^{3} \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}} \]

      2. pow343.4%

        \[\leadsto \color{blue}{{\left(\sqrt[3]{{im}^{3} \cdot \left(re \cdot -0.16666666666666666\right)}\right)}^{3}} \]

      3. cbrt-prod43.4%

        \[\leadsto {\color{blue}{\left(\sqrt[3]{{im}^{3}} \cdot \sqrt[3]{re \cdot -0.16666666666666666}\right)}}^{3} \]

      4. rem-cbrt-cube43.4%

        \[\leadsto {\left(\color{blue}{im} \cdot \sqrt[3]{re \cdot -0.16666666666666666}\right)}^{3} \]

    10. Applied egg-rr43.4%

      \[\leadsto \color{blue}{{\left(im \cdot \sqrt[3]{re \cdot -0.16666666666666666}\right)}^{3}} \]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification90.1%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -4.2 \cdot 10^{+95}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -600:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left|im \cdot {re}^{3}\right|\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.8 \cdot 10^{+21}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.4 \cdot 10^{+97}:\\ \;\;\;\;{\left(im \cdot \sqrt[3]{re \cdot -0.16666666666666666}\right)}^{3}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sin re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)\\ \end{array} \]

Alternative 6: 75.0% accurate, 1.5× speedup?

\[\begin{array}{l} t_0 := re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq -6.8 \cdot 10^{+83}:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq -620:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left|im \cdot {re}^{3}\right|\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.8 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.5 \cdot 10^{+100} \lor \neg \left(im \leq 3.3 \cdot 10^{+155}\right):\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} - re\right)\\ \end{array} \]
Derivation
  1. Split input into 4 regimes

  2. if im < -6.7999999999999996e83 or 1.8e17 < im < 6.50000000000000001e100 or 3.2999999999999999e155 < im

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in re around 0 73.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)} \]

    3. Taylor expanded in im around 0 61.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)} \]
    4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative61.1%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(re \cdot im\right)} \]

      2. mul-1-neg61.1%

        \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-re \cdot im\right)} \]

      3. unsub-neg61.1%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) - re \cdot im} \]

      4. *-commutative61.1%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - re \cdot im \]

      5. associate-*l*61.1%

        \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - re \cdot im \]

      6. *-commutative61.1%

        \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} - re \cdot im \]

      7. distribute-lft-out--61.1%

        \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

    5. Simplified61.1%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]
    6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt29.8%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} \cdot \sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}}} - im\right) \]

      2. sqrt-unprod48.4%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      3. swap-sqr48.4%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      4. metadata-eval48.4%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)} - im\right) \]

      5. pow-prod-up48.4%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{0.027777777777777776 \cdot \color{blue}{{im}^{\left(3 + 3\right)}}} - im\right) \]

      6. metadata-eval48.4%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {im}^{\color{blue}{6}}} - im\right) \]

    7. Applied egg-rr48.4%

      \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {im}^{6}}} - im\right) \]
    8. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval48.4%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{6}} - im\right) \]

      2. metadata-eval48.4%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 3\right)}}} - im\right) \]

      3. pow-sqr48.4%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      4. swap-sqr48.4%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      5. sqrt-unprod29.8%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} \cdot \sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}}} - im\right) \]

      6. add-sqr-sqrt61.1%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} - im\right) \]

      7. unpow361.1%

        \[\leadsto re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right)} - im\right) \]

      8. associate-*r*61.1%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im} - im\right) \]

    9. Applied egg-rr61.1%

      \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im} - im\right) \]

    if -6.7999999999999996e83 < im < -620

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 3.1%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg3.1%

        \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative3.1%

        \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-rgt-neg-in3.1%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    4. Simplified3.1%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    5. Taylor expanded in re around 0 8.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]

    6. Taylor expanded in re around inf 23.6%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]
    7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt23.6%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{{re}^{3} \cdot im} \cdot \sqrt{{re}^{3} \cdot im}\right)} \]

      2. sqrt-unprod54.4%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\sqrt{\left({re}^{3} \cdot im\right) \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)}} \]

      3. swap-sqr54.4%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left({re}^{3} \cdot {re}^{3}\right) \cdot \left(im \cdot im\right)}} \]

      4. pow-prod-up54.4%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\color{blue}{{re}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot \left(im \cdot im\right)} \]

      5. metadata-eval54.4%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{{re}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(im \cdot im\right)} \]

    8. Applied egg-rr54.4%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\sqrt{{re}^{6} \cdot \left(im \cdot im\right)}} \]
    9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative54.4%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(im \cdot im\right) \cdot {re}^{6}}} \]

      2. metadata-eval54.4%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot {re}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 3\right)}}} \]

      3. pow-sqr54.4%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\left(im \cdot im\right) \cdot \color{blue}{\left({re}^{3} \cdot {re}^{3}\right)}} \]

      4. swap-sqr54.4%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \sqrt{\color{blue}{\left(im \cdot {re}^{3}\right) \cdot \left(im \cdot {re}^{3}\right)}} \]

      5. rem-sqrt-square54.4%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left|im \cdot {re}^{3}\right|} \]

      6. *-commutative54.4%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left|\color{blue}{{re}^{3} \cdot im}\right| \]

    10. Simplified54.4%

      \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left|{re}^{3} \cdot im\right|} \]

    if -620 < im < 1.8e17

    1. Initial program 33.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg97.6%

        \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative97.6%

        \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-rgt-neg-in97.6%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    4. Simplified97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    if 6.50000000000000001e100 < im < 3.2999999999999999e155

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 4.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg4.0%

        \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative4.0%

        \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-rgt-neg-in4.0%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    4. Simplified4.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    5. Taylor expanded in re around 0 17.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]
    6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative17.8%

        \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right) + -1 \cdot \left(re \cdot im\right)} \]

      2. mul-1-neg17.8%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right) + \color{blue}{\left(-re \cdot im\right)} \]

      3. unsub-neg17.8%

        \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right) - re \cdot im} \]

      4. associate-*r*17.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im} - re \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out--67.8%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} - re\right)} \]

    7. Simplified67.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} - re\right)} \]
  3. Recombined 4 regimes into one program.

  4. Final simplification81.1%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -6.8 \cdot 10^{+83}:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq -620:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left|im \cdot {re}^{3}\right|\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.8 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.5 \cdot 10^{+100} \lor \neg \left(im \leq 3.3 \cdot 10^{+155}\right):\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} - re\right)\\ \end{array} \]

Alternative 7: 74.4% accurate, 2.6× speedup?

\[\begin{array}{l} t_0 := re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq -1450:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.1 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.5 \cdot 10^{+101} \lor \neg \left(im \leq 4.2 \cdot 10^{+155}\right):\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} - re\right)\\ \end{array} \]
Derivation
  1. Split input into 3 regimes

  2. if im < -1450 or 1.1e22 < im < 6.50000000000000016e101 or 4.2e155 < im

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in re around 0 74.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)} \]

    3. Taylor expanded in im around 0 54.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)} \]
    4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative54.8%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(re \cdot im\right)} \]

      2. mul-1-neg54.8%

        \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-re \cdot im\right)} \]

      3. unsub-neg54.8%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) - re \cdot im} \]

      4. *-commutative54.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - re \cdot im \]

      5. associate-*l*54.8%

        \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - re \cdot im \]

      6. *-commutative54.8%

        \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} - re \cdot im \]

      7. distribute-lft-out--54.8%

        \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

    5. Simplified54.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]
    6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt27.4%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} \cdot \sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}}} - im\right) \]

      2. sqrt-unprod45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      3. swap-sqr45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      4. metadata-eval45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)} - im\right) \]

      5. pow-prod-up45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{0.027777777777777776 \cdot \color{blue}{{im}^{\left(3 + 3\right)}}} - im\right) \]

      6. metadata-eval45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {im}^{\color{blue}{6}}} - im\right) \]

    7. Applied egg-rr45.5%

      \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {im}^{6}}} - im\right) \]
    8. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{6}} - im\right) \]

      2. metadata-eval45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 3\right)}}} - im\right) \]

      3. pow-sqr45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      4. swap-sqr45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      5. sqrt-unprod27.4%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} \cdot \sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}}} - im\right) \]

      6. add-sqr-sqrt54.8%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} - im\right) \]

      7. unpow354.8%

        \[\leadsto re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right)} - im\right) \]

      8. associate-*r*54.8%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im} - im\right) \]

    9. Applied egg-rr54.8%

      \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im} - im\right) \]

    if -1450 < im < 1.1e22

    1. Initial program 33.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg97.6%

        \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative97.6%

        \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-rgt-neg-in97.6%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    4. Simplified97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    if 6.50000000000000016e101 < im < 4.2e155

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 4.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg4.0%

        \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative4.0%

        \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-rgt-neg-in4.0%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    4. Simplified4.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    5. Taylor expanded in re around 0 17.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]
    6. Step-by-step derivation

      1. +-commutative17.8%

        \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right) + -1 \cdot \left(re \cdot im\right)} \]

      2. mul-1-neg17.8%

        \[\leadsto 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right) + \color{blue}{\left(-re \cdot im\right)} \]

      3. unsub-neg17.8%

        \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right) - re \cdot im} \]

      4. associate-*r*17.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3}\right) \cdot im} - re \cdot im \]

      5. distribute-rgt-out--67.8%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} - re\right)} \]

    7. Simplified67.8%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} - re\right)} \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification78.8%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -1450:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 1.1 \cdot 10^{+22}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 6.5 \cdot 10^{+101} \lor \neg \left(im \leq 4.2 \cdot 10^{+155}\right):\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(0.16666666666666666 \cdot {re}^{3} - re\right)\\ \end{array} \]

Alternative 8: 74.4% accurate, 2.7× speedup?

\[\begin{array}{l} t_0 := re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right)\\ \mathbf{if}\;im \leq -640:\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+102} \lor \neg \left(im \leq 3.3 \cdot 10^{+155}\right):\\ \;\;\;\;t_0\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{3}\right)\\ \end{array} \]
Derivation
  1. Split input into 3 regimes

  2. if im < -640 or 2.5e17 < im < 9.99999999999999977e101 or 3.2999999999999999e155 < im

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in re around 0 74.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)} \]

    3. Taylor expanded in im around 0 54.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)} \]
    4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative54.8%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(re \cdot im\right)} \]

      2. mul-1-neg54.8%

        \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-re \cdot im\right)} \]

      3. unsub-neg54.8%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) - re \cdot im} \]

      4. *-commutative54.8%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - re \cdot im \]

      5. associate-*l*54.8%

        \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - re \cdot im \]

      6. *-commutative54.8%

        \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} - re \cdot im \]

      7. distribute-lft-out--54.8%

        \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

    5. Simplified54.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]
    6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt27.4%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} \cdot \sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}}} - im\right) \]

      2. sqrt-unprod45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      3. swap-sqr45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      4. metadata-eval45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)} - im\right) \]

      5. pow-prod-up45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{0.027777777777777776 \cdot \color{blue}{{im}^{\left(3 + 3\right)}}} - im\right) \]

      6. metadata-eval45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {im}^{\color{blue}{6}}} - im\right) \]

    7. Applied egg-rr45.5%

      \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {im}^{6}}} - im\right) \]
    8. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{6}} - im\right) \]

      2. metadata-eval45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 3\right)}}} - im\right) \]

      3. pow-sqr45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      4. swap-sqr45.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      5. sqrt-unprod27.4%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} \cdot \sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}}} - im\right) \]

      6. add-sqr-sqrt54.8%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} - im\right) \]

      7. unpow354.8%

        \[\leadsto re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right)} - im\right) \]

      8. associate-*r*54.8%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im} - im\right) \]

    9. Applied egg-rr54.8%

      \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im} - im\right) \]

    if -640 < im < 2.5e17

    1. Initial program 33.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg97.6%

        \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative97.6%

        \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-rgt-neg-in97.6%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    4. Simplified97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    if 9.99999999999999977e101 < im < 3.2999999999999999e155

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 4.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg4.0%

        \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative4.0%

        \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-rgt-neg-in4.0%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    4. Simplified4.0%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    5. Taylor expanded in re around 0 17.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + 0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]

    6. Taylor expanded in re around inf 67.0%

      \[\leadsto \color{blue}{0.16666666666666666 \cdot \left({re}^{3} \cdot im\right)} \]
  3. Recombined 3 regimes into one program.

  4. Final simplification78.8%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -640:\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 2.5 \cdot 10^{+17}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \mathbf{elif}\;im \leq 10^{+102} \lor \neg \left(im \leq 3.3 \cdot 10^{+155}\right):\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot {re}^{3}\right)\\ \end{array} \]

Alternative 9: 76.8% accurate, 2.8× speedup?

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -430 \lor \neg \left(im \leq 1.1 \cdot 10^{+18}\right):\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \end{array} \]
Derivation
  1. Split input into 2 regimes

  2. if im < -430 or 1.1e18 < im

    1. Initial program 100.0%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in re around 0 69.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)} \]

    3. Taylor expanded in im around 0 52.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)} \]
    4. Step-by-step derivation

      1. +-commutative52.6%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(re \cdot im\right)} \]

      2. mul-1-neg52.6%

        \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-re \cdot im\right)} \]

      3. unsub-neg52.6%

        \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) - re \cdot im} \]

      4. *-commutative52.6%

        \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - re \cdot im \]

      5. associate-*l*52.6%

        \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - re \cdot im \]

      6. *-commutative52.6%

        \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} - re \cdot im \]

      7. distribute-lft-out--52.6%

        \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

    5. Simplified52.6%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]
    6. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt24.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} \cdot \sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}}} - im\right) \]

      2. sqrt-unprod47.7%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      3. swap-sqr47.7%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      4. metadata-eval47.7%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)} - im\right) \]

      5. pow-prod-up47.7%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{0.027777777777777776 \cdot \color{blue}{{im}^{\left(3 + 3\right)}}} - im\right) \]

      6. metadata-eval47.7%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {im}^{\color{blue}{6}}} - im\right) \]

    7. Applied egg-rr47.7%

      \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {im}^{6}}} - im\right) \]
    8. Step-by-step derivation

      1. metadata-eval47.7%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{6}} - im\right) \]

      2. metadata-eval47.7%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 3\right)}}} - im\right) \]

      3. pow-sqr47.7%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      4. swap-sqr47.7%

        \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

      5. sqrt-unprod24.5%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} \cdot \sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}}} - im\right) \]

      6. add-sqr-sqrt52.6%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} - im\right) \]

      7. unpow352.6%

        \[\leadsto re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right)} - im\right) \]

      8. associate-*r*52.6%

        \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im} - im\right) \]

    9. Applied egg-rr52.6%

      \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im} - im\right) \]

    if -430 < im < 1.1e18

    1. Initial program 33.9%

      \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

    2. Taylor expanded in im around 0 97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(\sin re \cdot im\right)} \]
    3. Step-by-step derivation

      1. mul-1-neg97.6%

        \[\leadsto \color{blue}{-\sin re \cdot im} \]

      2. *-commutative97.6%

        \[\leadsto -\color{blue}{im \cdot \sin re} \]

      3. distribute-rgt-neg-in97.6%

        \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]

    4. Simplified97.6%

      \[\leadsto \color{blue}{im \cdot \left(-\sin re\right)} \]
  3. Recombined 2 regimes into one program.

  4. Final simplification77.2%

    \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;im \leq -430 \lor \neg \left(im \leq 1.1 \cdot 10^{+18}\right):\\ \;\;\;\;re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;im \cdot \left(-\sin re\right)\\ \end{array} \]

Alternative 10: 53.5% accurate, 28.0× speedup?

\[re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right) \]
Derivation

  1. Initial program 63.8%

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in re around 0 49.1%

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)} \]

  3. Taylor expanded in im around 0 48.8%

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right) + -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right)} \]
  4. Step-by-step derivation

    1. +-commutative48.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + -1 \cdot \left(re \cdot im\right)} \]

    2. mul-1-neg48.8%

      \[\leadsto -0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) + \color{blue}{\left(-re \cdot im\right)} \]

    3. unsub-neg48.8%

      \[\leadsto \color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot \left(re \cdot {im}^{3}\right) - re \cdot im} \]

    4. *-commutative48.8%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(re \cdot {im}^{3}\right) \cdot -0.16666666666666666} - re \cdot im \]

    5. associate-*l*48.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left({im}^{3} \cdot -0.16666666666666666\right)} - re \cdot im \]

    6. *-commutative48.8%

      \[\leadsto re \cdot \color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)} - re \cdot im \]

    7. distribute-lft-out--48.8%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]

  5. Simplified48.8%

    \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3} - im\right)} \]
  6. Step-by-step derivation

    1. add-sqr-sqrt33.6%

      \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} \cdot \sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}}} - im\right) \]

    2. sqrt-unprod46.9%

      \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

    3. swap-sqr46.9%

      \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

    4. metadata-eval46.9%

      \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{0.027777777777777776} \cdot \left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)} - im\right) \]

    5. pow-prod-up46.9%

      \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{0.027777777777777776 \cdot \color{blue}{{im}^{\left(3 + 3\right)}}} - im\right) \]

    6. metadata-eval46.9%

      \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {im}^{\color{blue}{6}}} - im\right) \]

  7. Applied egg-rr46.9%

    \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{0.027777777777777776 \cdot {im}^{6}}} - im\right) \]
  8. Step-by-step derivation

    1. metadata-eval46.9%

      \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right)} \cdot {im}^{6}} - im\right) \]

    2. metadata-eval46.9%

      \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot {im}^{\color{blue}{\left(2 \cdot 3\right)}}} - im\right) \]

    3. pow-sqr46.9%

      \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\left(-0.16666666666666666 \cdot -0.16666666666666666\right) \cdot \color{blue}{\left({im}^{3} \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

    4. swap-sqr46.9%

      \[\leadsto re \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right) \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}\right)}} - im\right) \]

    5. sqrt-unprod33.6%

      \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} \cdot \sqrt{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}}} - im\right) \]

    6. add-sqr-sqrt48.8%

      \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{-0.16666666666666666 \cdot {im}^{3}} - im\right) \]

    7. unpow348.8%

      \[\leadsto re \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(im \cdot im\right) \cdot im\right)} - im\right) \]

    8. associate-*r*48.8%

      \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im} - im\right) \]

  9. Applied egg-rr48.8%

    \[\leadsto re \cdot \left(\color{blue}{\left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) \cdot im} - im\right) \]

  10. Final simplification48.8%

    \[\leadsto re \cdot \left(im \cdot \left(-0.16666666666666666 \cdot \left(im \cdot im\right)\right) - im\right) \]

Alternative 11: 33.4% accurate, 77.0× speedup?

\[\left(-im\right) \cdot re \]
Derivation

  1. Initial program 63.8%

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in re around 0 49.1%

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)} \]

  3. Taylor expanded in im around 0 33.0%

    \[\leadsto \color{blue}{-1 \cdot \left(re \cdot im\right)} \]
  4. Step-by-step derivation

    1. mul-1-neg33.0%

      \[\leadsto \color{blue}{-re \cdot im} \]

    2. distribute-rgt-neg-in33.0%

      \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-im\right)} \]

  5. Simplified33.0%

    \[\leadsto \color{blue}{re \cdot \left(-im\right)} \]

  6. Final simplification33.0%

    \[\leadsto \left(-im\right) \cdot re \]

Alternative 12: 2.7% accurate, 308.0× speedup?

\[-3 \]
Derivation

  1. Initial program 63.8%

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in re around 0 49.1%

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)} \]

  4. Applied egg-rr2.8%

    \[\leadsto \color{blue}{-3} \]

  5. Final simplification2.8%

    \[\leadsto -3 \]

Alternative 13: 2.7% accurate, 308.0× speedup?

\[-9.92290301275212 \cdot 10^{-8} \]
Derivation

  1. Initial program 63.8%

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in re around 0 49.1%

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)} \]

  4. Applied egg-rr2.9%

    \[\leadsto \color{blue}{-9.92290301275212 \cdot 10^{-8}} \]

  5. Final simplification2.9%

    \[\leadsto -9.92290301275212 \cdot 10^{-8} \]

Alternative 14: 15.1% accurate, 308.0× speedup?

\[0 \]
Derivation

  1. Initial program 63.8%

    \[\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right) \]

  2. Taylor expanded in re around 0 49.1%

    \[\leadsto \color{blue}{0.5 \cdot \left(\left(e^{-im} - e^{im}\right) \cdot re\right)} \]

  4. Applied egg-rr17.3%

    \[\leadsto \color{blue}{0} \]

  5. Final simplification17.3%

    \[\leadsto 0 \]

Developer target: 99.7% accurate, 0.8× speedup?

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|im\right| < 1:\\ \;\;\;\;-\sin re \cdot \left(\left(im + \left(\left(0.16666666666666666 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) + \left(\left(\left(\left(0.008333333333333333 \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right) \cdot im\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\left(0.5 \cdot \sin re\right) \cdot \left(e^{-im} - e^{im}\right)\\ \end{array} \]

Reproduce

?
herbie shell --seed 2023167 
(FPCore (re im)
  :name "math.cos on complex, imaginary part"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (if (< (fabs im) 1.0) (- (* (sin re) (+ (+ im (* (* (* 0.16666666666666666 im) im) im)) (* (* (* (* (* 0.008333333333333333 im) im) im) im) im)))) (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))

  (* (* 0.5 (sin re)) (- (exp (- im)) (exp im))))