Octave 3.8, oct_fill_randg

1. Initial program 99.4%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. sub-neg99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. *-commutative99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   5. sub-neg99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   6. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   7. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/99.5%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}\right) \]

   2. *-un-lft-identity99.5%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}\right) \]

   3. sqrt-prod99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \sqrt{9}}}\right) \]

   4. associate-/r*99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{rand}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}{\sqrt{9}}}\right) \]

   5. metadata-eval99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}{\color{blue}{3}}\right) \]

5. Applied egg-rr99.8%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{rand}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}{3}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. clear-num99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}{rand}}}}{3}\right) \]

   2. associate-/r/99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}} \cdot rand}}{3}\right) \]

   3. pow1/299.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{\color{blue}{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{0.5}}} \cdot rand}{3}\right) \]

   4. pow-flip99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{\left(-0.5\right)}} \cdot rand}{3}\right) \]

   5. metadata-eval99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{\color{blue}{-0.5}} \cdot rand}{3}\right) \]

7. Applied egg-rr99.9%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{-0.5} \cdot rand}}{3}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{-0.5} \cdot rand}{3} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)} \]

   2. *-un-lft-identity99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right)} + \frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{-0.5} \cdot rand}{3} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right) \]

   3. associate-/l*99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{\frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{-0.5}}{\frac{3}{rand}}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right) \]

9. Applied egg-rr99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{-0.5}}{\frac{3}{rand}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-*l/99.8%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{\frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{-0.5} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}{\frac{3}{rand}}} \]

    2. pow-plus99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{\color{blue}{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{\left(-0.5 + 1\right)}}}{\frac{3}{rand}} \]

    3. metadata-eval99.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{\color{blue}{0.5}}}{\frac{3}{rand}} \]

    4. unpow1/299.9%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{\color{blue}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}{\frac{3}{rand}} \]

11. Simplified99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}{\frac{3}{rand}}} \]

12. Final simplification99.9%

    \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}{\frac{3}{rand}} \]

1. Split input into 2 regimes

2. if rand < -1.06e71 or 1.18000000000000005e101 < rand

   1. Initial program 98.3%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg98.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval98.3%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval98.3%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative98.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg98.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval98.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval98.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around inf 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)} \]

   if -1.06e71 < rand < 1.18000000000000005e101

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around 0 96.9%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification96.6%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.06 \cdot 10^{+71} \lor \neg \left(rand \leq 1.18 \cdot 10^{+101}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]

1. Split input into 2 regimes

2. if rand < -1.1e72 or 1.18000000000000005e101 < rand

   1. Initial program 98.3%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg98.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval98.3%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval98.3%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative98.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg98.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval98.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval98.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around inf 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. associate-*r*96.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right) \cdot rand} \]

      2. sub-neg96.2%

         \[\leadsto \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}\right) \cdot rand \]

      3. metadata-eval96.2%

         \[\leadsto \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}\right) \cdot rand \]

      4. +-commutative96.2%

         \[\leadsto \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}\right) \cdot rand \]

   6. Simplified96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right) \cdot rand} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. expm1-log1p-u92.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)\right)} \cdot rand \]

      2. expm1-udef92.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)} - 1\right)} \cdot rand \]

      3. add-sqr-sqrt92.9%

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}} \cdot \sqrt{0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}}}\right)} - 1\right) \cdot rand \]

      4. sqrt-unprod92.9%

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\color{blue}{\sqrt{\left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}}\right)} - 1\right) \cdot rand \]

      5. *-commutative92.9%

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot 0.3333333333333333\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}\right)} - 1\right) \cdot rand \]

      6. +-commutative92.9%

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}\right)}\right)} - 1\right) \cdot rand \]

      7. *-commutative92.9%

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot 0.3333333333333333\right)}}\right)} - 1\right) \cdot rand \]

      8. +-commutative92.9%

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot 0.3333333333333333\right)}\right)} - 1\right) \cdot rand \]

      9. swap-sqr92.9%

         \[\leadsto \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}}\right)} - 1\right) \cdot rand \]

      10. add-sqr-sqrt92.9%

          \[\leadsto \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right)} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right)}\right)} - 1\right) \cdot rand \]

      11. metadata-eval92.9%

          \[\leadsto \left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{0.1111111111111111}}\right)} - 1\right) \cdot rand \]

   8. Applied egg-rr92.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(e^{\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 0.1111111111111111}\right)} - 1\right)} \cdot rand \]
   9. Step-by-step derivation

      1. expm1-def92.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 0.1111111111111111}\right)\right)} \cdot rand \]

      2. expm1-log1p96.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 0.1111111111111111}} \cdot rand \]

      3. *-commutative96.4%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.1111111111111111 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}} \cdot rand \]

      4. +-commutative96.4%

         \[\leadsto \sqrt{0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(-0.3333333333333333 + a\right)}} \cdot rand \]

      5. distribute-rgt-in96.4%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 \cdot 0.1111111111111111 + a \cdot 0.1111111111111111}} \cdot rand \]

      6. metadata-eval96.4%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-0.037037037037037035} + a \cdot 0.1111111111111111} \cdot rand \]

   10. Simplified96.4%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-0.037037037037037035 + a \cdot 0.1111111111111111}} \cdot rand \]

   if -1.1e72 < rand < 1.18000000000000005e101

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around 0 96.9%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification96.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.1 \cdot 10^{+72} \lor \neg \left(rand \leq 1.18 \cdot 10^{+101}\right):\\ \;\;\;\;rand \cdot \sqrt{-0.037037037037037035 + a \cdot 0.1111111111111111}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]

1. Split input into 3 regimes

2. if rand < -1.99999999999999991e68

   1. Initial program 97.2%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg97.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval97.2%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval97.2%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative97.2%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg97.2%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval97.2%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval97.2%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around inf 94.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative94.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333} \]

      2. sub-neg94.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333 \]

      3. metadata-eval94.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333 \]

      4. associate-*l*95.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

      5. +-commutative95.0%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right) \]

      6. *-commutative95.0%

         \[\leadsto \sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} \]

   6. Simplified95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} \]

   if -1.99999999999999991e68 < rand < 1.3999999999999999e100

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around 0 96.9%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]

   if 1.3999999999999999e100 < rand

   1. Initial program 99.4%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval99.4%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval99.4%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around inf 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification96.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2 \cdot 10^{+68}:\\ \;\;\;\;\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 1.4 \cdot 10^{+100}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}\right)\\ \end{array} \]

1. Initial program 99.4%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. remove-double-neg99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(-\left(-\left(a - \frac{1}{3}\right)\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. remove-double-neg99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. sub-neg99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   5. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   6. remove-double-neg99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\left(-\left(-\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right)\right)}\right) \]

   7. remove-double-neg99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand}\right) \]

   8. associate-*l/99.5%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   9. *-lft-identity99.5%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}}\right) \]

   10. sub-neg99.5%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)}}}\right) \]

   11. distribute-lft-in99.5%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}}}\right) \]

   12. metadata-eval99.5%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)}}\right) \]

   13. metadata-eval99.5%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + 9 \cdot \color{blue}{-0.3333333333333333}}}\right) \]

   14. metadata-eval99.5%

       \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + \color{blue}{-3}}}\right) \]

3. Simplified99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{9 \cdot a + -3}}\right)} \]

4. Taylor expanded in a around inf 98.5%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{9 \cdot a}}}\right) \]
5. Step-by-step derivation

   1. *-commutative98.5%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9}}}\right) \]

6. Simplified98.5%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{\color{blue}{a \cdot 9}}}\right) \]

7. Final simplification98.5%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9}}\right) \]

1. Initial program 99.4%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. sub-neg99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. *-commutative99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   5. sub-neg99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   6. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   7. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
4. Step-by-step derivation

   1. associate-*l/99.5%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{1 \cdot rand}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}}\right) \]

   2. *-un-lft-identity99.5%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{rand}}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}}\right) \]

   3. sqrt-prod99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\color{blue}{\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \sqrt{9}}}\right) \]

   4. associate-/r*99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{rand}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}{\sqrt{9}}}\right) \]

   5. metadata-eval99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{rand}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}{\color{blue}{3}}\right) \]

5. Applied egg-rr99.8%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \color{blue}{\frac{\frac{rand}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}{3}}\right) \]
6. Step-by-step derivation

   1. clear-num99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{\frac{1}{\frac{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}{rand}}}}{3}\right) \]

   2. associate-/r/99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{\frac{1}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}} \cdot rand}}{3}\right) \]

   3. pow1/299.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\frac{1}{\color{blue}{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{0.5}}} \cdot rand}{3}\right) \]

   4. pow-flip99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{\left(-0.5\right)}} \cdot rand}{3}\right) \]

   5. metadata-eval99.9%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{\color{blue}{-0.5}} \cdot rand}{3}\right) \]

7. Applied egg-rr99.9%

   \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{\color{blue}{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{-0.5} \cdot rand}}{3}\right) \]
8. Step-by-step derivation

   1. distribute-rgt-in99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{1 \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{-0.5} \cdot rand}{3} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)} \]

   2. *-un-lft-identity99.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right)} + \frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{-0.5} \cdot rand}{3} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right) \]

   3. associate-/l*99.8%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) + \color{blue}{\frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{-0.5}}{\frac{3}{rand}}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right) \]

9. Applied egg-rr99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) + \frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{-0.5}}{\frac{3}{rand}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)} \]
10. Step-by-step derivation

    1. associate-+l+99.8%

       \[\leadsto \color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333 + \frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{-0.5}}{\frac{3}{rand}} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)\right)} \]

    2. associate-*l/99.8%

       \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{-0.5} \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}{\frac{3}{rand}}}\right) \]

    3. pow-plus99.9%

       \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + \frac{\color{blue}{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{\left(-0.5 + 1\right)}}}{\frac{3}{rand}}\right) \]

    4. metadata-eval99.9%

       \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + \frac{{\left(a + -0.3333333333333333\right)}^{\color{blue}{0.5}}}{\frac{3}{rand}}\right) \]

    5. unpow1/299.9%

       \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + \frac{\color{blue}{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}}{\frac{3}{rand}}\right) \]

    6. associate-/r/99.9%

       \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + \color{blue}{\frac{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}{3} \cdot rand}\right) \]

11. Simplified99.9%

    \[\leadsto \color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333 + \frac{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}{3} \cdot rand\right)} \]

12. Final simplification99.9%

    \[\leadsto a + \left(-0.3333333333333333 + rand \cdot \frac{\sqrt{a + -0.3333333333333333}}{3}\right) \]

1. Split input into 2 regimes

2. if rand < -2.30000000000000017e69 or 1.3999999999999999e100 < rand

   1. Initial program 98.3%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg98.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval98.3%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval98.3%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative98.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg98.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval98.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval98.3%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified98.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around inf 96.1%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative96.1%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333} \]

      2. sub-neg96.1%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333 \]

      3. metadata-eval96.1%

         \[\leadsto \left(\sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333 \]

      4. associate-*l*96.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

      5. +-commutative96.2%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right) \]

      6. *-commutative96.2%

         \[\leadsto \sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} \]

   6. Simplified96.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt49.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)}} \]

      2. sqrt-unprod22.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right) \cdot \left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)}} \]

      3. +-commutative22.3%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right) \cdot \left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)} \]

      4. +-commutative22.3%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)} \]

      5. swap-sqr22.3%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)}} \]

      6. add-sqr-sqrt22.3%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right)} \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)} \]

      7. swap-sqr22.3%

         \[\leadsto \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(rand \cdot rand\right)\right)}} \]

      8. metadata-eval22.3%

         \[\leadsto \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(rand \cdot rand\right)\right)} \]

   8. Applied egg-rr22.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(0.1111111111111111 \cdot \left(rand \cdot rand\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative22.3%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.1111111111111111 \cdot \left(rand \cdot rand\right)\right) \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}} \]

      2. associate-*l*22.3%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.1111111111111111 \cdot \left(\left(rand \cdot rand\right) \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)\right)}} \]

      3. associate-*l*22.3%

         \[\leadsto \sqrt{0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(rand \cdot \left(rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)\right)\right)}} \]

   10. Simplified22.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.1111111111111111 \cdot \left(rand \cdot \left(rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in a around inf 22.3%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.1111111111111111 \cdot \left(a \cdot {rand}^{2}\right)}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative22.3%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(a \cdot {rand}^{2}\right) \cdot 0.1111111111111111}} \]

       2. associate-*l*22.3%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{a \cdot \left({rand}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right)}} \]

       3. unpow222.3%

          \[\leadsto \sqrt{a \cdot \left(\color{blue}{\left(rand \cdot rand\right)} \cdot 0.1111111111111111\right)} \]

   13. Simplified22.3%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{a \cdot \left(\left(rand \cdot rand\right) \cdot 0.1111111111111111\right)}} \]

   14. Taylor expanded in rand around 0 93.3%

       \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a} \cdot rand\right)} \]

   if -2.30000000000000017e69 < rand < 1.3999999999999999e100

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around 0 96.9%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]
3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification95.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2.3 \cdot 10^{+69} \lor \neg \left(rand \leq 1.4 \cdot 10^{+100}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]

1. Split input into 3 regimes

2. if rand < -4.40000000000000001e70

   1. Initial program 97.2%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg97.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval97.2%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval97.2%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative97.2%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg97.2%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval97.2%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval97.2%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified97.2%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around inf 94.8%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative94.8%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333} \]

      2. sub-neg94.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333 \]

      3. metadata-eval94.8%

         \[\leadsto \left(\sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333 \]

      4. associate-*l*95.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

      5. +-commutative95.0%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right) \]

      6. *-commutative95.0%

         \[\leadsto \sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} \]

   6. Simplified95.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt0.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)}} \]

      2. sqrt-unprod0.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right) \cdot \left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)}} \]

      3. +-commutative0.3%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right) \cdot \left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)} \]

      4. +-commutative0.3%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)} \]

      5. swap-sqr0.3%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)}} \]

      6. add-sqr-sqrt0.3%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right)} \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)} \]

      7. swap-sqr0.3%

         \[\leadsto \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(rand \cdot rand\right)\right)}} \]

      8. metadata-eval0.3%

         \[\leadsto \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(rand \cdot rand\right)\right)} \]

   8. Applied egg-rr0.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(0.1111111111111111 \cdot \left(rand \cdot rand\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative0.3%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.1111111111111111 \cdot \left(rand \cdot rand\right)\right) \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}} \]

      2. associate-*l*0.3%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.1111111111111111 \cdot \left(\left(rand \cdot rand\right) \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)\right)}} \]

      3. associate-*l*0.3%

         \[\leadsto \sqrt{0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(rand \cdot \left(rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)\right)\right)}} \]

   10. Simplified0.3%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.1111111111111111 \cdot \left(rand \cdot \left(rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in a around inf 0.3%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.1111111111111111 \cdot \left(a \cdot {rand}^{2}\right)}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative0.3%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(a \cdot {rand}^{2}\right) \cdot 0.1111111111111111}} \]

       2. associate-*l*0.3%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{a \cdot \left({rand}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right)}} \]

       3. unpow20.3%

          \[\leadsto \sqrt{a \cdot \left(\color{blue}{\left(rand \cdot rand\right)} \cdot 0.1111111111111111\right)} \]

   13. Simplified0.3%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{a \cdot \left(\left(rand \cdot rand\right) \cdot 0.1111111111111111\right)}} \]
   14. Step-by-step derivation

       1. *-commutative0.3%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\left(rand \cdot rand\right) \cdot 0.1111111111111111\right) \cdot a}} \]

       2. sqrt-prod0.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(rand \cdot rand\right) \cdot 0.1111111111111111} \cdot \sqrt{a}} \]

       3. sqrt-prod0.4%

          \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{rand \cdot rand} \cdot \sqrt{0.1111111111111111}\right)} \cdot \sqrt{a} \]

       4. sqrt-prod0.0%

          \[\leadsto \left(\color{blue}{\left(\sqrt{rand} \cdot \sqrt{rand}\right)} \cdot \sqrt{0.1111111111111111}\right) \cdot \sqrt{a} \]

       5. add-sqr-sqrt91.1%

          \[\leadsto \left(\color{blue}{rand} \cdot \sqrt{0.1111111111111111}\right) \cdot \sqrt{a} \]

       6. metadata-eval91.1%

          \[\leadsto \left(rand \cdot \color{blue}{0.3333333333333333}\right) \cdot \sqrt{a} \]

   15. Applied egg-rr91.1%

       \[\leadsto \color{blue}{\left(rand \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sqrt{a}} \]

   if -4.40000000000000001e70 < rand < 7e103

   1. Initial program 100.0%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg100.0%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval100.0%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified100.0%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around 0 96.9%

      \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]

   if 7e103 < rand

   1. Initial program 99.4%

      \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   2. Step-by-step derivation

      1. sub-neg99.4%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      2. metadata-eval99.4%

         \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      3. metadata-eval99.4%

         \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

      4. *-commutative99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

      5. sub-neg99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      6. metadata-eval99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

      7. metadata-eval99.4%

         \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   3. Simplified99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

   4. Taylor expanded in rand around inf 97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)} \]
   5. Step-by-step derivation

      1. *-commutative97.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333} \]

      2. sub-neg97.3%

         \[\leadsto \left(\sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333 \]

      3. metadata-eval97.3%

         \[\leadsto \left(\sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}} \cdot rand\right) \cdot 0.3333333333333333 \]

      4. associate-*l*97.3%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right)} \]

      5. +-commutative97.3%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}} \cdot \left(rand \cdot 0.3333333333333333\right) \]

      6. *-commutative97.3%

         \[\leadsto \sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} \]

   6. Simplified97.3%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} \]
   7. Step-by-step derivation

      1. add-sqr-sqrt97.2%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)} \cdot \sqrt{\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)}} \]

      2. sqrt-unprod43.9%

         \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right) \cdot \left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)}} \]

      3. +-commutative43.9%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right) \cdot \left(\sqrt{-0.3333333333333333 + a} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)} \]

      4. +-commutative43.9%

         \[\leadsto \sqrt{\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right) \cdot \left(\sqrt{\color{blue}{a + -0.3333333333333333}} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)} \]

      5. swap-sqr43.9%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)}} \]

      6. add-sqr-sqrt43.9%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right)} \cdot \left(\left(0.3333333333333333 \cdot rand\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\right)} \]

      7. swap-sqr43.9%

         \[\leadsto \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(rand \cdot rand\right)\right)}} \]

      8. metadata-eval43.9%

         \[\leadsto \sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(rand \cdot rand\right)\right)} \]

   8. Applied egg-rr43.9%

      \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(0.1111111111111111 \cdot \left(rand \cdot rand\right)\right)}} \]
   9. Step-by-step derivation

      1. *-commutative43.9%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(0.1111111111111111 \cdot \left(rand \cdot rand\right)\right) \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)}} \]

      2. associate-*l*43.9%

         \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.1111111111111111 \cdot \left(\left(rand \cdot rand\right) \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)\right)}} \]

      3. associate-*l*43.9%

         \[\leadsto \sqrt{0.1111111111111111 \cdot \color{blue}{\left(rand \cdot \left(rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)\right)\right)}} \]

   10. Simplified43.9%

       \[\leadsto \color{blue}{\sqrt{0.1111111111111111 \cdot \left(rand \cdot \left(rand \cdot \left(a + -0.3333333333333333\right)\right)\right)}} \]

   11. Taylor expanded in a around inf 43.9%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{0.1111111111111111 \cdot \left(a \cdot {rand}^{2}\right)}} \]
   12. Step-by-step derivation

       1. *-commutative43.9%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{\left(a \cdot {rand}^{2}\right) \cdot 0.1111111111111111}} \]

       2. associate-*l*43.9%

          \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{a \cdot \left({rand}^{2} \cdot 0.1111111111111111\right)}} \]

       3. unpow243.9%

          \[\leadsto \sqrt{a \cdot \left(\color{blue}{\left(rand \cdot rand\right)} \cdot 0.1111111111111111\right)} \]

   13. Simplified43.9%

       \[\leadsto \sqrt{\color{blue}{a \cdot \left(\left(rand \cdot rand\right) \cdot 0.1111111111111111\right)}} \]

   14. Taylor expanded in rand around 0 95.7%

       \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a} \cdot rand\right)} \]
3. Recombined 3 regimes into one program.

4. Final simplification95.7%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -4.4 \cdot 10^{+70}:\\ \;\;\;\;\left(rand \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \sqrt{a}\\ \mathbf{elif}\;rand \leq 7 \cdot 10^{+103}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(rand \cdot \sqrt{a}\right)\\ \end{array} \]

1. Initial program 99.4%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. sub-neg99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. *-commutative99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   5. sub-neg99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   6. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   7. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

4. Taylor expanded in rand around 0 66.2%

   \[\leadsto \color{blue}{a - 0.3333333333333333} \]

5. Final simplification66.2%

   \[\leadsto a - 0.3333333333333333 \]

1. Initial program 99.4%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
2. Step-by-step derivation

   1. sub-neg99.4%

      \[\leadsto \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   2. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   3. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

   4. *-commutative99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]

   5. sub-neg99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   6. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

   7. metadata-eval99.4%

      \[\leadsto \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Simplified99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]

4. Taylor expanded in a around inf 64.2%

   \[\leadsto \color{blue}{a} \]

5. Final simplification64.2%

   \[\leadsto a \]

herbie shell --seed 2023166 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))