logq (problem 3.4.3)

Percentage Accurate: 8.4% → 99.6%

Time: 4.7s

Precision: binary64

Cost: 704

Math

\[\log \left(\frac{1 - \varepsilon}{1 + \varepsilon}\right) \]

↓

\[\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.6666666666666666\right)\right) + \varepsilon \cdot -2 \]

FPCore

(FPCore (eps) :precision binary64 (log (/ (- 1.0 eps) (+ 1.0 eps))))

↓

(FPCore (eps)
 :precision binary64
 (+ (* eps (* eps (* eps -0.6666666666666666))) (* eps -2.0)))

C

double code(double eps) {
	return log(((1.0 - eps) / (1.0 + eps)));
}

↓

double code(double eps) {
	return (eps * (eps * (eps * -0.6666666666666666))) + (eps * -2.0);
}

Fortran

real(8) function code(eps)
    real(8), intent (in) :: eps
    code = log(((1.0d0 - eps) / (1.0d0 + eps)))
end function

↓

real(8) function code(eps)
    real(8), intent (in) :: eps
    code = (eps * (eps * (eps * (-0.6666666666666666d0)))) + (eps * (-2.0d0))
end function

Java

public static double code(double eps) {
	return Math.log(((1.0 - eps) / (1.0 + eps)));
}

↓

public static double code(double eps) {
	return (eps * (eps * (eps * -0.6666666666666666))) + (eps * -2.0);
}

Python

def code(eps):
	return math.log(((1.0 - eps) / (1.0 + eps)))

↓

def code(eps):
	return (eps * (eps * (eps * -0.6666666666666666))) + (eps * -2.0)

Julia

function code(eps)
	return log(Float64(Float64(1.0 - eps) / Float64(1.0 + eps)))
end

↓

function code(eps)
	return Float64(Float64(eps * Float64(eps * Float64(eps * -0.6666666666666666))) + Float64(eps * -2.0))
end

MATLAB

function tmp = code(eps)
	tmp = log(((1.0 - eps) / (1.0 + eps)));
end

↓

function tmp = code(eps)
	tmp = (eps * (eps * (eps * -0.6666666666666666))) + (eps * -2.0);
end

Wolfram

code[eps_] := N[Log[N[(N[(1.0 - eps), $MachinePrecision] / N[(1.0 + eps), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]

↓

code[eps_] := N[(N[(eps * N[(eps * N[(eps * -0.6666666666666666), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] + N[(eps * -2.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Target

Original	8.4%
Target	99.7%
Herbie	99.6%

\[-2 \cdot \left(\left(\varepsilon + \frac{{\varepsilon}^{3}}{3}\right) + \frac{{\varepsilon}^{5}}{5}\right) \]

Derivation

1. Initial program 6.9%

   \[\log \left(\frac{1 - \varepsilon}{1 + \varepsilon}\right) \]

2. Taylor expanded in eps around 0 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{-2 \cdot \varepsilon + -0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{3}} \]

3. Simplified 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \varepsilon \cdot -0.6666666666666666, -2\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 100.0%	\[ -2 \cdot \varepsilon + -0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{3} \]
   +-commutative [=>] 100.0%	\[ \color{blue}{-0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{3} + -2 \cdot \varepsilon} \]
   unpow3 [=>] 100.0%	\[ -0.6666666666666666 \cdot \color{blue}{\left(\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right) \cdot \varepsilon\right)} + -2 \cdot \varepsilon \]
   unpow2 [<=] 100.0%	\[ -0.6666666666666666 \cdot \left(\color{blue}{{\varepsilon}^{2}} \cdot \varepsilon\right) + -2 \cdot \varepsilon \]
   associate-*r* [=>] 100.0%	\[ \color{blue}{\left(-0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2}\right) \cdot \varepsilon} + -2 \cdot \varepsilon \]
   distribute-rgt-out [=>] 100.0%	\[ \color{blue}{\varepsilon \cdot \left(-0.6666666666666666 \cdot {\varepsilon}^{2} + -2\right)} \]
   *-commutative [<=] 100.0%	\[ \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{{\varepsilon}^{2} \cdot -0.6666666666666666} + -2\right) \]
   unpow2 [=>] 100.0%	\[ \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \varepsilon\right)} \cdot -0.6666666666666666 + -2\right) \]
   associate-*l* [=>] 100.0%	\[ \varepsilon \cdot \left(\color{blue}{\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.6666666666666666\right)} + -2\right) \]
   fma-def [=>] 100.0%	\[ \varepsilon \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\varepsilon, \varepsilon \cdot -0.6666666666666666, -2\right)} \]

4. Applied egg-rr 100.0%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.6666666666666666\right)\right) \cdot \varepsilon + -2 \cdot \varepsilon} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 100.0%	\[ \varepsilon \cdot \mathsf{fma}\left(\varepsilon, \varepsilon \cdot -0.6666666666666666, -2\right) \]
   fma-udef [=>] 100.0%	\[ \varepsilon \cdot \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.6666666666666666\right) + -2\right)} \]
   distribute-rgt-in [=>] 100.0%	\[ \color{blue}{\left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.6666666666666666\right)\right) \cdot \varepsilon + -2 \cdot \varepsilon} \]

5. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.6666666666666666\right)\right) + \varepsilon \cdot -2 \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.6%
Cost	704

\[\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot \left(\varepsilon \cdot -0.6666666666666666\right)\right) + \varepsilon \cdot -2 \]

Alternative 2
Accuracy	99.1%
Cost	192

\[\varepsilon \cdot -2 \]

Alternative 3
Accuracy	5.4%
Cost	64

\[0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023165 
(FPCore (eps)
  :name "logq (problem 3.4.3)"
  :precision binary64

  :herbie-target
  (* -2.0 (+ (+ eps (/ (pow eps 3.0) 3.0)) (/ (pow eps 5.0) 5.0)))

  (log (/ (- 1.0 eps) (+ 1.0 eps))))