Hyperbolic sine

Percentage Accurate: 53.4% → 99.5%

Time: 7.6s

Precision: binary64

Cost: 59273

• Unsound rule application detected in e-graph. Results may not be sound.

• 48.7% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Math

\[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -\infty \lor \neg \left(t_0 \leq 4 \cdot 10^{-14}\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \left(x + x\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (- (exp x) (exp (- x)))))
   (if (or (<= t_0 (- INFINITY)) (not (<= t_0 4e-14)))
     (/ t_0 2.0)
     (/
      (fma
       0.0003968253968253968
       (pow x 7.0)
       (fma
        0.3333333333333333
        (pow x 3.0)
        (+ (+ x x) (* 0.016666666666666666 (pow x 5.0)))))
      2.0))))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

↓

double code(double x) {
	double t_0 = exp(x) - exp(-x);
	double tmp;
	if ((t_0 <= -((double) INFINITY)) || !(t_0 <= 4e-14)) {
		tmp = t_0 / 2.0;
	} else {
		tmp = fma(0.0003968253968253968, pow(x, 7.0), fma(0.3333333333333333, pow(x, 3.0), ((x + x) + (0.016666666666666666 * pow(x, 5.0))))) / 2.0;
	}
	return tmp;
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

↓

function code(x)
	t_0 = Float64(exp(x) - exp(Float64(-x)))
	tmp = 0.0
	if ((t_0 <= Float64(-Inf)) || !(t_0 <= 4e-14))
		tmp = Float64(t_0 / 2.0);
	else
		tmp = Float64(fma(0.0003968253968253968, (x ^ 7.0), fma(0.3333333333333333, (x ^ 3.0), Float64(Float64(x + x) + Float64(0.016666666666666666 * (x ^ 5.0))))) / 2.0);
	end
	return tmp
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, If[Or[LessEqual[t$95$0, (-Infinity)], N[Not[LessEqual[t$95$0, 4e-14]], $MachinePrecision]], N[(t$95$0 / 2.0), $MachinePrecision], N[(N[(0.0003968253968253968 * N[Power[x, 7.0], $MachinePrecision] + N[(0.3333333333333333 * N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] + N[(N[(x + x), $MachinePrecision] + N[(0.016666666666666666 * N[Power[x, 5.0], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]]]

Derivation

1. Split input into 2 regimes

2. if (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < -inf.0 or 4e-14 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x)))

   1. Initial program 100.0%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   if -inf.0 < (-.f64 (exp.f64 x) (exp.f64 (neg.f64 x))) < 4e-14

   1. Initial program 7.4%

      \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

   2. Taylor expanded in x around 0 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}}{2} \]

   3. Simplified 100.0%

      \[\leadsto \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, 2 \cdot x\right)\right)\right)}}{2} \]
      Step-by-step derivation

      [Start] 100.0	\[ \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2} \]
      +-commutative [=>] 100.0	\[ \frac{2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \color{blue}{\left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}\right)}{2} \]
      associate-+r+ [=>] 100.0	\[ \frac{2 \cdot x + \color{blue}{\left(\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right) + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)}}{2} \]
      associate-+r+ [=>] 100.0	\[ \frac{\color{blue}{\left(2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right) + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}}}{2} \]
      +-commutative [=>] 100.0	\[ \frac{\color{blue}{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + \left(2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}}{2} \]
      fma-def [=>] 100.0	\[ \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, 2 \cdot x + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}}{2} \]
      +-commutative [=>] 100.0	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right) + 2 \cdot x}\right)}{2} \]
      associate-+l+ [=>] 100.0	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 2 \cdot x\right)}\right)}{2} \]
      fma-def [=>] 100.0	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 2 \cdot x\right)}\right)}{2} \]
      fma-def [=>] 100.0	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, 2 \cdot x\right)}\right)\right)}{2} \]

   4. Applied egg-rr 100.0%

      \[\leadsto \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{\left(x + x\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}\right)\right)}{2} \]
      Step-by-step derivation

      [Start] 100.0	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \mathsf{fma}\left(0.016666666666666666, {x}^{5}, 2 \cdot x\right)\right)\right)}{2} \]
      fma-udef [=>] 100.0	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 2 \cdot x}\right)\right)}{2} \]
      +-commutative [=>] 100.0	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{2 \cdot x + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}}\right)\right)}{2} \]
      add-log-exp [=>] 7.8	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{\log \left(e^{2 \cdot x}\right)} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2} \]
      *-commutative [=>] 7.8	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \log \left(e^{\color{blue}{x \cdot 2}}\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2} \]
      exp-lft-sqr [=>] 7.8	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \log \color{blue}{\left(e^{x} \cdot e^{x}\right)} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2} \]
      log-prod [=>] 7.7	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{\left(\log \left(e^{x}\right) + \log \left(e^{x}\right)\right)} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2} \]
      add-log-exp [<=] 19.9	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \left(\color{blue}{x} + \log \left(e^{x}\right)\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2} \]
      add-log-exp [<=] 100.0	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \left(x + \color{blue}{x}\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2} \]

3. Recombined 2 regimes into one program.

4. Final simplification 100.0%

   \[\leadsto \begin{array}{l} \mathbf{if}\;e^{x} - e^{-x} \leq -\infty \lor \neg \left(e^{x} - e^{-x} \leq 4 \cdot 10^{-14}\right):\\ \;\;\;\;\frac{e^{x} - e^{-x}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{\mathsf{fma}\left(0.0003968253968253968, {x}^{7}, \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \left(x + x\right) + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.5%
Cost	46729

\[\begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -\infty \lor \neg \left(t_0 \leq 4 \cdot 10^{-14}\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.016666666666666666 \cdot {x}^{5} + 0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 2
Accuracy	99.5%
Cost	39433

\[\begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq -0.1 \lor \neg \left(t_0 \leq 4 \cdot 10^{-14}\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 3
Accuracy	93.4%
Cost	7049

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -5.6 \lor \neg \left(x \leq 5.7\right):\\ \;\;\;\;\frac{0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7}}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 4
Accuracy	88.2%
Cost	1865

\[\begin{array}{l} t_0 := x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq -4 \cdot 10^{+154} \lor \neg \left(x \leq 2 \cdot 10^{+102}\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{t_0 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) - 4}{t_0 - 2}}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 5
Accuracy	84.1%
Cost	841

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq -2.5 \lor \neg \left(x \leq 2.4\right):\\ \;\;\;\;x \cdot \frac{1}{\frac{6}{x \cdot x}}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 6
Accuracy	84.4%
Cost	704

\[\frac{x \cdot \left(2 + x \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)\right)}{2} \]

Alternative 7
Accuracy	53.0%
Cost	320

\[\frac{x \cdot 2}{2} \]

Alternative 8
Accuracy	2.9%
Cost	64

\[-1 \]

Alternative 9
Accuracy	3.5%
Cost	64

\[0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023164 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))