UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 25.5s

Precision: binary32

Cost: 26848

• Unsound rule application detected in e-graph. Results may not be sound.

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \log \left(e^{\left(uy \cdot \pi\right) \cdot 2}\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))

↓

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  ux
  (* (- 1.0 ux) (* maxCos zi))
  (*
   (sqrt
    (+ 1.0 (* ux (* ux (* maxCos (* maxCos (* (- 1.0 ux) (+ ux -1.0))))))))
   (+
    (* (cos (log (exp (* (* uy PI) 2.0)))) xi)
    (* (sin (* uy (* PI 2.0))) yi)))))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}

↓

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(ux, ((1.0f - ux) * (maxCos * zi)), (sqrtf((1.0f + (ux * (ux * (maxCos * (maxCos * ((1.0f - ux) * (ux + -1.0f)))))))) * ((cosf(logf(expf(((uy * ((float) M_PI)) * 2.0f)))) * xi) + (sinf((uy * (((float) M_PI) * 2.0f))) * yi))));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi))
end

↓

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(ux, Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * zi)), Float32(sqrt(Float32(Float32(1.0) + Float32(ux * Float32(ux * Float32(maxCos * Float32(maxCos * Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(ux + Float32(-1.0))))))))) * Float32(Float32(cos(log(exp(Float32(Float32(uy * Float32(pi)) * Float32(2.0))))) * xi) + Float32(sin(Float32(uy * Float32(Float32(pi) * Float32(2.0)))) * yi))))
end

Derivation

1. Initial program 98.7%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Simplified 98.7%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 98.7	\[ \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]
   +-commutative [=>] 98.7	\[ \color{blue}{\left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]
   *-commutative [=>] 98.7	\[ \color{blue}{\left(ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\right)} \cdot zi + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) \]
   associate-*l* [=>] 98.7	\[ \color{blue}{ux \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi\right)} + \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) \]
   fma-def [=>] 98.8	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(ux, \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot zi, \left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right)} \]

3. Applied egg-rr 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \color{blue}{\log \left(e^{\left(uy \cdot \pi\right) \cdot 2}\right)} \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 98.7	\[ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]
   add-log-exp [=>] 98.8	\[ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \color{blue}{\log \left(e^{uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)}\right)} \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]
   *-commutative [=>] 98.8	\[ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \log \left(e^{uy \cdot \color{blue}{\left(\pi \cdot 2\right)}}\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]
   associate-*r* [=>] 98.8	\[ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \log \left(e^{\color{blue}{\left(uy \cdot \pi\right) \cdot 2}}\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

4. Final simplification 98.8%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos \log \left(e^{\left(uy \cdot \pi\right) \cdot 2}\right) \cdot xi + \sin \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) \cdot yi\right)\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.0%
Cost	24224

\[\begin{array}{l} t_0 := \left(1 - ux\right) \cdot maxCos\\ t_1 := uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ t_2 := \sqrt{1 + \left(ux \cdot t_0\right) \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_1 \cdot t_2, xi, \sin t_1 \cdot \left(yi \cdot t_2\right)\right) + t_0 \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \]

Alternative 2
Accuracy	99.0%
Cost	20448

\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\sin t_0 \cdot yi + xi \cdot \cos t_0\right)\right) \end{array} \]

Alternative 3
Accuracy	98.8%
Cost	20192

\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \left(\sin t_0 \cdot yi + xi \cdot \cos t_0\right) \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)}\right) \end{array} \]

Alternative 4
Accuracy	98.8%
Cost	17312

\[\begin{array}{l} t_0 := \pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\\ t_1 := ux \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right)\\ \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 + t_1 \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)} \cdot \cos t_0\right) + yi \cdot \sin t_0\right) + zi \cdot t_1 \end{array} \]

Alternative 5
Accuracy	90.1%
Cost	17248

\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 + ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(1 - ux\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 6
Accuracy	90.0%
Cost	17184

\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right) \cdot \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 + ux \cdot -2\right)\right)\right)\right)}\right) \]

Alternative 7
Accuracy	90.0%
Cost	17056

\[\mathsf{fma}\left(ux, maxCos \cdot zi - ux \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 8
Accuracy	90.0%
Cost	16992

\[\mathsf{fma}\left(ux, maxCos \cdot \left(zi - ux \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 9
Accuracy	87.4%
Cost	16864

\[\mathsf{fma}\left(ux, maxCos \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi \cdot \cos \left(uy \cdot \left(\pi \cdot 2\right)\right) + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Alternative 10
Accuracy	79.4%
Cost	10304

\[\mathsf{fma}\left(ux, maxCos \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023160 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))