Octave 3.8, oct_fill_randg

Average Accuracy: 99.7% → 99.8%

Time: 12.8s

Precision: binary64

Cost: 7104

Math

\[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

↓

\[a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333\right) \]

FPCore

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (*
  (- a (/ 1.0 3.0))
  (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))

↓

(FPCore (a rand)
 :precision binary64
 (+
  a
  (-
   (* 0.3333333333333333 (* (sqrt (- a 0.3333333333333333)) rand))
   0.3333333333333333)))

C

double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

double code(double a, double rand) {
	return a + ((0.3333333333333333 * (sqrt((a - 0.3333333333333333)) * rand)) - 0.3333333333333333);
}

Fortran

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = (a - (1.0d0 / 3.0d0)) * (1.0d0 + ((1.0d0 / sqrt((9.0d0 * (a - (1.0d0 / 3.0d0))))) * rand))
end function

↓

real(8) function code(a, rand)
    real(8), intent (in) :: a
    real(8), intent (in) :: rand
    code = a + ((0.3333333333333333d0 * (sqrt((a - 0.3333333333333333d0)) * rand)) - 0.3333333333333333d0)
end function

Java

public static double code(double a, double rand) {
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / Math.sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
}

↓

public static double code(double a, double rand) {
	return a + ((0.3333333333333333 * (Math.sqrt((a - 0.3333333333333333)) * rand)) - 0.3333333333333333);
}

Python

def code(a, rand):
	return (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / math.sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand))

↓

def code(a, rand):
	return a + ((0.3333333333333333 * (math.sqrt((a - 0.3333333333333333)) * rand)) - 0.3333333333333333)

Julia

function code(a, rand)
	return Float64(Float64(a - Float64(1.0 / 3.0)) * Float64(1.0 + Float64(Float64(1.0 / sqrt(Float64(9.0 * Float64(a - Float64(1.0 / 3.0))))) * rand)))
end

↓

function code(a, rand)
	return Float64(a + Float64(Float64(0.3333333333333333 * Float64(sqrt(Float64(a - 0.3333333333333333)) * rand)) - 0.3333333333333333))
end

MATLAB

function tmp = code(a, rand)
	tmp = (a - (1.0 / 3.0)) * (1.0 + ((1.0 / sqrt((9.0 * (a - (1.0 / 3.0))))) * rand));
end

↓

function tmp = code(a, rand)
	tmp = a + ((0.3333333333333333 * (sqrt((a - 0.3333333333333333)) * rand)) - 0.3333333333333333);
end

Wolfram

code[a_, rand_] := N[(N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * N[(1.0 + N[(N[(1.0 / N[Sqrt[N[(9.0 * N[(a - N[(1.0 / 3.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[a_, rand_] := N[(a + N[(N[(0.3333333333333333 * N[(N[Sqrt[N[(a - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]], $MachinePrecision] * rand), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] - 0.3333333333333333), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 99.4%

   \[\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]

2. Simplified 99.4%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot 9}} \cdot rand\right)} \]
   Proof

   [Start] 99.4	\[ \left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   sub-neg [=>] 99.4	\[ \color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.4	\[ \left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.4	\[ \left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{9 \cdot \left(a - \frac{1}{3}\right)}} \cdot rand\right) \]
   *-commutative [=>] 99.4	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a - \frac{1}{3}\right) \cdot 9}}} \cdot rand\right) \]
   sub-neg [=>] 99.4	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\color{blue}{\left(a + \left(-\frac{1}{3}\right)\right)} \cdot 9}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.4	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \left(-\color{blue}{0.3333333333333333}\right)\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.4	\[ \left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{\sqrt{\left(a + \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \cdot 9}} \cdot rand\right) \]

3. Taylor expanded in rand around 0 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333} \]

4. Simplified 99.8%

   \[\leadsto \color{blue}{a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, -0.3333333333333333\right)} \]
   Proof

   [Start] 99.8	\[ \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) + a\right) - 0.3333333333333333 \]
   +-commutative [<=] 99.8	\[ \color{blue}{\left(a + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)\right)} - 0.3333333333333333 \]
   associate--l+ [=>] 99.8	\[ \color{blue}{a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333\right)} \]
   fma-neg [=>] 99.8	\[ a + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand, -0.3333333333333333\right)} \]
   *-commutative [=>] 99.8	\[ a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, \color{blue}{rand \cdot \sqrt{a - 0.3333333333333333}}, -0.3333333333333333\right) \]
   sub-neg [=>] 99.8	\[ a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{\color{blue}{a + \left(-0.3333333333333333\right)}}, -0.3333333333333333\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.8	\[ a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{a + \color{blue}{-0.3333333333333333}}, -0.3333333333333333\right) \]
   +-commutative [=>] 99.8	\[ a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{\color{blue}{-0.3333333333333333 + a}}, -0.3333333333333333\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.8	\[ a + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, rand \cdot \sqrt{-0.3333333333333333 + a}, \color{blue}{-0.3333333333333333}\right) \]

5. Taylor expanded in rand around 0 99.8%

   \[\leadsto a + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333\right)} \]

6. Final simplification 99.8%

   \[\leadsto a + \left(0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) - 0.3333333333333333\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	92.3%
Cost	7113

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -2.1 \cdot 10^{+65} \lor \neg \left(rand \leq 3.2 \cdot 10^{+74}\right):\\ \;\;\;\;0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 2
Accuracy	92.3%
Cost	7113

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq -1.1 \cdot 10^{+66} \lor \neg \left(rand \leq 3.8 \cdot 10^{+73}\right):\\ \;\;\;\;\sqrt{a + -0.3333333333333333} \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot rand\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \end{array} \]

Alternative 3
Accuracy	98.8%
Cost	7104

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a \cdot 9}}\right) \]

Alternative 4
Accuracy	98.8%
Cost	7104

\[\left(a + -0.3333333333333333\right) \cdot \left(1 + \frac{rand}{\sqrt{a} \cdot 3}\right) \]

Alternative 5
Accuracy	68.8%
Cost	6980

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;rand \leq 1.1 \cdot 10^{+74}:\\ \;\;\;\;a - 0.3333333333333333\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\sqrt{\left(rand \cdot rand\right) \cdot \left(a \cdot 0.1111111111111111\right)}\\ \end{array} \]

Alternative 6
Accuracy	98.6%
Cost	6976

\[a + 0.3333333333333333 \cdot \left(\sqrt{a - 0.3333333333333333} \cdot rand\right) \]

Alternative 7
Accuracy	98.6%
Cost	6976

\[a + rand \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \sqrt{a + -0.3333333333333333}\right) \]

Alternative 8
Accuracy	62.9%
Cost	192

\[a - 0.3333333333333333 \]

Alternative 9
Accuracy	61.8%
Cost	64

\[a \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023160 
(FPCore (a rand)
  :name "Octave 3.8, oct_fill_randg"
  :precision binary64
  (* (- a (/ 1.0 3.0)) (+ 1.0 (* (/ 1.0 (sqrt (* 9.0 (- a (/ 1.0 3.0))))) rand))))