UniformSampleCone 2

Percentage Accurate: 99.0% → 99.0%

Time: 27.0s

Precision: binary32

Cost: 33216

\[\left(\left(\left(\left(\left(-10000 \leq xi \land xi \leq 10000\right) \land \left(-10000 \leq yi \land yi \leq 10000\right)\right) \land \left(-10000 \leq zi \land zi \leq 10000\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq ux \land ux \leq 1\right)\right) \land \left(2.328306437 \cdot 10^{-10} \leq uy \land uy \leq 1\right)\right) \land \left(0 \leq maxCos \land maxCos \leq 1\right)\]

Math

\[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

↓

\[\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux - ux\right)\right)\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, 2 \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \left(yi \cdot \sin \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi\right) \]

FPCore

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (+
  (+
   (*
    (*
     (cos (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    xi)
   (*
    (*
     (sin (* (* uy 2.0) PI))
     (sqrt
      (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux)))))
    yi))
  (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))

↓

(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
 :precision binary32
 (fma
  (sqrt (fma ux (* (- 1.0 ux) (* maxCos (* maxCos (- (* ux ux) ux)))) 1.0))
  (fma
   (cos (* uy (* 2.0 PI)))
   xi
   (* 2.0 (* (cos (* uy PI)) (* yi (sin (* uy PI))))))
  (* (* maxCos (- ux (* ux ux))) zi)))

C

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return (((cosf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + ((sinf(((uy * 2.0f) * ((float) M_PI))) * sqrtf((1.0f - ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * (((1.0f - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + ((((1.0f - ux) * maxCos) * ux) * zi);
}

↓

float code(float xi, float yi, float zi, float ux, float uy, float maxCos) {
	return fmaf(sqrtf(fmaf(ux, ((1.0f - ux) * (maxCos * (maxCos * ((ux * ux) - ux)))), 1.0f)), fmaf(cosf((uy * (2.0f * ((float) M_PI)))), xi, (2.0f * (cosf((uy * ((float) M_PI))) * (yi * sinf((uy * ((float) M_PI))))))), ((maxCos * (ux - (ux * ux))) * zi));
}

Julia

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return Float32(Float32(Float32(Float32(cos(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * xi) + Float32(Float32(sin(Float32(Float32(uy * Float32(2.0)) * Float32(pi))) * sqrt(Float32(Float32(1.0) - Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux))))) * yi)) + Float32(Float32(Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * maxCos) * ux) * zi))
end

↓

function code(xi, yi, zi, ux, uy, maxCos)
	return fma(sqrt(fma(ux, Float32(Float32(Float32(1.0) - ux) * Float32(maxCos * Float32(maxCos * Float32(Float32(ux * ux) - ux)))), Float32(1.0))), fma(cos(Float32(uy * Float32(Float32(2.0) * Float32(pi)))), xi, Float32(Float32(2.0) * Float32(cos(Float32(uy * Float32(pi))) * Float32(yi * sin(Float32(uy * Float32(pi))))))), Float32(Float32(maxCos * Float32(ux - Float32(ux * ux))) * zi))
end

Derivation

1. Initial program 98.9%

   \[\left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

2. Simplified 98.9%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right)\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right), \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 98.9

   \[ \left(\left(\cos \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot xi + \left(\sin \left(\left(uy \cdot 2\right) \cdot \pi\right) \cdot \sqrt{1 - \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right)}\right) \cdot yi\right) + \left(\left(\left(1 - ux\right) \cdot maxCos\right) \cdot ux\right) \cdot zi \]

3. Applied egg-rr 98.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right)\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot uy\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot uy\right)\right)\right)} \cdot yi\right), \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi\right) \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 98.9	\[ \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right)\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \sin \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot yi\right), \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi\right) \]
   *-commutative [=>] 98.9	\[ \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right)\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \sin \color{blue}{\left(\left(2 \cdot \pi\right) \cdot uy\right)} \cdot yi\right), \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi\right) \]
   associate-*l* [=>] 98.9	\[ \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right)\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \sin \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\pi \cdot uy\right)\right)} \cdot yi\right), \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi\right) \]
   sin-2 [=>] 98.9	\[ \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right)\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \color{blue}{\left(2 \cdot \left(\sin \left(\pi \cdot uy\right) \cdot \cos \left(\pi \cdot uy\right)\right)\right)} \cdot yi\right), \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi\right) \]

4. Taylor expanded in uy around inf 98.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, \left(ux + -1\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right)\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, \color{blue}{2 \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \left(yi \cdot \sin \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)}\right), \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi\right) \]

5. Final simplification 98.9%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(\sqrt{\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux \cdot ux - ux\right)\right)\right), 1\right)}, \mathsf{fma}\left(\cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right), xi, 2 \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \left(yi \cdot \sin \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right)\right), \left(maxCos \cdot \left(ux - ux \cdot ux\right)\right) \cdot zi\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	98.8%
Cost	26880

\[\mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos + -2 \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(2 \cdot \left(\cos \left(uy \cdot \pi\right) \cdot \left(yi \cdot \sin \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + \cos \left(uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\right) \cdot xi\right)\right) \]

Alternative 2
Accuracy	99.0%
Cost	24224

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ t_1 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ t_2 := \sqrt{1 - t_0 \cdot t_0}\\ \mathsf{fma}\left(\cos t_1 \cdot t_2, xi, \sin t_1 \cdot \left(yi \cdot t_2\right)\right) + \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right) \cdot \left(ux \cdot zi\right) \end{array} \]

Alternative 3
Accuracy	99.0%
Cost	20448

\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos \cdot \left(\left(ux + -1\right) \cdot \left(ux + -1\right)\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi + yi \cdot \sin t_0\right)\right) \end{array} \]

Alternative 4
Accuracy	98.8%
Cost	20384

\[\begin{array}{l} t_0 := uy \cdot \left(2 \cdot \pi\right)\\ \mathsf{fma}\left(ux, \left(1 - ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot zi\right), \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(maxCos + -2 \cdot \left(ux \cdot maxCos\right)\right)\right)\right)} \cdot \left(\cos t_0 \cdot xi + yi \cdot \sin t_0\right)\right) \end{array} \]

Alternative 5
Accuracy	98.9%
Cost	17312

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 - t_0 \cdot t_0} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right)\right) + zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) \end{array} \]

Alternative 6
Accuracy	98.7%
Cost	17056

\[zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(yi \cdot \sin \left(2 \cdot \left(uy \cdot \pi\right)\right) + xi \cdot \left(\cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right) \cdot \sqrt{1 - \left(ux \cdot ux\right) \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)}\right)\right) \]

Alternative 7
Accuracy	90.5%
Cost	14112

\[\begin{array}{l} t_0 := ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(ux + -1\right)\right)\\ zi \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot \left(1 - ux\right)\right)\right) + \left(xi \cdot \left(\sqrt{1 - t_0 \cdot t_0} \cdot \cos \left(\pi \cdot \left(uy \cdot 2\right)\right)\right) + \left(uy \cdot 2\right) \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right) \end{array} \]

Alternative 8
Accuracy	79.6%
Cost	10304

\[\mathsf{fma}\left(ux, maxCos \cdot zi, \sqrt{1 - ux \cdot \left(ux \cdot \left(maxCos \cdot maxCos\right)\right)} \cdot \left(xi + 2 \cdot \left(uy \cdot \left(\pi \cdot yi\right)\right)\right)\right) \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023159 
(FPCore (xi yi zi ux uy maxCos)
  :name "UniformSampleCone 2"
  :precision binary32
  :pre (and (and (and (and (and (and (<= -10000.0 xi) (<= xi 10000.0)) (and (<= -10000.0 yi) (<= yi 10000.0))) (and (<= -10000.0 zi) (<= zi 10000.0))) (and (<= 2.328306437e-10 ux) (<= ux 1.0))) (and (<= 2.328306437e-10 uy) (<= uy 1.0))) (and (<= 0.0 maxCos) (<= maxCos 1.0)))
  (+ (+ (* (* (cos (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) xi) (* (* (sin (* (* uy 2.0) PI)) (sqrt (- 1.0 (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux))))) yi)) (* (* (* (- 1.0 ux) maxCos) ux) zi)))