invcot (example 3.9)

Percentage Accurate: 6.3% → 99.6%

Time: 16.7s

Precision: binary64

Cost: 39872

\[-0.026 < x \land x < 0.026\]

Math

\[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

↓

\[\begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)\\ \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111 \cdot x, \frac{x}{t_0}, 0.0004938271604938272 \cdot \frac{-{x}^{6}}{t_0}\right) \end{array} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (let* ((t_0 (fma x 0.3333333333333333 (* (pow x 3.0) -0.022222222222222223))))
   (fma
    (* 0.1111111111111111 x)
    (/ x t_0)
    (* 0.0004938271604938272 (/ (- (pow x 6.0)) t_0)))))

C

double code(double x) {
	return (1.0 / x) - (1.0 / tan(x));
}

↓

double code(double x) {
	double t_0 = fma(x, 0.3333333333333333, (pow(x, 3.0) * -0.022222222222222223));
	return fma((0.1111111111111111 * x), (x / t_0), (0.0004938271604938272 * (-pow(x, 6.0) / t_0)));
}

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(1.0 / x) - Float64(1.0 / tan(x)))
end

↓

function code(x)
	t_0 = fma(x, 0.3333333333333333, Float64((x ^ 3.0) * -0.022222222222222223))
	return fma(Float64(0.1111111111111111 * x), Float64(x / t_0), Float64(0.0004938271604938272 * Float64(Float64(-(x ^ 6.0)) / t_0)))
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(1.0 / x), $MachinePrecision] - N[(1.0 / N[Tan[x], $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := Block[{t$95$0 = N[(x * 0.3333333333333333 + N[(N[Power[x, 3.0], $MachinePrecision] * -0.022222222222222223), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]}, N[(N[(0.1111111111111111 * x), $MachinePrecision] * N[(x / t$95$0), $MachinePrecision] + N[(0.0004938271604938272 * N[((-N[Power[x, 6.0], $MachinePrecision]) / t$95$0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]), $MachinePrecision]]

Target

Original	6.3%
Target	99.9%
Herbie	99.6%

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;\left|x\right| < 0.026:\\ \;\;\;\;\frac{x}{3} \cdot \left(1 + \frac{x \cdot x}{15}\right)\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x}\\ \end{array} \]

Derivation

1. Initial program 7.0%

   \[\frac{1}{x} - \frac{1}{\tan x} \]

2. Taylor expanded in x around 0 99.3%

   \[\leadsto \color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]

3. Applied egg-rr 50.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 99.3	\[ 0.3333333333333333 \cdot x + 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3} \]
   flip-+ [=>] 50.1	\[ \color{blue}{\frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right) - \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]
   div-sub [=>] 50.1	\[ \color{blue}{\frac{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot x\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} - \frac{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}}} \]
   swap-sqr [=>] 50.2	\[ \frac{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(x \cdot x\right)}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} - \frac{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   metadata-eval [=>] 50.2	\[ \frac{\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(x \cdot x\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} - \frac{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   cancel-sign-sub-inv [=>] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + \left(-0.022222222222222223\right) \cdot {x}^{3}}} - \frac{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   fma-def [=>] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, \left(-0.022222222222222223\right) \cdot {x}^{3}\right)}} - \frac{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   metadata-eval [=>] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, \color{blue}{-0.022222222222222223} \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{\left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   *-commutative [=>] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   *-commutative [=>] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right) \cdot \color{blue}{\left({x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right)}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   swap-sqr [=>] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{\color{blue}{\left({x}^{3} \cdot {x}^{3}\right) \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   pow-prod-up [=>] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{\color{blue}{{x}^{\left(3 + 3\right)}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   metadata-eval [=>] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{{x}^{\color{blue}{6}} \cdot \left(0.022222222222222223 \cdot 0.022222222222222223\right)}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   metadata-eval [=>] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot \color{blue}{0.0004938271604938272}}{0.3333333333333333 \cdot x - 0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}} \]
   cancel-sign-sub-inv [=>] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + \left(-0.022222222222222223\right) \cdot {x}^{3}}} \]
   fma-def [=>] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, \left(-0.022222222222222223\right) \cdot {x}^{3}\right)}} \]
   metadata-eval [=>] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, \color{blue}{-0.022222222222222223} \cdot {x}^{3}\right)} \]

4. Simplified 50.2%

   \[\leadsto \color{blue}{\frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)} \]
   div-sub [<=] 50.2	\[ \color{blue}{\frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, -0.022222222222222223 \cdot {x}^{3}\right)}} \]
   *-commutative [=>] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, \color{blue}{{x}^{3} \cdot -0.022222222222222223}\right)} \]

5. Applied egg-rr 99.5%

   \[\leadsto \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}, -0.0004938271604938272 \cdot \frac{{x}^{6}}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right)} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 50.2	\[ \frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right) - {x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \]
   div-sub [=>] 50.2	\[ \color{blue}{\frac{0.1111111111111111 \cdot \left(x \cdot x\right)}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}} \]
   associate-*r* [=>] 50.2	\[ \frac{\color{blue}{\left(0.1111111111111111 \cdot x\right) \cdot x}}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \]
   *-un-lft-identity [=>] 50.2	\[ \frac{\left(0.1111111111111111 \cdot x\right) \cdot x}{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \]
   times-frac [=>] 99.5	\[ \color{blue}{\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1} \cdot \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}} - \frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)} \]
   fma-neg [=>] 99.5	\[ \color{blue}{\mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right)} \]
   fma-udef [=>] 99.5	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223}}, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.5	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333} + {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223}, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]
   fma-def [=>] 99.5	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}}, -\frac{{x}^{6} \cdot 0.0004938271604938272}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.5	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}, -\frac{\color{blue}{0.0004938271604938272 \cdot {x}^{6}}}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]
   *-un-lft-identity [=>] 99.5	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}, -\frac{0.0004938271604938272 \cdot {x}^{6}}{\color{blue}{1 \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}}\right) \]
   times-frac [=>] 99.5	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}, -\color{blue}{\frac{0.0004938271604938272}{1} \cdot \frac{{x}^{6}}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}}\right) \]
   metadata-eval [=>] 99.5	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}, -\color{blue}{0.0004938271604938272} \cdot \frac{{x}^{6}}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]
   fma-udef [=>] 99.5	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}, -0.0004938271604938272 \cdot \frac{{x}^{6}}{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot x + {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223}}\right) \]
   *-commutative [=>] 99.5	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}, -0.0004938271604938272 \cdot \frac{{x}^{6}}{\color{blue}{x \cdot 0.3333333333333333} + {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223}\right) \]
   fma-def [=>] 99.5	\[ \mathsf{fma}\left(\frac{0.1111111111111111 \cdot x}{1}, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}, -0.0004938271604938272 \cdot \frac{{x}^{6}}{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}}\right) \]

6. Final simplification 99.5%

   \[\leadsto \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111 \cdot x, \frac{x}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}, 0.0004938271604938272 \cdot \frac{-{x}^{6}}{\mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)}\right) \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	99.6%
Cost	39808

\[\begin{array}{l} t_0 := \mathsf{fma}\left(x, 0.3333333333333333, {x}^{3} \cdot -0.022222222222222223\right)\\ \mathsf{fma}\left(0.1111111111111111, \frac{x}{\frac{t_0}{x}}, \frac{{x}^{6}}{t_0} \cdot -0.0004938271604938272\right) \end{array} \]

Alternative 2
Accuracy	99.5%
Cost	13632

\[x \cdot 0.3333333333333333 + \left(0.0021164021164021165 \cdot {x}^{5} + {x}^{3} \cdot 0.022222222222222223\right) \]

Alternative 3
Accuracy	99.4%
Cost	704

\[x \cdot 0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot \left(x \cdot 0.022222222222222223\right)\right) \]

Alternative 4
Accuracy	99.4%
Cost	576

\[x \cdot \left(0.3333333333333333 + x \cdot \left(x \cdot 0.022222222222222223\right)\right) \]

Alternative 5
Accuracy	99.0%
Cost	192

\[x \cdot 0.3333333333333333 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023159 
(FPCore (x)
  :name "invcot (example 3.9)"
  :precision binary64
  :pre (and (< -0.026 x) (< x 0.026))

  :herbie-target
  (if (< (fabs x) 0.026) (* (/ x 3.0) (+ 1.0 (/ (* x x) 15.0))) (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))

  (- (/ 1.0 x) (/ 1.0 (tan x))))