Hyperbolic sine

Average Accuracy: 54.5% → 92.5%

Time: 6.6s

Precision: binary64

Cost: 7296

• Unsound rule application detected in e-graph. Results may not be sound.

• 49.4% of points produce a very large (infinite) output. You may want to add a precondition.

Math

\[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

↓

\[\frac{x \cdot \frac{{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{4}}{2} \]

FPCore

(FPCore (x) :precision binary64 (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))

↓

(FPCore (x)
 :precision binary64
 (/ (* x (/ (+ (pow (* 0.3333333333333333 (* x x)) 3.0) 8.0) 4.0)) 2.0))

C

double code(double x) {
	return (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
}

↓

double code(double x) {
	return (x * ((pow((0.3333333333333333 * (x * x)), 3.0) + 8.0) / 4.0)) / 2.0;
}

Fortran

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0d0
end function

↓

real(8) function code(x)
    real(8), intent (in) :: x
    code = (x * ((((0.3333333333333333d0 * (x * x)) ** 3.0d0) + 8.0d0) / 4.0d0)) / 2.0d0
end function

Java

public static double code(double x) {
	return (Math.exp(x) - Math.exp(-x)) / 2.0;
}

↓

public static double code(double x) {
	return (x * ((Math.pow((0.3333333333333333 * (x * x)), 3.0) + 8.0) / 4.0)) / 2.0;
}

Python

def code(x):
	return (math.exp(x) - math.exp(-x)) / 2.0

↓

def code(x):
	return (x * ((math.pow((0.3333333333333333 * (x * x)), 3.0) + 8.0) / 4.0)) / 2.0

Julia

function code(x)
	return Float64(Float64(exp(x) - exp(Float64(-x))) / 2.0)
end

↓

function code(x)
	return Float64(Float64(x * Float64(Float64((Float64(0.3333333333333333 * Float64(x * x)) ^ 3.0) + 8.0) / 4.0)) / 2.0)
end

MATLAB

function tmp = code(x)
	tmp = (exp(x) - exp(-x)) / 2.0;
end

↓

function tmp = code(x)
	tmp = (x * ((((0.3333333333333333 * (x * x)) ^ 3.0) + 8.0) / 4.0)) / 2.0;
end

Wolfram

code[x_] := N[(N[(N[Exp[x], $MachinePrecision] - N[Exp[(-x)], $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

↓

code[x_] := N[(N[(x * N[(N[(N[Power[N[(0.3333333333333333 * N[(x * x), $MachinePrecision]), $MachinePrecision], 3.0], $MachinePrecision] + 8.0), $MachinePrecision] / 4.0), $MachinePrecision]), $MachinePrecision] / 2.0), $MachinePrecision]

Derivation

1. Initial program 48.8%

   \[\frac{e^{x} - e^{-x}}{2} \]

2. Taylor expanded in x around 0 86.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}}{2} \]

3. Applied egg-rr 35.8%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{\left(1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x + x\right)\right) - 1}}{2} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 86.9	\[ \frac{2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}}{2} \]
   expm1-log1p-u [=>] 71.1	\[ \frac{\color{blue}{\mathsf{expm1}\left(\mathsf{log1p}\left(2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)}}{2} \]
   expm1-udef [=>] 20.0	\[ \frac{\color{blue}{e^{\mathsf{log1p}\left(2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)} - 1}}{2} \]
   log1p-udef [=>] 20.0	\[ \frac{e^{\color{blue}{\log \left(1 + \left(2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)}} - 1}{2} \]
   rem-exp-log [=>] 35.8	\[ \frac{\color{blue}{\left(1 + \left(2 \cdot x + 0.3333333333333333 \cdot {x}^{3}\right)\right)} - 1}{2} \]
   +-commutative [=>] 35.8	\[ \frac{\left(1 + \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + 2 \cdot x\right)}\right) - 1}{2} \]
   fma-def [=>] 35.8	\[ \frac{\left(1 + \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, 2 \cdot x\right)}\right) - 1}{2} \]
   add-log-exp [=>] 48.3	\[ \frac{\left(1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{\log \left(e^{2 \cdot x}\right)}\right)\right) - 1}{2} \]
   *-commutative [=>] 48.3	\[ \frac{\left(1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \log \left(e^{\color{blue}{x \cdot 2}}\right)\right)\right) - 1}{2} \]
   exp-lft-sqr [=>] 48.3	\[ \frac{\left(1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \log \color{blue}{\left(e^{x} \cdot e^{x}\right)}\right)\right) - 1}{2} \]
   log-prod [=>] 48.3	\[ \frac{\left(1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{\log \left(e^{x}\right) + \log \left(e^{x}\right)}\right)\right) - 1}{2} \]
   add-log-exp [<=] 48.3	\[ \frac{\left(1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, \color{blue}{x} + \log \left(e^{x}\right)\right)\right) - 1}{2} \]
   add-log-exp [<=] 35.8	\[ \frac{\left(1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x + \color{blue}{x}\right)\right) - 1}{2} \]

4. Simplified 86.9%

   \[\leadsto \frac{\color{blue}{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 35.8	\[ \frac{\left(1 + \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x + x\right)\right) - 1}{2} \]
   +-commutative [=>] 35.8	\[ \frac{\color{blue}{\left(\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x + x\right) + 1\right)} - 1}{2} \]
   associate--l+ [=>] 86.9	\[ \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x + x\right) + \left(1 - 1\right)}}{2} \]
   metadata-eval [=>] 86.9	\[ \frac{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x + x\right) + \color{blue}{0}}{2} \]
   +-rgt-identity [=>] 86.9	\[ \frac{\color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, {x}^{3}, x + x\right)}}{2} \]
   fma-udef [=>] 86.9	\[ \frac{\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(x + x\right)}}{2} \]
   *-commutative [=>] 86.9	\[ \frac{\color{blue}{{x}^{3} \cdot 0.3333333333333333} + \left(x + x\right)}{2} \]
   unpow3 [=>] 86.9	\[ \frac{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot x\right)} \cdot 0.3333333333333333 + \left(x + x\right)}{2} \]
   associate-*r* [<=] 86.9	\[ \frac{\color{blue}{\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot 0.3333333333333333\right)} + \left(x + x\right)}{2} \]
   *-commutative [<=] 86.9	\[ \frac{\left(x \cdot x\right) \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot x\right)} + \left(x + x\right)}{2} \]
   associate-*r* [=>] 86.9	\[ \frac{\color{blue}{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x} + \left(x + x\right)}{2} \]
   count-2 [=>] 86.9	\[ \frac{\left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot x + \color{blue}{2 \cdot x}}{2} \]
   distribute-rgt-out [=>] 86.9	\[ \frac{\color{blue}{x \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot 0.3333333333333333 + 2\right)}}{2} \]
   *-commutative [=>] 86.9	\[ \frac{x \cdot \left(\color{blue}{0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)} + 2\right)}{2} \]
   fma-def [=>] 86.9	\[ \frac{x \cdot \color{blue}{\mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}}{2} \]

5. Applied egg-rr 58.0%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \left(4 - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 2\right)}}}{2} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 86.9	\[ \frac{x \cdot \mathsf{fma}\left(0.3333333333333333, x \cdot x, 2\right)}{2} \]
   fma-udef [=>] 86.9	\[ \frac{x \cdot \color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right) + 2\right)}}{2} \]
   flip3-+ [=>] 58.0	\[ \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{3} + {2}^{3}}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 2\right)}}}{2} \]
   metadata-eval [=>] 58.0	\[ \frac{x \cdot \frac{{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{3} + \color{blue}{8}}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \left(2 \cdot 2 - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]
   metadata-eval [=>] 58.0	\[ \frac{x \cdot \frac{{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \left(\color{blue}{4} - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]

6. Simplified 58.0%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \color{blue}{\frac{{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{0.1111111111111111 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \left(4 - 2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)\right)}}}{2} \]
   Step-by-step derivation

   [Start] 58.0	\[ \frac{x \cdot \frac{{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \left(4 - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]
   swap-sqr [=>] 58.0	\[ \frac{x \cdot \frac{{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{\color{blue}{\left(0.3333333333333333 \cdot 0.3333333333333333\right) \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right)} + \left(4 - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]
   metadata-eval [=>] 58.0	\[ \frac{x \cdot \frac{{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{\color{blue}{0.1111111111111111} \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \left(4 - \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right) \cdot 2\right)}}{2} \]
   *-commutative [=>] 58.0	\[ \frac{x \cdot \frac{{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{0.1111111111111111 \cdot \left(\left(x \cdot x\right) \cdot \left(x \cdot x\right)\right) + \left(4 - \color{blue}{2 \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}\right)}}{2} \]

7. Taylor expanded in x around 0 92.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{\color{blue}{4}}}{2} \]

8. Final simplification 92.8%

   \[\leadsto \frac{x \cdot \frac{{\left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}^{3} + 8}{4}}{2} \]

Alternatives

Alternative 1
Accuracy	54.5%
Cost	46729

\[\begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 0.0005 \lor \neg \left(t_0 \leq 0.1\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + \left(0.3333333333333333 \cdot {x}^{3} + \left(0.0003968253968253968 \cdot {x}^{7} + 0.016666666666666666 \cdot {x}^{5}\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 2
Accuracy	54.5%
Cost	39433

\[\begin{array}{l} t_0 := e^{x} - e^{-x}\\ \mathbf{if}\;t_0 \leq 0.0005 \lor \neg \left(t_0 \leq 5 \cdot 10^{-5}\right):\\ \;\;\;\;\frac{t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 3
Accuracy	36.7%
Cost	1865

\[\begin{array}{l} t_0 := 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\\ \mathbf{if}\;x \leq 10^{+153} \lor \neg \left(x \leq 2 \cdot 10^{+102}\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot t_0}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \frac{t_0 \cdot t_0 - 4}{t_0 - 2}}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 4
Accuracy	36.7%
Cost	841

\[\begin{array}{l} \mathbf{if}\;x \leq 2.4 \lor \neg \left(x \leq 2.5\right):\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2}\\ \mathbf{else}:\\ \;\;\;\;\frac{x \cdot 2}{2}\\ \end{array} \]

Alternative 5
Accuracy	83.2%
Cost	832

\[\frac{x \cdot 2 + x \cdot \left(0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2} \]

Alternative 6
Accuracy	83.2%
Cost	704

\[\frac{x \cdot \left(2 + 0.3333333333333333 \cdot \left(x \cdot x\right)\right)}{2} \]

Alternative 7
Accuracy	52.0%
Cost	320

\[\frac{x \cdot 2}{2} \]

Alternative 8
Accuracy	2.9%
Cost	64

\[-1 \]

Alternative 9
Accuracy	3.4%
Cost	64

\[0 \]

Reproduce

herbie shell --seed 2023159 
(FPCore (x)
  :name "Hyperbolic sine"
  :precision binary64
  (/ (- (exp x) (exp (- x))) 2.0))